函数与不等式恒成立问题解法

涂典波

在高中数学学习过程中，经常遇到函数与不等式恒成立问题。恒成立问题涉及到一次函数、二次函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合法等解题方法求解。

恒成立问题的基本类型有以下几种。

类型1：设[f（x）=ax2+bx+c（a≠0）]，（1）[f（x）>0]

[在x∈R]上恒成立[?a>0且Δ<0]；（2）[f（x）<0]

[在x∈R]上恒成立[?a<0且Δ<0]。

类型2：设[f（x）=ax2+bx+c（a≠0）]

（1）当[a>0]时，[f（x）>0在x∈[α，β]]上恒成立[?-b2a<αf（α）>0或α≤-b2a≤βΔ<0或-b2a>βf（β）>0]，

[f（x）<0在x∈[α，β]]上恒成立[?f（α）<0f（β）<0]

（2）当[a<0]时，[f（x）>0在x∈[α，β]]上恒成立[?f（α）>0f（β）>0]

[f（x）<0在x∈[α ， β]]上恒成立  [?-b2a<αf（α）>0或][α≤-b2a≤βΔ<0或-b2a>βf（β）<0]

类型3：

[f（x）>α对一切x∈I恒成立?f（x）min>α][f（x）<α对一切x∈I恒成立?f（x）max>α]。

类型4：

[f（x）>g（x）对一切x∈I恒成立?f（x）][的图象]

[在g（x）的图象的上方或f（x）min>g（x）max（x∈I）]

一、用一次函数的性质

对于一次函数[f（x）=kx+b，x∈[m，n]]有：

[f（x）>0恒成立?f（m）>0f（n）>0， f（x）<0恒成立?f（m）<0f（n）<0]

例1：若不等式[2x-1>m（x2-1）]对满足[-2≤m≤2]的所有[m]都成立，求x的范围。

解析：我们可以用改变主元的办法，将m视为主变元，即将元不等式化为：[m（x2-1）-（2x-1）<0]，；令[f（m）=m（x2-1）-（2x-1）]，则[-2≤m≤2]时，[f（m）<0]恒成立，所以只需[f（-2）<0f（2）<0]即[-2（x2-1）-（2x-1）<02（x2-1）-（2x-1）<0]，所以x的范围是[x∈（-1+72，1+32）]。

二、利用一元二次函数的判别式

对于一元二次函数[f（x）=ax2+bx+c>0（a≠0，]

[x∈R）]有：

（1）[f（x）>0在x∈R]上恒成立[?a>0且Δ<0]；

（2）[f（x）<0在x∈R]上恒成立[?a<0且Δ<0]

例2：若不等式[（m-1）x2+（m-1）x+2>0]的解集是R，求m的范围。

解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1是否是0。

（1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意；

（2）[m-1≠0]时，

只需[m-1>0Δ=（m-1）2-8（m-1）<0]，所以，[m∈[1，9）]。

三、利用函数的最值（或值域）

（1）[f（x）≥m]对任意x都成立[?f（x）min≥m]；

（2）[f（x）≤m]对任意x都成立[?m≥f（x）max]。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。

例3：在[Δ]ABC中，已知[f（B）=4sinBsin2（π4+B2）+cos2B，且|f（B）-m|<2]恒成立，求实数m的范围。

解析：由[f（B）=4sinBsin2（π4+B2）+cos2B=2sinB+1，∵0f（B）-2m

例4：（1）求使不等式[a>sinx-cosx，x∈[0，π]]恒成立的实数的[a]范围。

解析：由于函[a>sinx-cosx=2sin（x-π4） ， x-π4∈][[-π4，3π4]]，显然函数有最大值[2]，[∴a>2]。

如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题：

（2）求使不等式[a>sinx-cosx，x-π4∈（0，π2）]恒成立的实数[a]的范围。

解析：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值范围的变化，这样使得[y=sinx-cosx]的最大值取不到[2]，即取[a][2]也满足条件，所以[a≥2]。

所以，我们对这类题要注意看看函数能否取得最值，因为这直接关系到最后所求参数[a]的取值。利用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫分离参数法。

四、数形结合法

对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。

例5：已知[a>0， a≠1， f（x）=x2-ax，当x∈（-1，1）时，]

[有f（x）<12恒成立]，求实数a的取值范围。

解析：由[f（x）=x2-ax<12，得x2-121时，只有a≤2]才能保证，而[0

例6：若当P（m，n）为圆[x2+（y-1）2=1]上任意一点时，不等式[m+n+c≥0]恒成立，则c的取值范围是（）

A.[-1-2≤c≤2-1]

B.[2-1≤c≤2+1]

C.[c≤-2-1]

D.[c≥2-1]

解析：由[m+n+c≥0]，可以看作是点P（m，n）在直线[x+y+c=0]的右侧，而点P（m，n）在圆[x2+（y-1）2=1]上，实质相当于是[x2+（y-1）2=1]在直线的右侧并与它相离或相切。[∴0+1+c>0|0+1+c|12+12≥1∴c≥2-1]，故选D。