滤波辨识(10): 多变量Box-Jenkins系统的滤波辅助模型递阶广义增广参数辨识

丁 锋,万立娟,栾小丽,徐 玲,刘喜梅

(1.江南大学 物联网工程学院,江苏 无锡 214122;2.青岛科技大学 自动化与电子工程学院,山东 青岛 266061)

与单输入单输出系统(即标量系统)相比,多输入多输出系统(即多变量系统)有更丰富的模型结果,这使得多变量系统辨识方法丰富多彩。因此,将辅助模型辨识思想、多新息辨识理论、递阶辨识原理、滤波辨识理念[1-7]与梯度搜索、最小二乘搜索、牛顿搜索方法相结合,应用于多变量系统,便产生出缤纷多彩的辨识方法。《青岛科技大学学报(自然科学版)》上的连载论文研究了有色噪声干扰下标量系统的滤波递推辨识方法和滤波迭代辨识方法,包括有限脉冲响应滑动平均系统[8-9]、方程误差自回归系统[10-11]、输出误差自回归滑动平均系统[12-14]。

最近的连载论文研究了类多变量方程误差自回归滑动平均(M-EEARMA-like)系统的滤波递阶广义增广参数辨识方法[15]、类多变量输出误差自回归滑动平均(M-OEARMA-like)系统的滤波辅助模型递阶广义增广递推参数辨识方法[16]、多变量受控自回归自回归滑动平均(M-CARARMA)系统的滤波递阶广义增广递推辨识方法[17]。本工作利用滤波辨识理念和辅助模型辨识思想,针对多变量Box-Jenkins模型,即多变量输出误差自回归滑动平均(M-OEARMA)系统的滤波辅助模型递阶广义增广递推辨识方法。相关工作参见文献[2-7,18-23]。

1 多变量Box-Jenkins系统

考虑多变量输出误差自回归滑动平均模型(multivariable-output-error-autoregressive moving average model,M-OEARMA 模型),即多变量Box-Jenkins 模型(multivariable Box-Jenkins model,M-BJ模型)描述的多变量系统:

其中y(t)=[y1(t),y2(t),…,ym(t)]T∈ℝm为m维观测输出向量,u(t)∈ℝr为r维观测输入向量,w(t)=[w1(t),w2(t),…,wm(t)]T∈ℝm为m维噪声向量,A(z)和B(z)为单位后移算子z-1的多项式矩阵:

定义无噪输出向量

这里考虑噪声w(t)是一个自回归滑动平均过程:

它是由白噪声向量v(t)=[v1(t),v2(t),…,vm(t)]T∈ℝm驱动传递函数的输出,δ(z)和γ(z)为单位后移算子z-1的多项式:

定义模型参数向量ρ和参数矩阵θ如下:

定义信息向量

由式(2)可得

定义输出信息矩阵ψx(t)和ψy(t)如下:

式(6)～(8)可以等价写为

使用式(2)和(3),式(1)可以表示为

将式(12)和(13)代入上式得到

由此可以得到M-BJ系统(1)的滤波递阶辨识模型,

滤波递阶辨识模型(16)包含了系统的所有参数: 参数向量ρ和参数矩阵θ。

对于M-BJ系统(1),可得到的输入输出数据为{u(t),y(t)},在对应的滤波递阶辨识模型(16)中,信息矩阵ψ(t)涉及未知输出向量x(t-i),以及未知滤波输出向量yf(t-i)和xf(t-i),信息向量φ(t)涉及未知无噪输出向量x(t-i)。这是辨识的困难所在。因此必须借助于滤波辨识理念和递阶辨识原理,利用系统的观测数据{u(t),y(t):t=1,2,3,…},通过对未知无噪输入向量x(t),滤波输出向量yf(t)和xf(t)进行估算,研究M-OEARMA 系统的滤波辅助模型递阶(多新息)广义增广随机梯度辨识方法、滤波辅助模型递阶(多新息)广义增广递推梯度辨识方法、滤波辅助模型递阶(多新息)广义增广最小二乘辨识方法,来辨识系统参数向量ρ和参数矩阵θ。

2 估算未知向量和未知矩阵的辅助模型

根据式(4)中信息向量φ(t)的定义,用系统输入向量u(t-i)和x(t-i)的估计(t-i)定义信息向量φ(t)的估计:

根据式(9)中ψx(t)的定义,用输出向量x(t-i)的估计(t-i)和xf(t-i)滤波输出向量的估计(t-i)定义输出信息矩阵ψx(t)的估计:

根据式(10)中ψy(t)的定义,用输出向量y(t-i)和滤波输出向量yf(t-i)的估计(t-i)定义输出信息矩阵ψy(t)的估计:

根据式(11)中ψu(t)的定义,用输入向量u(t-i)和滤波输入向量uf(t-i)的估计(t-i)定义输入信息矩阵ψu(t)的估计:

根据式(17)中ψ(t)的定义,用输出信息矩阵ψy(t)和ψx(t)的估计(t)和(t)定义输出信息矩阵ψ(t)的估计:

根据式(5),用信息向量φ(t)的估计(t)和参数估计(t)定义估算无噪输出x(t)的辅助模型:

(t)可认为是无噪输出x(t)的估计。

参照式(6)和(7),用δ(z)和γ(z)的估计(t,z)和(t,z)对系统输出向量x(t)和y(t)进行滤波,得到估算滤波输出向量xf(t)和yf(t),以及滤波输入向量uf(t)的辅助模型:

3 滤波辅助模型递阶广义增广随机梯度辨识方法

基于滤波递阶辨识模型(16),定义准则函数

信息矩阵ψ(t)和信息向量φ(t)是未知的,由于其涉及到未知输出向量x(t-i),xf(t-i)和yf(ti),所以解决方法是未知信息矩阵ψ(t)和信息向量φ(t)用其估计(t)和(t)代替,使用负梯度搜索,极小化准则函数J1(ρ,θ),得到式(27)～(30),联立式(18)～(22)和辅助模型(23)～(25),便得到辨识M-BJ系统(1)对应的滤波递阶辨识模型(16)参数向量ρ和参数矩阵θ的滤波辅助模型递阶广义增广随机梯度算法(filtered auxiliary model hierarchical generalized extended stochastic gradient algorithm,F-AM-HGESG 算法),或辅助模型滤波递阶广义增广随机梯度算法(auxiliary model filtered hierarchical generalized extended stochastic gradient algorithm,AM-F-HGESG 算法)[19-20]:

从F-AM-HGESG 辨识算法,可以得到一些特殊的滤波辅助模型递阶随机梯度辨识算法。

1) 当nγ=0和nδ=0,即γ(z)=1和δ(z)=1时,F-AM-HGESG 辨识算法(27)～(39)退化为多变量输出误差(M-OE)系统的多变量辅助模型随机梯度算法(multivariable auxiliary model stochastic gradient algorithm,M-AM-SG 算法)[2,7,18-19,24]。

2) 当nγ=0,即γ(z)=1时,F-AM-HGESG辨识算法(27)～(39)退化为多变量输出误差滑动平均(M-OEMA)系统的滤波辅助模型递阶增广随机梯度算法(filtered auxiliary model hierarchical extended stochastic gradient algorithm,F-AM-HESG算法)[7,19]。

3) 当nδ=0,即δ(z)=1时,F-AM-HGESG辨识算法(27)～(39)退化为 多变量输出误差自回归(M-OEAR)系统的滤波辅助模型递阶广义随机梯度算法(filtered auxiliary model hierarchical generalized stochastic gradient algorithm,F-AMHGSG 算法)。

4) 读者可以写出多变量输出误差自回归滑动平均(M-OEARMA)系统的加权滤波辅助模型递阶广义增广随机梯度(W-F-AM-HGESG)算法或加权辅助模型滤波递阶广义增广随机梯度(W-AM-FHGESG)算法、遗忘因子滤波辅助模型递阶广义增广随机梯度(FF-F-AM-HGESG)算法或辅助模型滤波遗忘因子递阶广义增广随机梯度(AM-F-FFHGESG)算法、加权遗忘因子滤波辅助模型递阶广义增广随机梯度(W-FF-F-AM-HGESG)算法或加权辅助模型滤波遗忘因子递阶广义增广随机梯度(W-AM-F-FF-HGESG)算法。

例如,为提高参数估计精度和收敛速率,可在F-AM-HGESG 算法(27)～(39)中引入遗忘因子λ,即将式(30)修改为

就得到辅助模型滤波遗忘因子递阶广义增广随机梯度算法(auxiliary model filtered forgetting factor HGESG algorithm,AM-F-FF-HGESG 算法)。

F-AM-HGESG 算法(27)～(39)计算参数向量(t)和参数矩阵(t)的步骤如下。

2) 采集输入输出数据u(t)和y(t)。用式(32)～(34)构造输出信息矩阵,以及信息向量(t),用式(31)计算信息矩阵(t)。

3) 用式(30)计算r(t),用式(28)计算新息向量e(t),用式(27)刷新参数估计向量(t),用式(29)刷新参数估计矩阵θ1(t)。

4) 用式(35)～(37)计算辅助模型的输出向量(t)和滤波输出向量。

4 滤波辅助模型递阶多新息广义增广随机梯度方法

设p为新息长度。根据多新息辨识理论[6,25],基于F-AM-HGESG 算法(27)～(39),按照式(52)～(57)定义堆积输出向量Y(p,t),堆积输出矩阵Y1(p,t),堆积信息矩阵Φ(p,t),堆积信息向量Φ1(p,t),堆积信息矩阵Ψ(p,t)和Ψ1(p,t),将式(27)中信息矩阵(t)扩展为堆积信息矩阵Ψ(p,t),新息向量e(t)扩展为一个大新息向量E(p,t),得到

将式(29)中信息向量(t)扩展为堆积信息矩阵Φ(p,t),新息向量e(t)扩展为新息矩阵E1(p,t),得到

将式(30)中信息矩阵(t)扩展为堆积信息矩阵Ψ(p,t),信息向量(t)扩展为堆积信息矩阵Φ(p,t),得到

联立式(42)～(46)和式(31)～(39),就得到辨识MBJ系统(1)参数向量ρ和参数矩阵θ的滤波辅助模型递阶多新息广义增广随机梯度算法(filtered auxiliary model hierarchical multi-innovation generalized extended stochastic gradient algorithm,F-AMHMI-GESG 算法),或辅助模型滤波递阶多新息广义增广随机梯度算法(auxiliary model filtered hierarchical multi-innovation generalized extended stochastic gradient algorithm,AM-F-HMI-GESG 算法)[19]:

从F-AM-HMI-GESG辨识算法,可得到一些特殊的滤波辅助模型递阶多新息随机梯度辨识算法。

1) 当nγ=0 和nδ=0 时,F-AM-HMI-GESG辨识算法(47)～(66)退化为多变量输出误差(MOE)系统的多变量辅助模型多新息随机梯度算法(multivariable auxiliary model multi-innovation stochastic gradient algorithm,M-AM-MISG 算法)[7,24]。

2) 当nγ=0时,F-AM-HMI-GESG 辨识算法(47)～(66)退化为多变量输出误差滑动平均(MOEMA)系统的滤波辅助模型递阶多新息增广随机梯度算法(filtered auxiliary model hierarchical multi-innovation extended stochastic gradient algorithm,F-AM-HMI-ESG 算法)。

3) 当nδ=0时,F-AM-HMI-GESG 辨识算法(47)～(66)退化为多变量输出误差自回归(M-OEAR)系统的滤波辅助模型递阶多新息广义随机梯度算法(filtered auxiliary model hierarchical multi-innovation generalized stochastic gradient algorithm,F-AM-HMI-GSG 算法)。

4) 读者可以写出多变量输出误差自回归滑动平均(M-OEARMA)系统的加权滤波辅助模型递阶多新息广义增广随机梯度(W-F-AM-HMI-GESG)算法或加权辅助模型滤波递阶多新息广义增广随机梯度(W-AM-F-HMI-GESG)算法、遗忘因子滤波辅助模型递阶多新息广义增广随机梯度(FF-F-AMHMI-GESG)算法或辅助模型滤波遗忘因子递阶多新息广义增广随机梯度(AM-F-FF-HMI-GESG)算法、加权遗忘因子滤波辅助模型递阶多新息广义增广随机梯度算法(W-FF-F-AM-HMI-GESG)算法或加权辅助模型滤波遗忘因子递阶多新息广义增广随机梯度(W-AM-F-FF-HMI-GESG)算法。

例如,为提高参数估计精度和收敛速率,可在F-AM-HMI-GESG 算法(47)～(66)中引入遗忘因子λ,即将式(51)修改为

就得到辅助模型滤波遗忘因子递阶多新息广义增广随机梯度算法(auxiliary model filtered forgetting factor HMI-GESG algorithm,AM-F-FF-HMIGESG 算法)。当然,一些梯度类算法都可以引入收敛指数、加权因子、遗忘因子等得到相应的辨识算法,不一一论述[2-3]。

F-AM-HMI-GESG 算法(47)～(66)计算参数向量(t)和参数矩阵(t)的步骤如下。

2) 采集输入输出数据u(t)和y(t)。用式(59)～(61)构造输出信息矩阵,以及信息向量(t),用式(58)计算信息矩阵(t)。

3) 用式(52)～(53)构造堆积输出向量Y(p,t)和堆积输出矩阵Y1(p,t),用式(54)～(55)构造堆积信息矩阵Φ(p,t)和堆积信息向量Φ1(p,t),用式(56)～(57)构造堆积信息矩阵Ψ(p,t)和Ψ1(p,t)。

4) 用式(51)计算r(t),用式(48)计算新息向量E(p,t),用式(47)刷新参数估计向量(t),用式(50)计算新息矩阵E1(p,t),用式(49)刷新参数估计矩阵(t)。

5) 用式(62)～(64)计算辅助模型的输出向量(t)和滤波输出向量)。

6) 如果‖(t)-(t-1)‖+‖(t)-(t-1)‖＞ε,t就增加1,即t=t+1,转到步骤2);否则输出参数估计向量(t)和参数估计矩阵θ1(t),终止计算过程。

5 滤波辅助模型递阶广义增广递推梯度辨识方法

根据M-BJ系统(1)的滤波递阶辨识模型(16),定义准则函数

仿照递阶梯度算法的推导[5,7,17],未知信息矩阵ψ(t)和信息向量φ(t)用其估计(t)和(t)代替,使用梯度搜索,极小化准则函数J2(ρ,θ),联立式(31)～(39),便得到辨识M-BJ系统(1)参数向量ρ和参数矩阵θ的滤波辅助模型递阶广义增广递推梯度算法(filtered auxiliary model hierarchical generalized extended recursive gradient algorithm,FAM-HGERG 算法),简称为滤波辅助模型递阶广义增广梯度算法(filtered auxiliary model hierarchical generalized extended gradient algorithm,F-AMHGEG 算法),或辅助模型滤波递阶广义增广梯度算(auxiliary model filtered hierarchical generalized extended gradient algorithm,AM-F-HGEG 算法)[13]:

从F-AM-HGEG 辨识算法,我们可以得到一些特殊的滤波辅助模型递阶递推梯度辨识算法。

1) 当nγ=0和nδ=0时,F-AM-HGEG 算法(69)～(85)退化为多变量输出误差(M-OE)系统的多变量辅助模型递推梯度算法(multivariable auxiliary model recursive gradient algorithm,M-AM-RG算法)[7]。

2) 当nγ=0 时,F-AM-HGEG 算法(69)～(85)退化为多变量输出误差滑动平均(M-OEMA)系统的滤波辅助模型递阶增广梯度算法(filtered auxiliary model hierarchical extended gradient algorithm,F-AM-HEG 算法)[7]。

3) 当nδ=0 时,F-AM-HGEG 算 法(69)～(85)退化为多变量输出误差自回归(M-OEAR)系统的滤波辅助模型递阶广义梯度算法(filtered auxiliary model hierarchical generalized gradient algorithm,F-AM-HGG 算法)。

4) 读者可以写出多变量输出误差自回归滑动平均(M-OEARMA)系统的加权滤波辅助模型递阶广义增广梯度(W-F-AM-HGEG)算法或加权辅助模型滤波递阶广义增广梯度(W-AM-F-HGEG)算法、遗忘因子滤波辅助模型递阶广义增广梯度(FFF-AM-HGEG)算法或辅助模型滤波遗忘因子递阶广义增广梯度(AM-F-FF-HGEG)算法、加权遗忘因子滤波辅助模型递阶广义增广梯度(W-FF-F-AMHGEG)算法或加权辅助模型滤波遗忘因子递阶广义增广梯度(W-AM-F-FF-HGEG)算法。

F-AM-HGEG 辨识算法(69)～(85)计算参数估计向量(t)和参数估计矩阵θ1(t)的步骤如下。

2) 采集输入输出数据u(t)和y(t)。用式(78)～(80)构造输出信息矩阵,以及信息向量(t),用式(77)计算信息矩阵(t)。

3) 用式(70)计算r1(t),用式(71)计算向量ξ1(t),用式(72)计算矩阵R1(t),用式(69)刷新参数估计向量(t)。

4) 用式(74)计算r2(t),用式(75)计算向量ξ2(t),用式(76)计算矩阵R2(t),用式(73)刷新参数估计矩阵(t)。

5) 用式(81)～(83)计算辅助模型的输出向量(t)和滤波输出向量。

6) 如果‖(t)-(t-1)‖+‖(t)-(t-1)‖＞ε,t就增加1,即t=t+1,转到步骤2);否则输出参数估计向量(t)和参数估计矩阵(t)终止计算过程。

6 滤波辅助模型递阶多新息广义增广递推梯度方法

设正整数p为新息长度。根据多新息辨识理论[6,25],基于F-AM-HGEG 算法(69)～(85),按照式(94)～(99)定义堆积输出向量Y(p,t),堆积输出矩阵Y1(p,t),堆积输入信息矩阵Φ(p,t),堆积输入信息向量Φ1(p,t),堆积信息矩阵Ψ(p,t)和Ψ1(p,t),将式(69)～(72)中新息向量y(t)-(t-1)(t)扩展为一个大新息向量Y(p,t)-,输出信息矩阵(t)扩展为堆积输出信息矩阵Ψ(p,t),得到式(86)～(89),再将式(73)～(76)中新息向量y(t)+(t(t-1)扩展为新息矩阵Y1(p,t)+(p,t)(Ip⊗(t-1)),输入信息向量(t)扩展为堆积输入信息矩阵Φ(p,t),得到式(90)～(93),联立式(77)～(85),能够得到辨识M-BJ系统(1)参数向量ρ和参数矩阵θ的滤波辅助模型递阶多新息广义增广递推梯度算法(filtered auxiliary model hierarchical multi-innovation generalized extended recursive gradient algorithm,F-AM-HMI-GERG 算法),简称为滤波辅助模型递阶多新息广义增广梯度算法(filtered auxiliary model hierarchical multi-innovation generalized extended gradient algorithm,F-AMHMI-GEG 算法),或辅助模型滤波递阶多新息广义增广梯度算法(auxiliary model filtered hierarchical multi-innovation generalized extended gradient algorithm,AM-F-HMI-GEG 算法)[13]:

从F-AM-HMI-GEG 辨识算法,可以得到一些特殊的滤波辅助模型递阶多新息梯度辨识算法。

1) 当nγ=0和nδ=0时,F-AM-HMI-GEG 算法(86)～(108)退化为多变量输出误差(M-OE)系统的多变量辅助模型多新息递推梯度算法(multivariable auxiliary model multi-innovation recursive gradient algorithm,M-AM-MIRG 算法)[7]。

2) 当nγ=0时,F-AM-HMI-GEG 算法(86)～(108)退化为多变量输出误差滑动平均(M-OEMA)系统的滤波辅助模型递阶多新息增广梯度算法(filtered auxiliary model hierarchical multi-innovation extended gradient algorithm,F-AM-HMI-EG 算法)[7]。

3) 当nδ=0时,F-AM-HMI-GEG 算法(86)～(108)退化为多变量输出误差自回归(M-OEAR)系统的滤波辅助模型递阶多新息广义梯度算法(filtered auxiliary model hierarchical multi-innovation generalized gradient algorithm,F-AM-HMI-GG 算法)。

4) 读者可以写出多变量输出误差自回归滑动平均(M-OEARMA)系统的加权滤波辅助模型递阶多新息广义增广递推梯度(W-F-AM-HMI-GERG)算法,或加权辅助模型滤波递阶多新息广义增广梯度(W-AM-F-HMI-GEG)算法、遗忘因子滤波辅助模型递阶多新息广义增广递推梯度(FF-F-AMHMI-GERG)算法或辅助模型滤波遗忘因子递阶多新息广义增广梯度(AM-F-FF-HMI-GEG)算法、加权遗忘因子滤波辅助模型递阶多新息广义增广递推梯度(W-FF-F-AM-HMI-GERG)算法 或加权辅助模型滤波遗忘因子递阶多新息广义增广梯度(WAM-F-FF-HMI-GEG)算法。

F-AM-HMI-GEG辨识算法(86)～(108)计算参数估计向量(t)和参数估计矩阵(t)步骤如下。

2) 采集输入输出数据u(t)和y(t)。用式(101)～(103)构造输出信息矩阵(t)和(t),以及信息向量(t),用式(100)计算信息矩阵(t)。

3) 用式(94)～(95)构造堆积输出向量Y(p,t)和堆积输出矩阵Y1(p,t),用式(96)～(97)构造堆积信息矩阵Φ(p,t)和堆积信息向量Φ1(p,t)。用式(98)～(99)构造堆积信息矩阵Ψ(p,t)和Ψ1(p,t)。

4) 用式(87)计算r1(t),用式(88)计算向量ξ1(t),用式(89)计算矩阵R1(t),用式(86)刷新参数估计向量(t)。

5) 用式(91)计算r2(t),用式(92)计算向量ξ2(t),用式(93)计算矩阵R2(t),用式(90)刷新参数估计矩阵(t)。

6) 用式(104)～(106)计算辅助模型的输出向量(t)和滤波输出向量(t)和(t)。

7) ‖(t)-(t-1)‖+‖(t)-(t-1)‖＞ε,t就增加1,即t=t+1,转到步骤2);否则输出参数估计向量(t)和参数估计矩阵(t),终止计算过程。

7 滤波辅助模型递阶广义增广最小二乘辨识方法

根据滤波递阶辨识原理,未知信息矩阵ψ(t)和信息向量φ(t) 用其估计(t)和(t)代替,令J2(ρ,θ)分别对ρ和θ的偏导数为零,联立式(31)～(39),能够推导出辨识M-BJ系统(1)参数向量ρ和参数矩阵θ的滤波辅助模型递阶广义增广最小二乘算法(filtered auxiliary model hierarchical generalized extended least squares algorithm,FAM-HGELS算法),或辅助模型滤波递阶广义增广最小二乘算法(auxiliary model filtered hierarchical generalized extended least squares algorithm,AMF-HGELS算法)[19]:

从F-AM-HGELS辨识算法,可以得到一些特殊的滤波辅助模型递阶最小二乘辨识算法。

1) 当nγ=0和nδ=0时,F-AM-HGELS算法(109)～(124)退化为多变量输出误差(M-OE)系统的多变量辅助模型递推最小二乘算法(multivariable auxiliary model recursive least squares algorithm,M-AM-RLS算法)[2-3,7,19,26]。

2) 当nγ=0时,F-AM-HGELS算法(109)～(124)退化为多变量输出误差滑动平均(M-OEMA)系统的滤波辅助模型递阶增广最小二乘算法(filtered auxiliary model hierarchical extended least squares algorithm,F-AM-HELS算法)[7,19]。

3) 当nδ=0时,F-AM-HGELS 算法(109)～(124)退化为M-OEAR 系统的滤波辅助模型递阶广义最小二乘算法(filtered auxiliary model hierarchical generalized least squares algorithm,F-AMHGLS算法)。

4) 可以写出多变量输出误差自回归滑动平均(M-OEARMA)系统的加权滤波辅助模型递阶广义增广最小二乘(W-F-AM-HGELS)算法或加权辅助模型滤波递阶广义增广最小二乘(W-AM-FHGELS)算法、遗忘因子滤波辅助模型递阶广义增广最小二乘(FF-F-AM-HGELS)算法或辅助模型滤波遗忘因子递阶广义增广最小二乘(AM-F-FFHGELS)算法、加权遗忘因子滤波辅助模型递阶广义增广最小二乘(W-FF-F-AM-HGELS)算法或加权辅助模型滤波遗忘因子递阶广义增广最小二乘(W-AM-F-FF-HGELS)算法。

F-AM-HGELS辨识算法(109)～(124)计算参数估计向量(t)和参数估计矩阵θ1(t)步骤如下。

3) 用式(110)计算新息向量e(t),用式(111)计算增益矩阵L1(t),用式(112)计算协方差矩阵P1(t),用式(109)刷新参数估计向量(t),用式(114) 计算增益矩阵L2(t),用式(115)计算协方差矩阵P2(t),用式(113)刷新参数估计矩阵(t)。

4) 用式(120)～(122)计算辅助模型的输出向量(t)和滤波输出向量(t)和(t)。

5) 如果‖(t)-(t-1)‖+‖(t)-(t-1)‖＞ε,t就增加1,即t=t+1,转到步骤2);否则输出参数估计向量(t)和参数估计矩阵(t),终止计算过程。

8 滤波辅助模型递阶多新息广义增广最小二乘方法

设p为新息长度。根据多新息辨识理论[6,28],基于F-AM-HGELS 算法(109)～(124),按照式(133)～(138)定义堆积输出向量Y(p,t),堆积输出矩阵Y1(p,t),堆积输入信息矩Φ(p,t),堆积输入信息向量Φ1(p,t),堆积信息矩阵Ψ(p,t)和Ψ1(p,t),将式(109)中新息向量e(t)扩展为新息矩阵E(p,t),将式(113)中新息向量e(t)扩展为新息矩阵E1(p,t),(111)～(112)中信息矩阵(t)扩展为堆积信息矩阵Ψ(p,t),得到式(127)～(128),式(114)～(115)中输入信息向量(t)扩展为堆积输入信息矩阵Φ(p,t),得到式(131)～(132),联立式(116)～(124),便得到辨识M-BJ系统(1)对应的滤波辅助模型递阶辨识模型(16) 参数向量ρ和参数矩阵θ的滤波辅助模型递阶多新息广义增广最小二乘算法(filtered auxiliary model hierarchical multi-innovation generalized extended least squares algorithm,F-AM-HMI-GELS算法)[19]:

从F-AM-HMI-GELS辨识算法,可得到一些特殊的滤波辅助模型递阶多新息最小二乘辨识算法。

1) 当nγ=0 和nδ=0 时,F-AM-HMI-GELS算法(125)～(147)退化为M-OE 系统的多变量辅助模型多新息最小二乘算法(multivariable auxiliary model multi-innovation least squares algorithm,M-AM-MILS算法)[7,19]。

2) 当nγ=0 时,F-AM-HMI-GELS 算法(125)～(147)退化为 M-OEMA 系统的滤波辅助模型递阶多新息增广最小二乘算法(filtered auxiliary model hierarchical multi-innovation extended least squares algorithm,F-AM-HMI-ELS算法)[7,20]。

3) 当nδ=0 时,F-AM-HMI-GELS 算法(125)～(147)退化为M-OEAR 系统的滤波辅助模型递阶多新息广义最小二乘算法(filtered auxiliary model hierarchical multi-innovation generalized least squares algorithm,F-AM-HMI-GLS算法)。

4) 可以写出多变量输出误差自回归滑动平均(M-OEARMA)系统的加权滤波辅助模型递阶多新息广义增广最小二乘(W-F-AM-HMI-GELS)算法或加权辅助模型滤波递阶多新息广义增广最小二乘(W-AM-F-HMI-GELS)算法、遗忘因子滤波辅助模型递阶多新息广义增广最小二乘(FF-F-AM-HMIGELS)算法或辅助模型滤波遗忘因子递阶多新息广义增广最小二乘(AM-F-FF-HMI-GELS)算法、遗忘因子滤波辅助模型递阶多新息广义增广最小二乘(W-FF-F-AM-HMI-GELS)算法或加权辅助模型滤波遗忘因子递阶多新息广义增广最小二乘(WAM-F-FF-HMI-GELS)算法。

F-AM-HMI-GELS辨识算法(125)～(147)计算参数估计向量(t)和参数估计矩阵(t)的步骤如下。

2) 采集输入输出数据u(t)和y(t)。用式(140)～(142)构造输出信息矩阵(t)和(t),以及信息向量(t),用式(139)计算信息矩阵(t)。

3) 用式(133)～(134)构造堆积输出向量Y(p,t)和堆积输出矩阵Y1(p,t),用式(135)～(136)构造堆积信息矩阵Φ(p,t)和堆积信息向量Φ1(p,t)。用式(137)～(138)构造堆积信息矩阵Ψ(p,t)和Ψ1(p,t)。

4) 用式(126)计算新息向量E(p,t),用式(127)计算增益矩阵L1(t),用式(128)计算协方差矩阵P1(t),用式(125)刷新参数估计向量(t)。

5) 用式(130)计算新息矩阵E1(p,t),用式(131)计算增益矩阵L2(t),用式(132)计算协方差矩阵P2(t),用式(129)刷新参数估计矩阵(t)。

6) 用式(143)～(145)计算辅助模型的输出向量(t)和滤波输出向量(t)和(t)。

7) 如果‖(t)-(t-1)‖+‖(t)-(t-1)‖＞ε,t就增加1,即t=t+1,转到步骤2);否则输出参数估计向量(t)和参数估计矩阵(t),终止计算过程。

9 结语

针对多变量输出误差自回归滑动平均(M-OEARMA)系统,利用滤波辨识理念和辅助辨识思想,提出了滤波辅助模型递阶(多新息)广义增广随机梯度辨识方法、滤波辅助模型递阶(多新息)广义增广递推梯度辨识方法、滤波辅助模型递阶(多新息)广义增广最小二乘辨识方法。这些滤波辅助模型递阶广义增广辨识方法可以推广到其它有色噪声干扰下的线性和非线性多变量随机系统中[28-40]。