空泡动力学研究进展

周秀英 白军 姜梅 王超琪 顾岩城 吉华

(西藏农牧学院水利土木工程学院，西藏 林芝 860000)

引言

西藏是我国的关键区域，对国家安全、环境保护和清洁能源供应都有着重要作用[1]。“十四五”规划计划加快推动雅江下游、澜沧江上游等多流域水电开发，预计到2025年末，西藏地区的水电建成和在建装机容量将超过15GW[2]。由于西藏地区的平均海拔超过4km，平均气压低于65.25kPa，目前已建电站的运行情况调研结果显示，此种特殊的地理环境导致了该地区水力机组的空化问题突出，对机组的功效和寿命造成了严重的影响[3]。罗红英等[4]通过数值模拟，从理论上证明了高海拔地区空化规模更大、空化周期更长，水轮机的空蚀现象更加严重。因此，总结空化的发展历程与研究现状，深入研究空化现象，总结空化研究方法对于西藏地区的国家重点水利水电工程(如雅江下游)等具有重要意义。

空化会对水力机械等工程设备带来极大的侵蚀，所以一直以来空化都是水动力学的研究热点与难点，其本质为相变，一般可简述为“当局部压力降低，液体中固有的微小气核发生膨胀以及溃灭的过程”，因此研究流体中气泡空化行为的空泡动力学则是空化研究的基础。

空泡动力学最初的建立可以追溯到1917年由Rayleigh提出的Rayleigh方程[4]，其研究了理想情况球形气泡的运动过程。后续Plesset等[4]逐步考虑了表面张力、黏性等因素对Rayleigh方程进行了修正。虽然空泡的理论方程由于空化本身的强非线性等原因，计算结果与实际情况具有较大差异，无法直接运用于工程实际，但理论的发展催生了目前2种主流研究方法：实验观测和数值模拟。根据理论方程选择合适参数建造的水洞等空化实验平台搭配Particle Image Velocimetry(PIV)观测系统为空化认知提供了基础。但实验手段亦存在着成本过高、周期过长、可获取数据有限等缺陷，局限性过高。数值模拟在理论方程的基础上搭配高性能计算机，目前已成为了一种极为重要的空化现象研究手段。数值模拟是一种基于选定控制方程，对水力模型进行离散后，迭代求解的方法，相较于实验手段，数值模拟有着成本低、时效快、易于调整工况参数等优势。综上所述，本文对气泡空化的数值模拟方法进行综述，介绍了空化研究的发展历程及空化基本原理；对空泡数值模拟方法现状进行了总结与综述，并探讨了各方法的优缺点；对空泡研究进行了总结与展望。

1 研究背景与意义

1.1 空泡动力学研究背景

1753年，科学家L Euler曾提出“当水管中的某处压强降至负值时，水会从管壁分离，形成间隙从而产生真空空间”的观点。然而，这个所谓的真空空间实际上并非完全真空，而是由液体汽化形成的空穴。对空化现象的研究真正始于19世纪后期，由于船舶行业的兴盛，随之而来的是人们对于船舶螺旋桨等部位大面积剥蚀及运行效率下降的疑问。1917年Lord Rayleigh提出了著名的Rayleigh方程[4]，其形式如式(1)所示。

(1)

式中，R为气泡半径，是关于时间t的函数；pv为泡内压强；p∞为环境压强。

该方程为空泡动力学奠定了基础，但由于其忽略了液体的黏性、气泡的表面张力、非冷凝气体(NCG)、热效应等影响项，因此对于空化实际情况的分析并非完全合理。

1951年，Plesset在Rayleigh的基础上，考虑了气泡的表面张力及液体黏性，给出了经典的Rayleigh-Plesset方程[4]，如式(2)所示。

(2)

式中，σ为表面张力，是关于时间t的函数；μ为黏性系数。

1952年Gilmore考虑了空泡溃灭后期产生的超声速射流及流体的可压缩性[4]，将Rayleigh方程进一步修正，如式(3)所示。

(3)

式中，c为声速；H为焓值。

1980年Keller在Rayleigh-Plesset方程的基础上考虑了超声场中空泡的振荡以及流体的压缩性、黏性等影响因素，提出了Keller-Miksis方程[4]，如式(4)所示。

(4)

式中，M为马赫数；pl为泡外压强。

2023年，我国哈尔滨工程学院的张阿漫教授提出了气泡统一方程[4]，形式如式(5)所示。

(5)

式中，H为泡内外焓差。方程左侧为气泡迁移及环境耦合力、右侧为体积加速度。该方程同时考虑边界效应、泡群、流场环境、迁移、可压缩性、粘性、表面张力等因素，将不同源、不同尺度、不同环境下的气泡动力学特性统一起来，并且统一了式(1)～(4)经典方程，是空泡动力学中里程碑式的工作。

1.2 研究意义

目前空泡理论研究表明，空化是力学作用、化学腐蚀、电化学腐蚀、热力学作用[5]等多种机制共同作用的结果，其中力学作用被普遍认为是空蚀破坏的主要原因，认为空化泡在溃灭和再生长的过程中会压缩空化泡周围的流体介质，产生强度极大的压力波，从而使壁面材料发生变形[6]。化学腐蚀理论认为，空化和腐蚀作用往往同步发生，互相促进。空化时的力学作用清除了材料表面的氧化膜，使得腐蚀作用继续进行，而腐蚀也能使空化的力学作用更为集中[7]。此外，电化学作用能够使材料内部及其周围形成电偶电池[8]，热学作用则能在局部产生上万度的高温，这些因素在特定条件下都能对表面材料产生破坏作用[9]。

针对西藏地区的水利水电工程而言，在水力空化中，受高海拔复杂且难以控制与预测的环境因素的影响，空泡伴随着液体流动经历初生、发展和溃灭的过程[10]。溃灭振荡时产生局部高速微射流与压力冲击波，使水力机械、泄洪设施、冷却系统等水力设施局部温度过高，从而使其过流部件表面产生空化空蚀破坏，带来巨大的经济损失，对水利设施造成运行效率降低、使用寿命缩短等问题，甚至可能导致严重事故[10]。因此，深入了解空化泡的动力学规律、研究空泡现象具有重要的工程价值和学术意义。

2 空化泡动力学研究方法及国内外研究现状

2.1 研究历程

由于理论研究较大的局限性，目前关于空化的研究方法主要包含实验法与数值模拟2种。2种主流方法的优缺点对比如表1所示。

表1 实验法与数值模拟法优缺点对比

国内外学者已对多相流系统中气泡的运动特性开展了一系列实验研究。然而，受气泡运动过程的非线性、复杂多变且难以控制的环境、液态金属的透明程度等因素的影响，难以准确分析气泡的运动规律，难以在光学测量技术下获取准确的气泡运动参数[11]。另外，由于实验法缺点的局限性，因此许多研究人员利用模拟软件解决实验方法中遇到的困难。数值模拟法具有突出的优势[12]，受到了广大研究人员的青睐。最初的空泡溃灭过程模拟主要采用有限差分法和MAC方法，然而，这2种方法在空泡模拟方面存在一些限制，求解过程复杂且精度不高[13]。为了克服这些问题，研究者逐渐转向使用流体体积法(Volume Of Fluid，VOF)和边界元法(Boundary Element Method，BEM)进行数值模拟。在过去，闭源商业软件Fluent被广泛应用于空泡模拟，然而，随着开源软件的发展，OpenFOAM和OpenFVM等开源软件逐渐崭露头角[13]。21世纪初，格子波尔兹曼法(Lattice Boltzmann Method，LBM)亦成为空化领域一种重要数值模拟方法。数值计算的流程见图1。

图1 数值计算流程

2.2 研究现状

目前，研究者常常采用实验、理论和模拟相结合的方式进行研究。在数值模拟方面，常用的方法包括流体体积法、水平集法(Level Set，LS)、界面追踪法(Finite Volume Method，FTM)、边界元法、格子玻尔兹曼法以及有限体积法(Finite Volume Method，FVM)。

由于空化的复杂性，现有的理论模型在实际工程应用中很难准确预测空化破坏，因此计算流体力学(CFD)为其提供了有效的方法。上述数值模拟方法的优缺点对比如表2所示。

表2 数值模拟方法的优缺点对比

2.2.1 流体体积法研究现状

VOF法是一种基于欧拉网格的界面追踪模拟方法，将气液两相视为均相流动，用标量体积分数来区分2种流体[12]。通过求解质量守恒输运方程，此方法可模拟交界面拓扑结构的变化，使用特殊平流格式(如几何平流)求解以最小化数值扩散，其界面捕捉方程：

(6)

Sagar等[14]使用流体体积法研究了考虑相变的近壁区域空化气泡的破裂过程，计算结果与实验测量一致。Li等[15]使用VOF法研究了旋流中单个气泡的动力学。Nguyen等[16]使用基于几何VOF的数值模拟方法，研究了平壁、斜壁和自由表面附近气泡溃灭过程中的射流和压力载荷等动力学特性。Annaland等[17]提出了一种三维流体体积方法，可以处理较大的密度粘度比和表面张力系数。

通过使用Fluent软件中VOF模型以及非稳态方法，李疆等[18]对近水平壁面的空泡溃灭过程进行了数值研究。张凌新等[19]通过Rayleigh方程将球形气泡随时间变化的解析解成功求出，使用VOF法模拟了单个纯气体泡。夏冬生等[20]使用VOF计算了空泡溃灭(初始半径=0.1mm)过程。胡影影等[21]通过VOF中Youngs法追踪了空泡界面，直接求解纳维尔-斯托克斯(Navier-Stokes，N-S)方程，对距离固壁不同位置的空泡进行了数值计算。刘兰等[22]研究了无边蒸汽空泡的溃灭过程，结果表明，蒸汽空泡的最小半径远小于气体空泡，且从最大半径到最小半径所需的时间比气体空泡更长。

2.2.2 水平集法研究现状

LS法是一种用距离函数表示交界面的方法，可以在不重构界面的情况下高精度地确定曲率和方向。但当界面发生断裂或合并时，不能满足质量守恒[23]。该方法的目标是减少数值扩散，将界面定义为与界面距离函数的零水平集，随局部流体速度变化而变化。其控制方程形式如下：

(7)

(8)

式中，φ为定义的距离函数；d为点到界面的欧几里得距离；Ω+表示气相；Ω-表示液相；Г表示气液交界面。

Hu等[23]采用LS法校正守恒损失，模拟二维空泡坍缩冲击波过程；Mark Sussman[24]将LS法和VOF法应用于探究不可压缩蒸汽泡的生长与溃灭。Lauer等[25]研究了冲击波作用下并排放置的3个空泡，采用守恒的明锐界面模型和LS法，精确跟踪了空化泡壁和自由液面的流动。Can和Prosperetti[26]基于改进的LS法研究了蒸汽泡的动力学。Huang等[27]采用非均匀网格的LS法模拟了空泡在刚性壁面附近的生长、溃灭和回弹过程。

2.2.3 边界元法研究现状

BEM，又称为边界积分法(Boundary Integral Method，BIM)，是一种常用的研究刚性壁面附近空泡振荡动力学的方法，假设流体为无旋、无粘、不可压缩，流动由拉普拉斯方程控制，速度场可表示为速度势的梯度，被广泛应用于研究刚性边界附近的空泡振荡动力学行为。其控制方程形式如下：

(9)

式中，G为三维格林函数；s为气泡与自由面表面；φ为速度势。

BEM方法模拟的空化泡动态特性大致分为2个主要阶段，即射流刺穿空化泡前和射流刺穿空化泡后。然而，对于射流刺穿空化泡后的复杂模拟需要特殊处理和复杂的辅助函数。Blak等[28]使用轴对称构型和三维BEM法计算了近刚性壁面和自由表面的气泡坍塌过程，阐明了影响溃灭腔内液体射流的形成和方向以及附近刚性边界上产生压力的一些因素。Aziz等[29]研究了偏心距对气泡形状、射流形成等的影响，以及波向和水平间距对气泡动力学的影响。Wang等[30]基于经典的BEM法和涡环模型研究了气泡的分裂现象，建立了多涡环模型，研究了2个环形气泡之间的相互作用，得到了与实验结果吻合较好的数值计算结果。王起棣等[31]采用插值法对网格进行细分，模拟近壁空化特性(考虑表面张力的影响)，结果表明近壁空泡溃灭过程受表面张力的显著影响。

2.2.4 格子玻尔兹曼法研究现状

近年来，LBM成为了模拟多相流的一种新方法。其基于格子气自动机的发展，可用来求解Boltzmann方程的离散化方法，其控制方程形式如下：

fi(x+eiδt，t+δt)=Ωi(x，t)+fi(x，t)

(10)

(11)

(12)

式中，x为格点坐标；t为时间；ei为粒子离散速度集；fi为粒子分布函数；δt为离散时间步长；Ωi为碰撞算子。式(6)代表粒子的碰撞，式(7)代表粒子的迁移。

Shan等[32]使用LBM方法对气泡的溃灭进行了模拟，结果与理论和实验吻合较好，并从二维压力场演化过程出发研究了气泡破裂阶段不同部位的动力学特性，讨论了第2次塌陷在刚性边界损伤中的作用，论证了2次塌陷之间的阻碍作用。袁晓龙等[33]采用LBM模型模拟近壁空泡溃灭的过程，以此分析了空泡溃灭过程受不同汽/液黏滞系数对的影响，不同条件下空泡溃灭的最大射流速度的变化以及最大压强的变化。胡玉等[34]用LBM法模拟静水中双气泡的上升过程，研究发现，当气泡直径相同时，上层气泡的变形程度与单个气泡相似，而下层气泡则明显受到前一气泡尾迹的变形。

2.2.5 有限体积法及界面追踪法研究现状

FVM及FTM相似，都是采用一组标记点，并通过点来拟合出一组线条，用于标记整个气泡界面的方法。该方法的核心在于如何标记点的位置，不同的学者采用不同的方法。但无论如何选择方法，为了提高计算精度，都需要提高标记点的数目，因此该方法的计算量较大，且无法模拟气泡破裂等行为。

Popinet等[35]基于FTM研究了粘性对固体边界附近气泡溃灭射流形成的影响。Liu等[36]在FVM法的基础上，利用固定网格上的交错网格直接求解无粘不可压缩假设的N-S方程，并用FTM模拟了固体附近环形气泡的动力学，分析了不同壁面距离下水层的变化过程、飞溅流和径向流的发展过程、环形气泡的分裂现象以及固体壁面中心压力的变化趋势。Johnsen等[37]使用高阶精确的激波和FTM模拟了平面刚性表面附近和自由场中气泡的溃灭，通过比较溃灭时间、气泡位移、界面速度和表面压力与驱动压力比和气泡与壁面距离的函数，与现有的理论和实验结果展现出良好的一致性。雷杰等[38]用FTM方法模拟同轴双气泡，发现双气泡的上升速度大于单气泡的上升速度，合并后的双气泡的速度与直径相同的单气泡的速度相同，下层气泡的速度随着气泡间距的减小而增大。

3 结论与展望

目前应将提高气泡测量方法的时间分辨率与空间分辨率、扩大气泡测量范围、增强气泡在复杂流场环境中的适应性作为重点。传统的测量方法只能获得气泡的二维信息，而不能获得气泡的三维空间位置。目前数值模拟仅考虑了重力、表面张力、浮力等因素，对浮选过程中湍流特性与涡旋尺度等微观方面的研究较少。部分模型的预测结果与实验结果不吻合，难以准确计算浮选设备的内力场，这些问题有待进一步研究。

未来的研究可以更加关注气液固三相流体的探索；进一步深入理解气泡形成和消失的机制；引入更精细的数值模拟方法并结合实验验证，以提高对气泡行为的理解；实现气泡的三维测量；研究气泡的形态、运动特性以及其与固体表面的相互作用；探索气泡在化工、生物医学和能源等不同领域中的应用潜力；改进研究方法和技术，提高研究的准确性和可靠性。