三角函数中考热点问题探究

王卫胜

涉及三角函数的中考题一般以实际应用为背景，考查三角函数知识的应用、方向方位角问题应用（仰角、俯角测高方法与其类似）及生活中实际问题的应用等，下面分类介绍这类问题的解法.

例1 如图1，为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到素质教育基地A和科技智能馆B参观学习. 学生从学校出发，走到C处时，发现A位于C的北偏西25°方向上，B位于C的北偏西55°方向上. 老师将学生分成甲、乙两组，甲组前往A地，乙组前往B地，已知B在A的南偏西20°方向上，且相距1000 m. 请求出甲组同学比乙组同学大约多走多远的路程. （参考数据：[2] ≈ 1. 41，[6] ≈ 2. 45）

分析：应先审清题意，找出方位角条件所对应角的角度. 根据题意可得∠ACD = 25°，∠BCD = 55°，∠FAB = 20°，CD[?]FA，从而可得∠CAF = ∠ACD = 25°，进而可得∠BAC = 45°，∠ACB = 30°. 又已知AB = 1000 m，  这就转化成三角函数一个重要模型，即在一个三角形中，已知两个特殊角和一条边. 解题思路是作垂直构造直角三角形，不要破坏特殊角，所以过点B作BE⊥AC，垂足为E，然后在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出AE和BE的长，再在Rt△BCE中，利用含30°角的直角三角形的性质或三角函数求出CE和BC的长，从而求出AC的长，最后进行计算即可解答.

解：如图1，过点B作BE⊥AC，垂足为E，

由题意得∠ACD = 25°，∠BCD = 55°，∠FAB = 20°，AB = 1000 m，CD[?]FA，

∴∠CAF = ∠ACD = 25°，

∴∠BAC = ∠FAB + ∠CAF = 45°，∠ACB = ∠BCD - ∠ACD = 30°.

在Rt△ABE中，AE = AB·cos 45° = 1000 × [22] = 500[2]（m），

BE = AB·sin 45° = 1000 × [22] = 500[2]（m），

在Rt△BCE中，∠BCE = 30°，

∴BC = 2BE = 1000[2] m，CE = [3]BE = 500[6] m，

∴AC = AE + CE = （500[2] + 500[6]）m，

∴AC - BC = 500[6] - 500[2] ≈ 520（m），

∴甲组同学比乙组同学大约多走520 m的路程.

点评：解决本题的关键是作垂直，注意不要破坏特殊角，并把特殊角放到直角三角形中.

例2 如图2是某校教学楼正厅一角处摆放的“教学楼平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点到地面的高度. 他们绘制了如图3所示的展板侧面的截面图，并测得AB = 120 cm，BD = 80 cm，∠ABD = 105°，∠BDQ = 60°，底座四边形EFPQ为矩形，EF = 5 cm. 请帮助该数学学习小组求出展板最高点A到地面PF的距离. （结果精确到1 cm. 参考数据：[2] ≈ 1.41，[3] ≈ 1.73）

分析：应先审清题意，已知AB = 120 cm，BD = 80 cm，∠ABD = 105°，∠BDQ = 60°，这相当于给了两条边和一个特殊角，作垂线即可求出其他的边和角. 所以只要过点A作铅锤线，过点B作水平线，过点D作铅锤线，如图4，即可把AB，BD分别放到含有特殊角的直角三角形中. 分别解作出的直角三角形即可.

解：如图4，过点A作AG⊥PF于点G，与直线QE交于点H，过点B作BM⊥AG于点M，过点D作DN⊥BM于点N，

∴四边形DHMN、四边形EFGH均为矩形，

∴MH = ND，EF = HG = 5 cm，BM[?]DH，

∴∠NBD = ∠BDQ = 60°，

∴∠ABM = ∠ABD - ∠NBD = 105° - 60° = 45°.

在Rt△ABM中，∠AMB = 90°，

∵sin∠ABM = sin 45° = [AMAB]，

∴AM = AB·sin 45° = 120 × [22] = 60[2]（cm）.

在Rt△BDN中，∠BND = 90°，

∵sin∠NBD = sin 60° = [NDBD]，

∴ND = BD·sin 60° = 80 × [32] = 40[3]（cm），

∴MH = ND = 40[3] cm，

∴AG = AM + MH + GH = 60[2] + 40[3] + 5 ≈ 60 × 1.41 + 40 × 1.73 + 5 ≈ 159（cm）.

答：展板最高點A到地面PF的距离约为159 cm.

点评：解决本题的核心是作垂直，并把105°角转化成特殊角，再应用三角函数求解.

（作者单位：辽宁省实验中学初中部）