以APOS理论为基础的高数极限概念教学实践分析

殷 月

（锦州师范高等专科学校，辽宁 锦州 121000）

APOS理论主要针对数学概念模型的学习方法而提出。数学概念不是单一片面的某种定义或规律的解释，而是通过心理认知及逻辑推演，在大脑中形成动态的数学模型，在心理上构建学生对数学概念的理解架构。APOS 理论主要包括活动、程序、对象、图式等建构过程。通过解决问题的情境，即图式结构，达到深入理解数学概念及学习提升的目的。

深入解读APOS 理论时要结合数学概念的特点，在理解某个数学概念前通过主动建构与设计后形成活动。活动通过内部化作用演变为程序，然后经过压缩形成可应用新活动的对象，也可通过反压缩的效应形成所需的程序，以图式的方式呈现其组织活动、形成程序及对象的过程。APOS 理论的流程为活动—程序—对象—图式等。在实际APOS理论教学或学习应用中需强调其阶段性，减少不必要的学习意识形态局限，灵活调度各个阶段的思维认知，理解与掌握数学概念。因此，作为一种学习理论、教学方法，APOS 理论的应用表现为各阶段明确、灵活、调整、创新。

一、高数极限概念教学现状分析

（一）教材编排顺序和教学大纲要求分析

现阶段，我国高校高数教学由以往的理论性逐步向实践性转型，极限概念作为高数的重要内容，其关键性不言而喻。学好极限概念对于后期的微积分知识掌握至关重要。极限概念主要包括数列极限、函数极限。针对高数教材编排顺序及教学大纲要求进行分析，要使学生熟练地掌握极限概念需经过三个阶段的巩固提高，包括数列极限（n→∞，an→A）、变量极限（x→a）、函数极限（x→a，f（x）→b）。数列极限是重要的基础环节，是极限概念的初期掌握阶段，在该阶段要根据教学大纲合理设计，帮助学生打下良好基础；变量极限是极限概念学习的过渡内容，起到衔接基础与高阶的作用，此阶段教学要提高学生对极限概念的应用能力；函数极限是关键核心阶段，教师需根据教学大纲要求，通过信息化建模提升极限概念的生活化、实操性。因此，在整个教学过程中要按照教材编排逐层设计教学内容，强化基础知识，提升高阶应用能力。

（二）极限概念抽象难度的逻辑分析

在极限概念学习上学生会遇到诸多问题，其中最为严重的便是极限概念的抽象性。抽象性在实际教学中很难通过一种有效的方式解决。调查发现，多数学生在学习高数极限概念时往往思维模糊，对概念的抽象定义不明确，无法形成完整且客观的抽象模型，无穷小量的“似零非零”需要从实无限、潜无限的辩证观念进行解读，但当下教师所采用的描述语言过于模糊，无法将极限概念进行客观定性，学生学习过于盲从。在极限概念的掌握学习中一定要反复体验、循环上升。目前教师在实际教学中采用逐层设计的方式，通过定义形式、关系明确、表明关系、成立条件等层次教学，将以往教学中的“一句话”定义概念进行不断地层次验证，形成过程化的概念推演，让学生更为立体、客观地掌握极限概念。

（三）极限概念三元指标分析

通过对极限概念三元指标观察发现，极限概念由“过程”到对象的转变相对复杂。采用抽象度分析方式，在学习此概念时，需要从原有认知结构中同时激活多个相关概念，包括数列、自然数、距离、不等式、ε的任意性和确定性、N的存在性和不唯一性等，信息量远远超过了短时工作记忆的容量，而且ε的任意性和确定性、N的存在性和不唯一性又是学生原有认知结构中所未有的，这就大大影响了整合的速度。从这个意义上说，当前数列极限概念教学中主张预先补课、分散难点、各个击破的方式是合理的。

二、数学概念学习特点及心理表征

（一）数学概念学习特点

分析数学概念的学习特点，便于掌握学生的学习心理及特点。首先，学生数学概念学习存在盲从特点。数学概念的客观性、立体性较弱，概念学习中需通过思维塑造或逻辑架构的方式推演概念，在推演过程中学生的自主性、创造性不足，只能按照教师的指导思路学习，盲从性严重导致其数学概念的学习效果不佳。其次，学生在数学概念学习中注重理论讲解、忽视逻辑抽象。学习过程中学生只是根据教师对概念的言语描述对其定性，单从文字及言语上很难全面深入掌握数学概念。学习中学生的概念逻辑、概念抽象的分析创造能力偏低，无法设计概念模型，不能明确概念性质，造成数学概念的系统掌握不足。

（二）数学概念学习的心理表征

数学概念学习的心理表征是指学生在学习数学概念中表现的心理状态、行为动作，体现学生对数学概念学习的基本认知及实际情况。首先，学生对数学规律、概念变化的演变性存在排斥心理。以高等数学的极限概念为例，从定义解读上虽然可快速掌握极限概念，但在实际应用与解题过程中很难掌握极限概念的变化规律、灵活适用。学生对极限概念的适应心理依然停留在静态的概念描述上，而非动态的数学规律变化及概念延展应用，导致在学习中产生恐惧心理，不利于对极限概念的深入掌握。其次，学生在学习数学概念过程中畏难心理严重。畏难心理是指在学习极限概念中出现的不解、不惑或困境等问题，无法通过建模的方式将概念进行演变，在解题中不能融合概念的拓展性，导致概念应用过于片面、思维逻辑过于单一，简单地认为数学概念就是一种基础的数学规律及定理描述，无法解决问题造成畏难心理出现。再次，学生在学习数学概念时缺乏“过程心理”，更多为“结果心理”，不能从活动、程序、对象、图式的层面入手，将极限概念的学习过程、学习阶段进行思维设计，而是更多地注重概念的论证结果，造成对极限概念的表层了解而非深度掌握。

三、基于APOS 理论的高数极限概念教学实践

（一）指导思想

在本次教学实践设计中，以“育人、创新”为指导思想，根据高等学校数学教学大纲，立足培养实践数学人才的标准，认真贯彻中央提出的“立德树人”指导思想，探讨将APOS 理论应用在高数极限概念教学中的可行性、重要性和方法性。根据APOS 理论在概念学习中的四个阶段进行设计，明确本次教学的重点及难点，并将极限概念的实效性、应用性、生活化进行体现，减少过度的形式设计与繁杂内容，提升本次教学设计的有效性。帮助学生养成良好的学习习惯，形成自主分析与探究的主观意识，在极限概念学习中不再盲从，而是客观地分析极限概念的规律，掌握建模技术。同时，利用APOS理论消除学生的畏难心理，改变其心理表征，引导学生形成过程化的学习思维，在极限概念掌握上不再注重表面，而是剖析极限概念的深度，提高极限概念教学质量［1］。

（二）教学原则

第一，主体性原则。本次教学设计中确定学生为认知主体，根据生本教育及“以人为本”的指导思想，要让学生积极参与到本次教学活动当中。在整个过程中，教师为学生设计有序、趣味、多元的数学构建活动，为学生提供良好的学习环境，将极限概念进行情境构建，让学生自由开放地感受其中，引导学生自主理解、自主分析、互动交流及认真评价，并将极限概念知识运用到生活实践当中。

第二，适应性原则。在教学实践开展中，更加注重学生的适应性。多数学生对APOS 理论了解不深，对其内涵掌握不足，在极限概念学习中思维与认知很难快速转变。因此，在学生传统思维及过往经验的基础上，可采用概念引导、过程设计的方式，让学生逐步逐层地适应APOS理论的运用实践。在传统经验及认知思维上巩固创新，帮助学生获得新的学习能力、思维认知。

第三，个性化原则。本次教学实践设计采用自由开放的方式，提高学生的学习自主性、兴趣引导性。学生可根据自身的经验、学习能力、兴趣、个性特征等，自主选择学习内容、学习方法，通过APOS理论激发学生对极限概念及应用的学习兴趣［2］。

（三）学情分析

第一，学生对极限概念的性质、内涵等掌握不足、了解不深，多数学生还处在极限概念的基础阶段，对极限规律及拓展知识了解不深，不能全面、系统地开展学习，对概念的运用不足，只能从理论层面解读。因此，针对多数学生的实际情况，采用APOS理论，巩固学生对极限概念的深度掌握，让学生在日后学习与解题中更好地运用极限概念。

第二，学生对数学概念的认知较弱，对数学规律的掌握不足，整体数学素养偏低。通过对班级学生的学情分析发现，学生的数学概念认知较差，虽然多数学生掌握极限概念，也可通过语言描述的方式对其定性，但对概念的逻辑性、拓展性、变化性认知不够。只有少数学生可以利用极限概念解决问题，多数学生无法掌握数学规律，数学素养偏低，在实际学习中形式大于实效。

（四）教学案例

教学实践以高等教育出版社出版的《高等数学》第七版（上册）作为教材，依据APOS 理论运用在极限概念的教学要求，通过信息化教学模式，以数列极限为例，开展完整教学设计。

1.极限概念学习资源设计

本次教学设计以APOS 理论为主，利用信息化数学教学模式，提升学生对极限概念的立体掌握，制作相应的APOS理论信息化极限概念教学PPT，并通过移动终端与App实现线上+线下的学习模式（见图1、图2）。

图1 极限概念学习模式

图2 基于APOS理论的极限概念教学模式

2.活动阶段——分析有关概念，构建数列极限初步认知思维

思考一：写出下列数列的通项公式并思考，当以下数列的项数无穷大时，该数列是否无限趋近于一个常数；若是，写出这个数，若不是请说明理由。

（2）3，5，9，17，33，65.......

（3）0，1，0，1，0，1.......

设计目的：对中学阶段的数学概念进行回顾，主要涉及数列的概念，特殊的数列，有界数列、无界数列，单调递增数列、单调递减数列，子数列的概念等，为数列极限的内涵了解及掌握奠定基础。

然后，教师利用信息化PPT演示，讲解极限概念的演变历程，如刘徽求圆周率精确值的“割圆术”；牛顿和莱布尼兹创立微积分时关于无穷小量的讨论产生了第二次数学危机之后，极限概念的描述性定义的缺陷凸显，外尔斯特拉斯给出了极限概念的形式化定义消除第二次数学危机等，体现极限概念的直观性，描述一种无限接近的数学思想［3］。

设计目的：主要从数学发展的视角对极限概念的背景、思想等进行回顾，提升学生对极限概念的感性认知，将语言的描述性与符号性进行明确，让学生的数学思维在不断抽象的变化中得到练习，让学生感受到最为直观的极限观，了解极限是一个无限逼近的过程［4］。

3.程序阶段——讲解数列极限定义与几何含义

思考二：第一次画出一个边长为1的正方形，第二次在第一次画出的正方形的左上方与右下方画出边长为的正方形，以此类推，请问最后阶梯会变成什么样子？它的面积是多少？（见图3）

图3 思考二案例

观察图3后发现，画到最后会变成三角形，对该情况如何通过数学概念进行刻画呢？这种无限接近的效果需如何描述呢？假如你正在奔跑，要追上前面的人需要怎么办呢？等你逐渐接近他时，你会与他的距离越来越近，也就是“你们之间的距离足够小，无限接近0”［5］。

设计目的：主要是让学生结合生活领悟感受极限概念中“无限逼近”的思想。

思考三：掰粉笔，第一次掰一半，第二次掰剩下的一半的一半，直到粉笔小于0.01mm，你能否完成这项游戏？

设计目的：引导学生体验及分析“无限”的本质，即无法达到，如确定一个标准，该无限过程可判定为有限，故此引出“数列极限”的概念。

先确定一个标准∀ε＞0，总会存在某个时刻N（∃N＞0），当n＞N时，达到标准（|an-a|＜ε），设{an}为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当n＞N时，不等式|an-a|＜ε均成立，那么就称常数a是数列{an}的极限，或者称数列{an}收敛于a，记为an→a（n→∞）；如不存在该常数a，就说明数列{an}没有极限，或者说数列{an}是发散的，习惯上也说不存在。几何解释如图4所示。

图4 数列极限几何解释

从N项之后，每一项都在领域U（a，ε）内。

4.对象阶段——采用数列极限的定义证明

设计目的：帮助学生展开思考，并找到其关键点，找出一个N，该N与ε紧密相关。借此对如何运用数列极限定义进行讲解，阐明该数列极限的证明方法。

证明思路：从|an-a|分析n＞φ（ε），取［φ（ε）］，则当n＞N时，就是|an-a|＜ε。

思考四：请同学们思考为什么要对找到的N取整？

设计目的：让学生明白，N是正整数，取整是取φ（ε）的整数部分，假设φ（ε）为3.7，取N=［3.7］=3，即n＞3，那么N从第4 项开始取值，可知4＞3.7，表明该“数”的整数部分显然大于这个数，因此对φ（ε）取整是非常关键的。

5.图式阶段——梳理数列极限概念的知识

数列的极限概念思维导图如图5所示。

图5 数列的极限概念思维导图

（五）教学策略

1.丰富感性素材，加速“活动”到“过程”的自动化进程

在极限概念的教学开展中，教师需注重素材的感性化。感性化的素材是指能够拓展学生极限概念思维的学习元素。数学概念的学习强化学生思维活动的引导，极限概念教学中，教师利用APOS理论，按照教学大纲开展教学活动，加速“活动”到“过程”的自动化进程。活动到过程是思维转变的关键环节，教师可结合趣味教学法，将繁杂的数学概念进行简化，通过感性素材的应用，增加课堂学习的互动性、数学信息模型的融合性，如利用数学历史发展及数学思想的演变故事，将数学史中关于极限的趣味元素植入，拉近与学生之间的距离，让学生认识到极限出现与发展的形成过程、重要性等。如战国时期《庄子·天下篇》中截杖问题“一尺之捶，日取其半，万世不竭”等，无不闪现出极限思想的光辉。《庄子·天下篇》中的截杖问题，为什么会“万世不竭”呢？每天剩留量是多少呢？可以利用无穷数列的方式解决，让学生对极限概念更加深入了解［6］。

2.选择合理创设情境，在“过程”到对象的过程中获得充分的体验和反思

在极限概念教学中，情境设计与环境创设也同样重要。合理的情境创设能让学生在“过程”到对象的过程中获得新的体验感受，并培养反思意识。高数中的极限概念更加注重生活化、有效性，诸多生活问题与极限概念紧密关联。APOS理论注重“过程”到对象的思维拓展及创新能力培养，教师在教学设计中可利用信息化技术关联生活实践，让学生通过角色扮演的方式参与其中，切身体验“无穷大、无限接近”的极限概念，让学生在极限概念学习中养成良好的总结习惯及不足反思［7］。

3.综合函数极限概念的集合包容，促进对象到图式的系统化进程

极限概念教学中更好地反映出函数极限、数列极限尤为关键。极限概念在逻辑思维上具有统一性，APOS理论也提出通过一种项目的过程演变，培养学生的极限概念综合思维。在实际教学中，教师需将数列极限概念纳入函数极限概念当中，函数极限概念具有较大的延展性，在“无穷大、无限接近”上更能体现其变量关系。高数课程内容中函数占比较大，重要性明显，函数在极限描述上更加客观精确、多元丰富。APOS理论强调对象到图式的系统化转变，图式中要体现本次教学的重点及概念解读，要将数列极限与函数极限进行融合，通过函数关系的图式表现数列极限概念，提升数列函数的立体性、层次感。另外，在极限概念教学中，图式要反映出综合知识点，数列极限的表现可通过简单的函数图像呈现，加深学生对极限概念的了解。

本研究通过对以APOS理论为基础的高数极限概念教学实践进行研究，强化APOS 理论下对学生极限概念运用能力的培养，利用APOS 理论与信息技术构建完善的高数极限概念教学体系，从不同层面对高数极限概念教学设计的可行性、重要性、策略性进行阐明，提升极限概念教学的引导性与创新性。目前APOS理论在高数极限概念教学实践中逐渐推广应用。“立德树人”指导思想要求培养学生对极限概念的领悟体验、探究能力及实践运用，通过APOS理论，综合信息技术创新极限概念教学内容，立体客观、多元丰富地展现极限概念，规避以往的建模局限与思维屏障，拓展学生的高数极限概念学习思维。