文/古作军 丁建生
“幂的运算”是在同学们学了乘方运算基础上要学的新内容,也为学习下一章“整式乘法与因式分解”打下基础。我们要想学好本章内容,重点要学好幂的运算性质,而要掌握这些性质,关键在于真正理解性质是怎么来的,有什么特点,如何运用。
幂的性质从形式上来说就是几个公式,但我们不能只机械地记住其结论,还要理解它们是怎么推导出来的。对于每条性质的探究,教材内容都是按照“特殊、具体数的计算→发现规律、提出猜想→结论一般化、抽象化验证”的思路呈现的。
以探究同底数幂的乘法为例,先探究底数和指数都是具体数值的幂(如102×108、104×105),再探究底数是具体数值、指数是用字母表示的数的幂(如10m×10n、2m×2n),然后大胆猜想am×an=am+n。接下来就是对此猜想进行证明,方法是回到定义中去。由幂的定义可知,am、an分别表示m个a相乘、n个a相乘,那么am×an就是(m个a相乘)×(n个a相乘),显然等于(m+n)个a相乘,再由乘方的定义,结果就可以写成am+n。
再如,在探究同底数幂的除法的过程中,也是先从探究底数和指数都是具体数值的幂开始的,如23÷23、23÷24,我们先后规定了零指数、负整数指数幂的意义,并体会“规定”的合理性。有了“规定”,幂的指数范围才扩展到一切整数。当然,在此过程中,我们还会意识到“零指数幂、负整数指数幂的底数不等于零”这个基本条件存在的意义。
事实上,数学中许多结论的得出都会经历从特殊到一般的思考过程。同学们如果循着这样的思路来学习本章内容,将能体会到数学知识是如何形成、生长的。
我们分析性质am×an=am+n、am÷an=am-n以及(am)n=amn的特点,可以发现这三个式子的结构是:等号左边是同底数幂的乘、除、乘方运算,而等号右边是指数的加、减、乘法运算且底数保持不变,这实际上是将同底数幂的运算转化成幂指数的加、减、乘法运算。它们有一个很重要的前提——“同底数”。因此,我们在对如25×(-2)7、a4×(-a)5、(s-t)3×(t-s)n等这些形式的幂进行运算时,必须先将底数“统一”。
此外,在性质(ab)n=an·bn中,等号左边是先算积、后进行乘方(可称为积的幂),等号右边是先进行乘方、再算积(可称为幂的积)。我们弄清了这里面的先后顺序,就不会把(a+b)2想当然地写成a2+b2了。
看来,只有把性质的结构、特点掌握清楚了,我们在应用时才不会混淆知识,否则,必将错误百出。
同学们在运用幂的运算性质时,一般都会熟练地从等号左边向等号右边进行运用。而从右边到左边,大家也应该娴熟运用,做到能根据解决问题的需要,迅速将am+n、am-n、amn、anbn写成am×an、am÷an、(am)n、(ab)n的形式,真正实现“正反互通”。如此,解决问题时才会得心应手。
下面三个问题的解决都得益于幂的运算性质(公式)的反向运用,感兴趣的同学可以尝试做一做。
例1计算0.1252023×82024。
在这个式子中,两个幂的底数不同,我们首先想到将它们化成底数相同或指数相同的幂。观察0.125与8,它们的积为1,于是,我们可将82024改写为82023×81。
解:原式=0.1252023×82024
=0.1252023×82023×81
=(0.125×8)2023×8
=8。
例2已知10a=5,10b=3,求102a-103b。
我们观察已知式和所求式,可得102a=(10a)2,103b=(10b)3。此时,只需要将10a=5,10b=3整体代入即可。
解:102a-103b
=(10a)2-(10b)3
=52-33
=-2。
例3已知3×9m×27m=316,求m。
我们看到,已知条件中,等号右边幂的底数是3、指数为16,等号左边是三个幂的乘积、底数不同。但9=32,27=33,于是9m=(32)m=32m,27m=33m。等号左边就转化为同底数幂的乘积,结果是31+5m,这时底数是3,指数是1+5m,比较等号左右两边,很快得到1+5m=16,即m=3。
解:因为3×9m×27m
=3×(32)m×(33)m
=3×32m×33m
=31+5m,
所以31+5m=316。
所以1+5m=16。
所以m=3。
同学们在数学学习的过程中一定要明白知识的来龙去脉,知其然,更知其所以然;认识知识的本质属性,灵活运用所学知识解决问题,做到学、思、用结合。这样,我们在数学学习的道路上才会越走越远、越学越好!