指向关系性理解的图形与几何整体教学探究——以“三角形的中位线”为例

吴筠林|浙江省杭州市公益中学

学生之所以不能快速地进行信息关联与有效转化，主要是因为平时仅仅是对单个知识点进行理解与应用，而没有将其融入整个知识体系的脉络中.《义务教育数学课程标准（2022年版）》强调，教师的责任在于揭示教学内容的内在联系，采用结构化的设计方法，帮助学生构建能深刻理解数学本质的知识体系，使其启动逆向思维，对单点知识作关联延伸.斯根普将数学理解分为“工具性理解”和“关系性理解”［1］，相比之下，关系性理解更注重学生对数学概念间深层联系的洞察，鼓励他们在不同概念间建立联结，促进高阶问题解决能力的提升.因此，关系性理解对初中图形与几何整体教学设计研究具有重要价值.

一、认知重塑：关系性理解的核心要素

（一）关系性理解的内涵

关系性理解是一种高级认知方式，即学习者能够厘清数学知识体系中各种要素之间的相互关系和相互作用，对数学知识与其意义获得的途径以及数学规律的逻辑依据有着深刻的认知［2］.它强调知识间的相互联系和逻辑关系，旨在帮助学生建立知识之间的联系，以实现知识的整体性整合.具体包括：（1）理解并掌握学习内容的概念及其内在联系；（2）独立解决问题，利用知识间的关系；（3）对学习内容进行分类、归纳，揭示知识间的规律；（4）通过比较和联系不同元素，形成全面理解；（5）利用探究和创新方法，发现新问题并解决.在教学中，教师应从整体、联系和发展的角度出发，促进学生深入了解数学知识的起源、构造、关联及其在现实生活中的应用和意义［3］.应用关系性理解实施教学主要有四个关键环节，具体如表1所示.

表1 应用关系性理解实施教学的关键环节

（二）关系性理解在图形与几何整体教学中的重要作用

数学整体教学的核心理念在于，从单一知识的学习走向以小单元、大单元为统领的探究，培养学生具备整体性和系统性思维.教师不仅要引导学生掌握具体的数学知识，更要引导他们深入理解这些知识的起源、演变和应用过程，并通过揭示数学知识的“前世今生”，帮助学生从全局的视角把握数学的内在逻辑和发展脉络.

在图形与几何教学中，关系性理解至关重要，它既是学生掌握知识的基石，也是塑造思维、提升问题解决能力的核心.通过深入挖掘核心概念如空间、形状和变换，学生能在脑海中构建清晰的知识网络，从而更精准地感知和想象几何形状间的空间关系.这不仅能显著提升学生的逻辑推理能力，使其在几何定理和性质的证明与应用中更加得心应手，还能帮助学生从整体上把握问题，洞察问题背后的本质和规律，高效地找到并实施解决方案.因此，关系性理解不仅是图形与几何教学的关键所在，而且是培养学生综合素质的重要途径.

二、路径驱动：基于关系性理解的图形与几何整体教学的关键

（一）关系性理解的具体表现指南

基于关系性理解的图形与几何整体教学的一般路径强调知识间的相互联系和逻辑关系，注重培养学生的空间想象力、逻辑推理能力和问题解决能力.通过深入理解概念之间的内在联系，建立知识网络，学生能够更好地掌握图形与几何的知识体系，提升数学思维能力.关系性理解各层次的具体表现、指向内涵如表2所示.

表2 关系性理解各层次的具体表现、指向内涵

在教学中，教师可先引导学生掌握图形与几何的基本概念，并通过直观演示和实例帮助他们形成基本认知.接着，教师可着重引导学生发现概念间的内在联系，运用正向演绎和逆向关联的方式培养他们的逻辑推理和结构链接能力.在这一过程中，教师可通过单元整体视角，培养学生的关系认知能力，并以启发式问题和实践操作，激发学生的空间想象力.最后，教师可通过实践应用和反思环节，促进知识内化和思维提升，使学生全面而深入地理解图形与几何知识.

（二）关系性理解在图形与几何教学中的驱动实施

以“三角形的中位线”教学为例，笔者首先从学生的经验出发，指导其寻找知识关联点，揭示知识发生的过程，提升正向演绎能力.接着，笔者引导学生深入探究元素间的逻辑关系，培养逻辑推理能力，理解概念本质.然后，笔者鼓励学生进行知识迁移，培养问题解决能力.最后，笔者引导学生总结归纳，构建完整的知识体系.各环节相互关联，共同促进学生对图形与几何知识的深入理解与应用.

1.基于经验：寻找知识关联点，提升知识发生的揭示能力

以单元整体的视角来获得研究对象——“三角形的中位线”，既可帮助学生透过单一几何图形的演变提升整体感知，又能加深其对平行四边形与三角形关系的理解.

问题1：平行四边形ABCD有哪些性质和判定？（回顾）

问题2：如图1 所示，将直线BD绕点O顺时针旋转，与边AB、CD交于点E和F，则OE与OF有何关系？（根据平行四边形的中心对称性可知OE=OF）

图1

问题3：从一般到特殊，在旋转过程中，有哪些特殊的位置值得研究呢？（当EO∥BC时引出三角形中位线的定义）

设计意图：通过回顾平行四边形的特性，可巧妙地揭示三角形中位线与平行四边形的紧密联系，并利用其中心对称性进行正向动态演绎，凸显局部与整体的相互转化.然后采用多点成线策略，成功构建二者间的逻辑关系，呈现从一般到特殊的探究路径，引导学生深入挖掘平行四边形与三角形之间深层次的相互依赖和转化关系，为后续定理的证明提供更加深入的理解和思考.

2.建立逻辑：探究元素间关系，发展逆向关联能力

基于学生已有的几何感知经验，笔者发现学生易于从平行四边形推导三角形性质，但逆向构造平行四边形则较具挑战.为深化学生对几何的理解，笔者认为，教师应重点引导学生探索图形变换（旋转△AEO或平移线段EO等）与比例关系，这是证明三角形中位线定理的关键.教学中，教师可先通过逆向关联培养学生的结构关联能力，再通过构造几何图形、识别图形结构以及理解结构间的关联，引导学生深入探究平行四边形与三角形的内在联系，形成对数学知识的整体性和系统性理解，从而把握数学的本质.

问题4：观察并猜想三角形的中位线有什么性质？

动手操作：验证三角形中位线的性质.

（1）画一画：任意画一个△ABC，E为AB的中点，O为AC的中点，连接EO.

（2）量一量：用量角器测量∠AEO和∠B的大小，用刻度尺测量EO和BC的长度.

（3）验一验：教师用几何画板验证.

［师生活动］学生动手操作画一画、量一量，教师用几何画板验证.

设计意图：引导学生通过观察、猜想，以及动手进行绘制、测量和验证等操作，培养探索几何图形元素间关系的方法，获得相关经验.“画一画”不仅是对中位线的直观理解，而且是对三角形要素（顶点、边、中点）间相互关系的初步探究.“量一量”既能帮助学生探究中位线的具体性质（如中位线与三角形边的比例关系），又能促进其对三角形内部角度和边长关系的深入理解.“验一验”可加深学生对几何元素及其关系的理解，促进其对几何结构整体关系的深入把握，从而提高其几何关系性理解能力.

推理证明：三角形的中位线性质.

已知：在△ABC中，EO是△ABC的中位线.求证：EO∥BC，且

师：刚刚我们通过平行四边形的性质认识了三角形的中位线，接下来，能否运用平行四边形的知识，深入挖掘三角形中位线的性质呢？

［师生活动］学生小组合作探究三角形中位线的性质（如图2 所示）.教师巡视，引导学生证明.

图2

师：刚刚想到的三种方法有什么共同特征？你还有其他方法吗？

生：三种方法都用到平行四边形解决问题，即将EO的长度变为原来的两倍，构造平行四边形.

师：这是“补短”的方法，那能否“截长”呢？

生：展示其探究（如图3所示）.

图3

设计意图：在几何教学中，教师要着重引导学生探寻几何图形间的内在联系和共性.由于三角形与平行四边形存在深层关联，我们可采用截长、补短等方法构造平行四边形的“补形”思维，将三角形的特定线段关系（如EO∥BC且转化为平行四边形的相应关系（如EF∥BC且EF=BC），这有助于学生深刻理解三角形中位线的性质，并领悟几何图形间的转化奥妙.

3.立足结构：把握数学规律，实现有效的迁移应用

学生很容易掌握一个单点数学知识的理解与应用，但一旦涉及复杂几何图形，学生就很难真正做到迁移应用.因此，教师不能只着眼于孤立的知识点，而应深入挖掘知识点之间的“内在关联”与“整体结构”，以及其在更广阔数学领域中的意义，引导学生总结数学规律、揭示本质，然后再应用规律解决问题.这样的教学才能真正地提升学生的几何思维和解决问题的能力.

问题5：在△ABC中，点D、E、F分别是△ABC三边的中点，联结DE、DF和EF，基于这个图形（图略），你能挖掘哪些新的数量和位置关系？

问题6：如图4 所示，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.

图4

（1）判断四边形EFGH的形状，并说明理由.

（2）若AC=BD，则EF与EH有什么关系？

（3）若AC⊥BD，则EF与EH有什么关系？

问题7：在考古学家发现的一块古巴比伦泥版上记载着这样一个有趣的故事：在巴比伦两河流域，有四兄弟本来相安无事地生活着，直到一天他们父亲的去世打破了这一平静，大家为了分割父亲留下的一块土地而争论不休，谁都不肯吃亏.若土地是三角形的，请同学们利用所学的数学知识设计方案帮助这四兄弟分地，并说明理由.

生：可以利用三角形中的一个重要性质“等高等底的三角形面积相等”，从三角形一边的中点出发，继而考虑到该边上的中线的中点，再进一步扩展到第二条边和第三条边的中点，最后联结各边中点.通过这样的划分，就能将三角形的中位线和中线紧密联系起来.

设计意图：通过应用中位线定理并形成平行四边形，引导学生从多个角度深入理解问题5中隐藏的数量和位置关系，这样既可加深学生对中位线定理的理解，也可为其提供一种新的几何图形构造技巧.问题6 可引导学生通过探索四边形ABCD各边中点连接而成的四边形EFGH的特征，深化对几何图形内在逻辑关系的理解.学生需将三角形的中位线性质应用于四边形中，通过连接对角线AC、BD，洞察四边形EFGH各边与四边形ABCD对角线之间的数量和位置关系，从而判定四边形EFGH为平行四边形.问题设置层层递进，从形状判断到深入分析边的关系，逐步提升学生的几何直观与问题解决能力.这一过程融合了中点、中位线及平行四边形等核心概念，有助于学生清晰地把握几何图形的整体与局部特性，形成对图形的整体认知，增强对几何性质的系统把握.由此，学生就可在复杂几何图形中识别其基本结构并灵活应用，从而解决诸如问题7的问题.

4.总结归纳：形成完整知识体系，完善几何图式构建能力

李士锜认为，学习一个数学概念、原理、法则，如果在心理上能够组织起适当而有效的认知结构，并使之成为个人内部知识网络的一部分，那么才说明是理解了［4］.这需要学生进行归纳梳理，将相关知识融为一体，构建结构化、体系化的认知框架.

在单元整体教学中，确立知识点的核心地位与内在联系，是构建完整知识体系的基石.三角形中位线的性质，从本质上理解，就是平行四边形的性质与判定的延伸、拓展，可为后续研究特殊平行四边形奠定坚实的基础.看清它的起源和走向，即可明确其在整个单元乃至数学体系中的重要地位.因此，三角形中位线的性质必须建立在局部与整体的联系中，形成一个清晰的正向演绎和逆向关联的几何图式.

完善图式构建能力的关键在于调动和整合学生的认知图式.教师应引导学生激活已有的平行四边形相关知识，并将其与三角形中位线的新知识进行有效融合.这种融合不仅能促进新旧知识之间的相互作用，还有助于学生在脑海中构建更加完善、系统的几何图式.

最后，强化认知结构的再组织与运用是巩固和完善知识体系的必要环节.在完成单元学习后，教师要引导学生对整个单元的知识进行回顾和总结，将各个知识点之间的联系和逻辑关系进一步明晰化.通过构建动态单元图式（如图5所示），学生能够更加直观地理解三角形中位线与平行四边形等其他几何图形的内在联系，从而在面对复杂数学问题时能够更加灵活地运用所学知识进行解决，培养终身学习和创新发展的能力.

图5 “三角形的中位线”动态单元图式

三、反思提升：图形与几何整体教学中关系性理解的渗透与内化

（一）关联视角：深入概念之源，构建认知之桥

理解概念的关键在于探究其本质并建立认知桥梁，了解概念定义只是基础，构建概念间的多维关系才是核心.这些关系包括相似性（共同特征）、关联性（相互影响）、依赖性（一个概念的理解依赖于另一个概念）等.通过这种深入的关联探索，我们能够全面且深刻地理解概念，并形成完整的认知体系.

（二）整合视角：洞察知识脉络，融合学习之道

在教学设计中，实现从局部到整体的过渡是关键，这要求从全局视角确定教学的起点.例如，探讨三角形中位线及其起源，就是将局部知识与整体框架相结合的典范.深入分析教材，我们发现三角形与四边形之间存在紧密联系.通过类比，将这两种图形相互转化，可增强学习的连贯性.如在平行四边形的研究中，通过添加辅助线转化为三角形，可揭示三角形中位线与平行四边形之间的关系.中位线不仅是连接这两种图形的桥梁，还为学习特殊平行四边形和相似三角形奠定了基础.

从更广阔的视角来看，三角形中位线与其他几何图形的学习路径一致，涵盖定义、性质、判定和应用.这种整体的教学设计考虑了学生对现有知识的理解程度和潜在发展水平，旨在从局部出发，逐步构建起全面的数学知识体系，实现教学内容的系统化和连贯性.

（三）全局视角：探索体系构建，共谋思维之策

在教学设计中，教师应以整体观和系统论为基础，深入理解数学知识的关系性.这意味着从宏观角度出发，将各个数学知识点、方法以及思维方式紧密相连，构筑一个统一而有序的整体.通过这样的整合，学生能够更加全面、系统地把握数学的本质，进而构建起一个有机统一的数学知识与思维体系.

为了帮助学生更好地理解和应用数学知识，教师需要渗透恰当的思想方法.其中，从特殊到一般的逐步推导是一种很好的思维方式.通过引导学生从具体的特例出发，逐步探索和总结出一般性的规律，可以深化他们对知识的理解并培养他们的归纳能力.同时，巧妙运用转化思想也至关重要，它能够帮助学生打通不同知识点之间的界限，发现它们之间的内在联系和共通之处.

在教师的引导下逐步建立起数学知识的“大结构”后，学生不仅能提升数学能力，还能构建起一个既完整又灵活的数学知识与思维体系.