一元二次方程中的常见错误剖析

文／沈小景

一元二次方程是中考的核心考点，涉及方程的概念和解法、根的判别式、根与系数的关系以及综合应用。本文总结了同学们的一些常见错误，并对错误点进行剖析，希望对大家的复习备考有所帮助。

一、忽视二次项系数不为0

例1若关于x的一元二次方程kx2-2x+3=0有两个实数根，则k的取值范围是（ ）。

【错解】根据题意，得b2-4ac=（-2）2-4k×3＞0，解得。故选A。

【纠错】本题的解答过程有两处错误：一是该方程为一元二次方程，所以二次项系数不为0；二是方程有两个实数根，b2-4ac≥0。根据这两点，求出k的取值范围是且k≠0。故选D。

【总结】当字母参数出现在二次项系数中，我们需要关注该方程的类型。如果题干中有条件说明方程是一元二次方程，则该参数不能取0；如果题干中没有表明方程一定是一元二次方程，则该参数可以为0。

二、忽视某些代数式有意义的条件

例2若x=0 是一元二次方程x2+的一个根，则b的值是________。

【错解】把x=0 代入原方程，得b2-4=0，解得b=±2，所以b的值为±2。

【纠错】该方程中一次项系数为，这个式子只有当b-1≥0 时才能有意义，即b≥1。因此b=-2 不符合题意，要舍去。所以b的值为2。

例3若实数x满足x2-3x-3=（x+1）0，则x的值为________。

【错解】由题意得x2-3x-3=1，即x2-3x-4=0，解得x1=-1，x2=4。故x的值为-1或4。

【纠错】等式右侧是（x+1）0，任何不为0 的数的0 次幂才能等于1，所以只有当x≠-1 时，（x+1）0=1。所以本题符合题意的x值只能是4。

【总结】一元二次方程常常会和一些特殊的代数式综合在一起出现。我们在解题时需要充分挖掘代数式的隐含信息，这样才能减少错误。

三、忽视根与系数的关系的前提

例4已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2-m+2=0有两个不相等的实数根x1、x2，且x1+x2+x1·x2=2，则实数m=___。

【错解】根据根与系数的关系，得

解得m1=0，m2=3。

所以m=0或3。

【纠错】使用根与系数的关系的前提是该一元二次方程有实数根。当m=0 或3 时，此方程是否有两个不相等的实数根呢？因此，我们需要求出使得方程有两个不相等实数根时m的取值范围，在取值范围内的值符合题意，不在取值范围内的值要舍去。当然也可以将0和3代入方程，检验此时的方程是否有两个不相等的实数根，不合题意的应舍去。

四、忽视实际问题的背景

例5已知关于x的方程x2-（k+3）x+3k=0，若斜边为5 的直角三角形的两条直角边长分别是方程的两个根，求k的值。

【错解】设直角三角形的两条直角边长分别为a、b，则a+b=k+3，ab=3k。

【纠错】方程的两个根是直角三角形的边长，所以方程的两个根应该是正数，即求出的k的值要让方程有正数根才符合实际意义。当k=-4 时，方程的两个根为x1=-3，x2=4，要舍去；当k=4时，方程的两个根为x1=3，x2=4。故k的值为4。

【总结】当一元二次方程与实际问题相结合时，一定要检验方程的解是否符合实际意义。

一元二次方程的考查常融合一些其他知识。在解决这些问题时，我们要多观察，认真挖掘隐含信息，解题后再代回方程检验，这样可以有效地避免错误的发生，进而提高解题的正确率。