抓住函数本质 突破思维盲区

文／何平

函数是初中数学的重要内容之一，一次函数、反比例函数和二次函数是初中阶段函数的三个重要分支。在解决函数问题时，我们常因为思考问题不全面或者忽视相关函数的概念和图像性质而出现一些错误。现将函数中易混淆的知识点进行辨析，希望同学们能及时查漏补缺，举一反三。

一、忽视函数的概念而出错

例1二次函数y=（m-1）x2+x+m2-1的图像经过原点，则m的值为________。

【错解】∵二次函数的图像经过原点，∴将x=0，y=0代入可得m2-1=0，于是m=±1。

【错因剖析】忽视了二次函数中a≠0，即m-1≠0的条件限制。

【正解】由题意可得m2-1=0 且m-1≠0，解得m=-1。

例2已知函数y=（m+1）x2-4x+2（m是常数）的图像与x轴只有一个交点，则m=_______。

【错解】当y=0时，（m+1）x2-4x+2=0。

∵函数的图像与x轴只有一个交点，∴b2-4ac=0，即（-4）2-4×（m+1）×2=0，解得m=1。

【错因剖析】看到y=（m+1）x2-4x+2（m是常数）这个函数表达式，部分同学会认为此函数一定是二次函数，忽略了当二次项系数为零时，此函数是一次函数，也符合题意。

【正解】当m+1≠0 时，此函数为二次函数，由上述解法可得m=1；当m+1=0时，y=-4x+2 为一次函数，函数的图像与x轴只有一个交点，即m=-1。综上可得m=±1。

【总结】解决此类问题，我们需要结合函数的概念来分析。其中，一次函数y=kx+b与反比例函数的限制条件都是k≠0，二次函数y=ax2+bx+c的限制条件是a≠0。例1 忽视了上述限制条件；例2在未说明哪一类函数的情况下，需要对函数进行分类讨论，如果缺少分类的意识，就容易漏解。

二、忽视函数的性质而出错

例3如图1，点P在反比例函数y=图像的一支上，过点P作PM⊥x轴于点M，点N是y轴上一动点，连接PN、MN。已知△PMN的面积为6。

图1

（1）k的值为（ ）。

A.6 B.-6 C.12 D.-12

（2）这个函数的图像位于哪些象限？y随x的增大怎样变化？

（3）若点P（x1，y1）、Q（x2，y2）在这个反比例函数的图像上，且x1＜x2，试比较y1与y2的大小。

【错解】（1）选A或B或C；（2）这个函数的图像位于第二、四象限，y随x的增大而增大；（3）y1＜y2。

【错因剖析】（1）错选A，是误认为k就是△PMN的面积；错选B，是在A 的基础上考虑了反比例函数在第二象限，k是负数；错选C，是虽然理解了k与△PMN的面积的关系，但忽视了反比例函数在第二象限时，k是负数这一要求。

（2）反比例函数的图像是双曲线，此题k=-12，双曲线的两支分别在第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大。性质中，“在每一个象限内”容易被忽略，而它不可缺少，否则将出现错误。例如，反比例函数，当x=-2时，y=6；当x=2 时，y=-6，y随x的增大而减少，这与性质不符，原因就是（-2，6）和（2，-6）不在同一象限内。

（3）出现错误是因为忽视了反比例函数增减性中“在每一个象限内”的要求，对于x1＜x2这一条件缺少分类讨论，从而导致错误。

【正解】（1）∵PM⊥x轴于点M，

∴PM∥y轴。

∴△PMN底边PM上的高就是平行线间的距离。

又∵△PMN的面积为6，

∴|k|=2×6=12。

又∵图像在第二象限，∴k=-12。故选D。

（2）∵k=-12，

∴y=-的图像在第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大。

（3）当x1＜x2＜0或0＜x1＜x2时，则y1＜y2；当x1＜0＜x2时，则y2＜y1。

例4已知二次函数y=-x2+bx+c的图像经过点（2，3）、（3，0）。

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）当-1＜x＜2 时，y的取值范围为________。

【错解】（1）略。

（2）由（1）得y=-x2+2x+3。当x=-1时，y=0；当x=2时，y=3，∴0＜y＜3。

【错因剖析】上述解法在已知自变量的取值范围时，采用临界值代入计算，忽视了二次函数的对称性、增减性和顶点坐标的性质。

【正解】（1）易得y=-x2+2x+3；（2）画出y=-x2+2x+3 的图像，如图2 所示，顶点坐标是（1，4），观察图像可知当-1＜x＜2时，y的取值范围为0＜y≤4。

图2

【总结】函数主要研究其图像、性质和应用，在给定自变量x的取值范围时，求y的取值范围，先代入临界值计算，然后根据函数图像的增减性进行判断，其中反比例函数要考虑所在的象限，二次函数要考虑顶点坐标，避免产生错误。

三、忽视函数图像与方程不等式的联系而出错

例5如图3，将二次函数y=（x+1）2-4 的图像在x轴下方的部分沿x轴翻折，图像的其余部分不变，即得到y=|(x+1)2-4 |的图像。根据图像，若关于x的方程 |(x+1)2-4|=k有四个不相等的实数根，则k的取值范围是________。

图3

【错解】∵二次函数顶点坐标是（-1，4），∴k＜4。

【错因剖析】只分析了二次函数的顶点坐标，而对于问题中方程“有四个不相等的实数根”没有正确理解。应利用数形结合的思想从函数的视角去分析，将方程问题转化为函数图像的交点问题。

【正解】由题意得y=| (x+1)2-4 |的图像与y=k的图像有四个交点，由函数图像可知，0＜k＜4。

【总结】熟练掌握函数图像及其性质，利用两个函数的交点和图像的直观性解决方程和不等式相关联的问题。