从“方程”到“不等式”

文／许斌

方程和不等式是刻画现实世界中相等与不等关系的数学模型，是一类应用广泛的数学工具。从理解方程和不等式及其解的意义，到灵活地解方程和不等式，再到应用方程（组）、不等式（组）解决数学问题和现实问题，我们一路走来，感受到数学的别样精彩和广泛的应用价值。

一、知识块解析

等式的基本性质是解方程的基本依据。一元一次方程是学习其他方程的基础，解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。

二元一次方程组的考点主要是掌握方程组的解的意义，灵活利用代入法或加减法解二元一次方程组，理解消元是解决多元方程组的常规思路，能运用二元一次方程组解决实际问题。

解一元二次方程是中考必考知识点。一元二次方程的解法有：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法，我们要根据方程的特点灵活选用适当的方法。一般地，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac≥0 时，方程有实数根，且两个实数根为。法国数学家韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的密切关系，即后人也称之为韦达定理。利用韦达定理，我们可以很方便地求一些代数式的值或字母参数的值。

分式方程可以通过去分母转化为整式方程，但需要注意这种变形不是恒等变形。因此，我们在求出整式方程的解后，还要增加检验这一步骤。

不等式的考点有：理解不等式的基本性质，能正确运用不等式的基本性质求一元一次不等式（组）的解集，将解集在数轴上表示出来等；对于含字母参数的一元一次不等式（组），能根据题意列出不等式（组），求出字母参数的值或范围；能根据题意正确使用不等号，列出不等式，解决实际问题。

求方程、不等式的解（解集），我们还可以通过画函数图像来说明。这种方法为求方程、不等式的解（解集）打开了一片新的天地，体现了方程、不等式、函数之间的联系与转化。

二、易混点解析

1.解一元一次方程与解一元一次不等式

在它们的求解（解集）过程中，当系数化为1 时，需要将等式（不等式）两边同时乘一个不为0 的数，等号仍成立，而不等式两边同时乘一个负数时，不等号方向要改变。不少同学会习惯性照抄不等号，导致解题错误。

2.解整式方程与分式方程

不少同学在解方程的时候，不去辨识方程的类型。由于整式方程的各步骤变形都是恒等变形，计算没有问题的话，得到的答案自然也正确。但如果是解分式方程，得到整式方程的解后，还要代入公分母检验根是否能让分式有意义。检验是解分式方程不可或缺的一步，有些同学经常会忘记检验，从而失分。

3.根的判别式和根与系数的关系

一元二次方程是使用根的判别式和根与系数的关系的前提，有些同学容易忽略这一点。因此，在利用此方法解决问题后，我们需要检验求出的值是否符合题意，或是否使实际问题有意义。

4.不等号的使用

两个量之间的关系有三种：大于、等于、小于，如果是不大于，那应该是小于或等于。在解决问题时，同学们要仔细揣摩“不超过”与“超过”、“不高于”与“低于”、“至少”与“大于”等的区别，从而正确使用不等号。

三、真题应用

1.已知关于x的方程x2+mx-20=0 的一个根是-4，求m的值及它的另一个根。

2.若方程的解使关于x的不等式（2-a）x-3＞0 成立，求实数a的取值范围。

3.若实数x、y、m满足x+y+m=6，3xy+m=4，求代数式-2xy+1的最大值。

复习建议：做第1 题时，可以先说说解题的方法；从这道题出发，还能有哪些改编。做第2 题时，可以将条件改为“不成立”，思考a的取值范围又是什么。做第3 题时，注意思考求代数式最值的方法，我们还有哪些巧算的方法。