奇异函数分数阶导数的Hadamard 有限部分积分表示形式

娄汝馨，廉 欢，王同科

（天津师范大学数学科学学院，天津 300387）

利用分数阶微积分可以更准确地描述一些实际问题，分数阶微积分具有时间记忆性和全局相关性，在流体力学、图像处理等许多领域有广泛的应用，因此对分数阶微积分的研究在不断地深入.目前已有多种分数阶导数的定义，其中Riemann-Liouville（RL）和Caputo 分数阶导数的应用最为广泛，这2 种导数的定义都是由RL 分数阶积分算子

与经典的微分算子相结合导出的.

定义1[1-2]给定实数α >0，记[α]为α 的整数部分，n = [α] + 1.对于定义在x∈（a，b]上的函数f（x），其α 阶RL 分数阶导数和Caputo 分数阶导数分别为

式中Tn-1[f]（x）表示f（x）在x=a 的n-1 阶Taylor 级数展开式.

关于分数阶微积分的计算方法研究一直是该领域的热点问题，主要包括直接方法和间接方法.关于直接方法，文献[3]通过直接计算瑕积分，给出了一种去掉积分瑕点的方法，在此基础上设计了计算RL 分数阶积分和导数的数值算法；文献[4]利用移位Chebyshev 多项式逼近RL 导数，进而给出分数阶边值问题的数值算法；文献[5]利用谱近似方法基于Legendre、Chebyshev和Jacobi 多项式的三项递推公式逼近分数阶积分和导数，并通过数值算例说明了方法的有效性；文献[6]介绍了分数阶导数的各类算法，如G 算法[7]和R 算法[8].间接方法主要通过先将分数阶导数变形为Hadamard 有限部分（HFP）积分形式，然后再设计算法离散HFP 积分.

定义2[9]设f（x）∈Cn[s，r]，且n-λ>1，则HFP积分定义为（本文中用H ∫表示Hadamard 有限部分积分）

式中g（t）∈Cn[s，r]且使上式极限存在.

关于RL 分数阶导数与HFP 积分的关系，有以下定理.

定理1[2]给定实数α>0，令n=[α]+1.设f（x）∈Cn[a，b]，则有

定理1 的结论非常重要，许多研究由此设计了计算RL 分数阶导数的数值算法，文献[10-11]利用定理1 的转换设计算法求解分数阶微分方程，得到了满意的计算结果.定理1 要求f（x）∈Cn[s，r]，这是一个比较高的光滑性要求，而在求解分数阶微分方程时，方程的解在初始点往往没有如此高的光滑性，因此有必要对此结果进行推广.

本文首先证明了当f（x）在x = a 处包含奇性时，HFP 积分形式仍然成立；然后基于该结论求得分数阶导数在x=a 处的Psi 级数展开式；最后结合函数在奇点的Psi 级数展开式设计Chebyshev 谱逼近方法，用于给定区间上函数分数阶导数的高精度计算.

1 分数阶导数的Hadamard 有限部分积分表示形式

首先讨论RL 分数阶导数，证明当f（x）在初始点奇异时，其HFP 积分形式仍然成立.

定理2给定实数α>0，令n=[α]+1.设f（x）∈Cn（a，b]，则有

证明当f（x）在x = a 处奇异时，为处理在积分瑕点t=a 处的Hadamard 积分，引入一个充分小的正数δ，满足a

式中：

由f（t）∈Cn[a+δ，b]，对f（t）在t=a+δ 处做Taylor 展开，得

其中余项使用积分表示形式，即

将式（6）代入式（5）中的I2，得

由HFP 积分定义可得

由Taylor 级数展开式的余项可得

将以上2 式代入式（7），得

再将式（8）代入式（5），得

下面说明RL 分数阶导数定义（式（1））可以写为式（9）的形式.由式（1）得

式中：

当x>a+δ，t∈[a，a+δ]时，（x-t）n-α-1关于x 充分光滑，对其求n 阶导数，得

由定积分的可导性可得

对上式逐次进行分部积分和求导，可得

将式（11）—式（12）代入式（10），得

对比式（9）和式（13），可知式（4）成立.定理得证.

定理2 中f（x）∈Cn（a，b]，说明定理2 对f（x）在x =a 处奇异时依然成立.由定理2 可以导出f（x）的RL 分数阶导数在x=a 处的级数展开式.

定理3给定实数α>0，令n=[α]+1.设f（x）∈Cn（a，b]，f（x）在x=a 处有Psi 级数展开式

式中：ui、μij为非负整数；βi为实数，且满足-1<β0<β1<…→+∞.则f（x）的RL 分数阶导数在x=a 处可以展开为

证明将式（14）代入式（4），得

对于上式中的HFP 积分，令t-a=（x-a）s，则有

将上式代入式（16），可得式（15）成立.定理得证.

注：式（14）和式（15）为函数在x=a 处的一般形式的级数展开式，包含实数次幂和对数多项式.这类级数展开式一般称为Psi 级数[12]或Puiseux 级数[13]，是Taylor 级数和Laurent 级数的推广.

式（14）和式（15）均为Psi 级数展开式，函数的Psi级数展开式的系数目前还没有一般的公式表示，对于具体函数，可以使用数学软件直接求出展开式中的幂指数和各个对数项的系数，具体算例可参见文献[13].

利用定义1 中RL 分数阶导数与Caputo 分数阶导数之间的关系（式（2）），可以得到Caputo 分数阶导数的HFP 积分表示形式及其在初始点的级数展开式.

推论给定实数α >0，令n=[α] + 1.设f（x）∈Cn-1[a，b]∩Cn（a，b]，则f（x）的Caputo 分数阶导数的HFP 积分表示形式为

式中Tn-1[f]（t）为f（x）在x=a 处的n-1 阶Taylor 级数展开式.进一步，若f（x）在x=a 处有Psi 级数展开式

式中：ui、μij为非负整数；βn为实数，且满足n-1<βn<βn+1<…→+∞.则f（x）的Caputo 分数阶导数在x=a 处可以展开为

2 分数阶导数的Chebyshev 谱逼近与数值算例

当函数在区间上充分光滑时，谱逼近算法[5]有很高的计算精度.本节针对函数在左端点奇异的情形，基于RL 分数阶导数的HFP 积分表示设计一种奇点分离的Chebyshev 谱逼近方法.

设函数f（x）在左端点x=a 处弱奇异，即f（x）的Psi 级数展开式（14）中β0>-1.设δ>0，满足a

I1为弱奇异积分，可以使用文献[13]设计的改进复合Gauss-Legendre 算法有效计算.I2为Hadamard 有限部分积分，当t≥a+δ 时，f（x）充分光滑，下面设计Chebyshev 谱逼近法离散该积分.

在区间[a+δ，b]上离散积分I2，做变换

则t、x∈[a+δ，b]转化为s、y∈[-1，1].记g（s）=f（t），σ=，则式（19）转化为

g（s）在区间[-1，1]上充分光滑，对其做Chebyshev插值，插值节点选为m 次Chebyshev 多项式Tm（s）=cos（m arccos s）的零点si=-cos θi，其中i=1，2，…，m，则g（s）的Chebyshev 插值形式为

式（22）中Ij（α，y）为超奇异积分.文献[5]针对Ij（α，y）弱奇异的情形使用Chebyshev 多项式的三项递推公式导出了计算Ij（α，y）的快速递推算法.经检验，该递推算法对于这里的超奇异积分仍成立，从而可以快速求得f（x）的RL 分数阶导数在一些点的高精度计算值.

在求解分数阶微分方程时，可以通过迭代的方法求出解在左端点的Psi 级数展开式，分离出解的奇性，在正则区间上利用Chebyshev 谱逼近方法则可以得到高精度的数值解.

算例当α=1/2 和3/2 时，求（fx）=K（0）的RL 分数阶导数，其中K0（z）为零阶第二类修正的Bessel 函数.

首先给出（fx）=K（0）在x=0 处的级数展开式，即

由展开式可知f（x）在x=0 处对数奇异，其RL 分数阶导数可由数学软件求出，其形式复杂，这里不再给出.利用定理3，当α=1/2、3/2 时，直接计算可得和在x = 0 处的有限项级数展开式S1（x）和S2（x）分别为

利用定义1 的式（1）直接求（fx）=K（0）的1/2 阶和3/2 阶RL 分数阶导数，并对其在x=0 处做级数展开，通过对比可以发现与利用定理3 的结果完全一样.由S1（x）和S2（x）的表达式可知，f（x）的1/2 阶和3/2阶RL 分数阶导数在x =0 处奇异，当x>0 时，这2个分数阶导数均存在.

利用Chebyshev 谱逼近法计算f（x）的RL 分数阶导数，计算其与精确导数值的绝对误差，并与级数展开式法的绝对误差进行比较，结果见图1.

图1 对数尺度下级数展开式和Chebyshev 谱逼近法与精确导数值间的绝对误差Fig.1 Absolute errors of series expansion and Chebyshev spectral approximation compared with precise derivative on logarithmic scale

图1（a）和（b）分别给出了当α=1/2 和3/2 时2 种方法的误差，其中：Eup 为S1（x）（S2（x））与精确导数值的绝对误差对数图形；CCM（m，δ）为Chebyshev 谱逼近法与精确导数值的绝对误差对数图形，取m=80，当δ=0时，CCM（80，0）为在整个区间[0，40]上做插值得到的结果，当δ=1 时，CCM（80，1）为在[0，1]上直接计算弱奇异积分，在[1，40]上做插值得到的结果.由图1（a）可见，级数展开式S1（x）具有高精度的局部逼近性，其在零点附近的精度达到了10-14，但随着x 的增大，其逼近精度逐渐降低.需要说明的是，S1（x）在x=0 处奇异，由于舍入误差的影响，其在x=0 附近的误差反倒比较小.利用Chebyshev 谱逼近法在全区间上做插值，其在x = 0 附近以及其他位置的精度都很低，只有10-1～10-4量级.这说明对于端点奇异的函数，全区间的Chebyshev 谱逼近法计算精度很低，不具有实用性.利用Chebyshev 谱逼近法在[1，40]上做插值，其在该区间的精度可以达到10-13，这说明级数展开式法和Chebyshev 谱逼近法联合使用可以给出分数阶导数在整个区间上的高精度近似值.由图1（b）可见，α=3/2与α=1/2 的情况一致.

本算例还可以使用数值积分方法得到高精度的计算值.表1 给出当α=1/2 和α=3/2 时利用HFP 积分方法[15]（设置精度为10-16）计算的函数在一些点的分数阶导数及其误差，其中hα（x）为分数阶导数的计算值，eα（x）= |0Dxαf（x）- hα（x）| 为绝对误差.由表1 可见，数值积分方法的误差在全区间上分布比较均匀.因此，使用分数阶导数的Hadamard 有限部分积分表示形式，即使对于奇异函数也能够得到高精度的计算结果.HFP 积分方法虽然计算精度很高，但在求解分数阶微分方程时将面临很大的困难，此时，奇点分离的Chebyshev 谱逼近法具有明显的优势.

表1 HFP 积分方法计算的函数在一些点的RL 导数及绝对误差Tab.1 RL derivative values and absolute errors of the function at some points calculated by HFP integration method

3 结语

本文对于在初始点代数和对数奇异的函数，证明了其RL 和Caputo 分数阶导数可以用Hadamard 有限部分积分表示，并由此导出了分数阶导数在初始点的Psi 级数展开式，利用Psi 级数展开式在奇点附近的局部逼近性，结合Chebyshev 谱逼近方法，给出整个区间上分数阶导数的高精度计算值.