厘清由来 把握特点 熟练运用——苏科版数学教材七（下）第八章“幂的运算”中的三个关键问题

文／古作军 丁建生

“幂的运算”是在同学们学了乘方运算基础上要学的新内容，也为学习下一章“整式乘法与因式分解”打下基础。我们要想学好本章内容，重点要学好幂的运算性质，而要掌握这些性质，关键在于真正理解性质是怎么来的，有什么特点，如何运用。

一、学会推理，理解性质的由来

幂的性质从形式上来说就是几个公式，但我们不能只机械地记住其结论，还要理解它们是怎么推导出来的。对于每条性质的探究，教材内容都是按照“特殊、具体数的计算→发现规律、提出猜想→结论一般化、抽象化验证”的思路呈现的。

以探究同底数幂的乘法为例，先探究底数和指数都是具体数值的幂（如102×108、104×105），再探究底数是具体数值、指数是用字母表示的数的幂（如10m×10n、2m×2n），然后大胆猜想am×an=am+n。接下来就是对此猜想进行证明，方法是回到定义中去。由幂的定义可知，am、an分别表示m个a相乘、n个a相乘，那么am×an就是（m个a相乘）×（n个a相乘），显然等于（m+n）个a相乘，再由乘方的定义，结果就可以写成am+n。

再如，在探究同底数幂的除法的过程中，也是先从探究底数和指数都是具体数值的幂开始的，如23÷23、23÷24，我们先后规定了零指数、负整数指数幂的意义，并体会“规定”的合理性。有了“规定”，幂的指数范围才扩展到一切整数。当然，在此过程中，我们还会意识到“零指数幂、负整数指数幂的底数不等于零”这个基本条件存在的意义。

事实上，数学中许多结论的得出都会经历从特殊到一般的思考过程。同学们如果循着这样的思路来学习本章内容，将能体会到数学知识是如何形成、生长的。

二、分析结构，理解性质的特点

我们分析性质am×an=am+n、am÷an=am-n以及（am）n=amn的特点，可以发现这三个式子的结构是：等号左边是同底数幂的乘、除、乘方运算，而等号右边是指数的加、减、乘法运算且底数保持不变，这实际上是将同底数幂的运算转化成幂指数的加、减、乘法运算。它们有一个很重要的前提——“同底数”。因此，我们在对如25×（-2）7、a4×（-a）5、（s-t）3×（t-s）n等这些形式的幂进行运算时，必须先将底数“统一”。

此外，在性质（ab）n=an·bn中，等号左边是先算积、后进行乘方（可称为积的幂），等号右边是先进行乘方、再算积（可称为幂的积）。我们弄清了这里面的先后顺序，就不会把（a+b）2想当然地写成a2+b2了。

看来，只有把性质的结构、特点掌握清楚了，我们在应用时才不会混淆知识，否则，必将错误百出。

三、正反互通，理解性质的运用

同学们在运用幂的运算性质时，一般都会熟练地从等号左边向等号右边进行运用。而从右边到左边，大家也应该娴熟运用，做到能根据解决问题的需要，迅速将am+n、am-n、amn、anbn写成am×an、am÷an、（am）n、（ab）n的形式，真正实现“正反互通”。如此，解决问题时才会得心应手。

下面三个问题的解决都得益于幂的运算性质（公式）的反向运用，感兴趣的同学可以尝试做一做。

例1计算0.1252023×82024。

在这个式子中，两个幂的底数不同，我们首先想到将它们化成底数相同或指数相同的幂。观察0.125与8，它们的积为1，于是，我们可将82024改写为82023×81。

解：原式=0.1252023×82024

=0.1252023×82023×81

=（0.125×8）2023×8

=8。

例2已知10a=5，10b=3，求102a-103b。

我们观察已知式和所求式，可得102a=（10a）2，103b=（10b）3。此时，只需要将10a=5，10b=3整体代入即可。

解：102a-103b

=（10a）2-（10b）3

=52-33

=-2。

例3已知3×9m×27m=316，求m。

我们看到，已知条件中，等号右边幂的底数是3、指数为16，等号左边是三个幂的乘积、底数不同。但9=32，27=33，于是9m=（32）m=32m，27m=33m。等号左边就转化为同底数幂的乘积，结果是31+5m，这时底数是3，指数是1+5m，比较等号左右两边，很快得到1+5m=16，即m=3。

解：因为3×9m×27m

=3×（32）m×（33）m

=3×32m×33m

=31+5m，

所以31+5m=316。

所以1+5m=16。

所以m=3。

同学们在数学学习的过程中一定要明白知识的来龙去脉，知其然，更知其所以然；认识知识的本质属性，灵活运用所学知识解决问题，做到学、思、用结合。这样，我们在数学学习的道路上才会越走越远、越学越好！