化抽象为具体 化无形为有形——GeoGebra辅助“动态圆”问题分析

何龙君

(浙江省义乌中学)

一、引言

带电粒子在磁场中的运动是高中物理教学的重点和难点,同时也是高考的重要考点。虽然高考中粒子的运动大多是圆周运动,但题型变化多端,非常灵活。尤其是动态圆问题,过程复杂,情境抽象。动态圆包含“平移圆” “放缩圆” “旋转圆”,其中“放缩圆”与“旋转圆”两者结合的问题难度较大,再与有界场结合,部分学生不能形成有效的解题策略。有界场问题中经常会出现“恰好射入/射出”“平行/垂直某边界”“与水平/竖直成某一角度”等限定词汇。教师应帮助学生根据这些限定完成情境再现,绘制符合要求的运动轨迹,根据临界条件和几何关系列式求解。

二、真题赏析

【真题1】(2023·湖南卷)如图1,真空中有区域Ⅰ和Ⅱ,区域Ⅰ中存在匀强电场和匀强磁场,电场方向竖直向下(与纸面平行),磁场方向垂直纸面向里,等腰直角三角形CGF区域(区域Ⅱ)内存在匀强磁场,磁场方向垂直纸面向外。图中A、C、O三点在同一直线上,AO与GF垂直,且与电场和磁场方向均垂直。A点处的粒子源持续将比荷一定但速率不同的粒子射入区域Ⅰ中,只有沿直线AC运动的粒子才能进入区域Ⅱ。若区域Ⅰ中电场强度大小为E、磁感应强度大小为B1,区域Ⅱ中磁感应强度大小为B2,则粒子从CF的中点射出,它们在区域Ⅱ中运动的时间为t0。若改变电场或磁场强弱,能进入区域Ⅱ中的粒子在区域Ⅱ中运动的时间为t,不计粒子的重力及粒子之间的相互作用,下列说法正确的是

( )

图1

A.若仅将区域Ⅰ中磁感应强度大小变为2B1,则t>t0

B.若仅将区域Ⅰ中电场强度大小变为2E,则t>t0

【真题2】(2023·浙江卷6月)(节选)利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图2所示,Oxy平面(纸面)的第一象限内有足够长且宽度均为L、边界均平行x轴的区域Ⅰ和Ⅱ,其中区域Ⅰ存在磁感应强度大小为B1的匀强磁场,区域Ⅱ存在磁感应强度大小为B2的磁场,方向均垂直纸面向里,区域Ⅱ的下边界与x轴重合。位于(0,3L)处的离子源能释放出质量为m、电荷量为q、速度方向与x轴夹角为60°的正离子束,沿纸面射向磁场区域。不计离子的重力及离子间的相互作用,并忽略磁场的边界效应。

图2

(1)求离子不进入区域Ⅱ的最大速度v1及其在磁场中的运动时间t;

图3

由以上分析可知,解决“动态圆”与有界场结合的问题关键在于找准临界点,画出临界轨迹,因此需在平时的常规教学中逐步培养和提升思维能力。利用传统教学方式解决此类问题时效率较低,不利于学生的理解。随着信息技术的发展,GeoGebra越来越受到一线教师的关注。该软件能将粒子的运动过程形象化、直观化,快速创建易于学生理解的学习情境,降低了学生分析“动态图”问题的难度。笔者将“动态图”习题的解题策略总结如下:

(1)读懂题目。明确带电体初始条件和临界条件,明确磁场边界;

(2)描绘轨迹。由“左手定则”确定粒子偏转方向,借助GeoGebra展示粒子运动轨迹;

(3)寻找临界。利用GeoGebra动态演示功能,在变化的轨迹中确定临界轨迹;

(4)列式求解。结合物理学规律和几何关系列式求解,分析解的合理性。

三、实例分析

(一)“旋转圆”

( )

图4

B.挡板左侧能被粒子击中的竖直长度为a

【读懂题目】粒子初速度大小相同,在O点向各个方向发射粒子,属于“旋转圆”类问题。

【描绘轨迹】由“左手定则”可知粒子逆时针方向运动,根据粒子运动速度方向的变化,推测粒子大致的运动轨迹,教师利用GeoGebra展示粒子运动轨迹随入射角方向变化而变化的动态过程。

【寻找临界】通过观察可以发现,随着逆时针转动入射角方向,粒子先是打在竖直板的右侧,如图5甲所示,随着逆时针转动入射方向,粒子与挡板的接触点不断上移,如图5乙所示。当粒子由从N点右侧经过转变成从N点左侧经过时,是一种临界情况,如图5丙所示,此后粒子打在竖直板左侧,且接触点不断上移。当粒子轨迹与竖直板相切时,是另一种临界,如图5丁所示,此后粒子不能打在极板上。

甲

【列式求解】由图6甲中几何关系得

甲

这类问题特点在于粒子速度大小不变,方向任意,通过动画分析可知,所有轨迹圆效果上相当于一个圆绕着O点旋转。教师对题目的讲解和学生观看GeoGebra的动态展示,有助于强化知识记忆的效果,深化知识的理解。

(二)“放缩圆”

【例2】如图7所示,一足够长的矩形区域abcd内充满方向垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场,在ad边中点O,方向垂直磁场向里射入一速度方向跟ad边夹角θ=30°、大小为v0的带正电粒子,已知粒子质量为m,电荷量为q,ad边长为L,ab边足够长,粒子重力不计,求:粒子能从ab边上射出磁场的v0大小范围。

图7

【读懂题目】粒子初速度方向不变,但大小一直在改变,属于“放缩圆”类问题。

【描绘轨迹】由“左手定则”可知粒子逆时针方向运动,根据粒子速度不断增大,粒子轨迹圆的半径不断增大,轨迹圆的圆心一直在过O点速度的垂线上,推测粒子大致的运动轨迹,利用GeoGebra展示粒子运动轨迹随速度增大而增大的动态过程,如图8甲所示。

甲

【寻找临界】通过观察可以发现,当粒子速度较小时,粒子从磁场左边界飞出。当粒子速度达到某一临界值v1时,粒子轨迹刚好与上边界相切,此时是一种临界情况,如图8乙所示。继续增大粒子,当轨迹与下边界相切时,是另一种临界情况,如图8丙所示,此时速度为v2。

【列式求解】由图8乙中几何关系得

这类问题特点在于粒子速度方向不变,大小任意变化,通过动画分析可知,所有轨迹圆效果上相当于以入射点为切点,画一系列放大或缩小的圆。由于这一系列圆有共同的切点,此类问题难度不大。

(三)“旋转圆”+“放缩圆”

【例3】如图9所示,x轴上方存在垂直纸面向外的匀强磁场,坐标原点有一正离子源,单位时间在xOy平面内发射n0个速率均为v的离子,分布在y轴两侧各为θ的范围内。在x轴上放置长度为L的离子收集板,其右端点距坐标原点的距离为2L,当磁感应强度为B0时,沿y轴正方向入射的离子,恰好打在收集板的右端点。整个装置处于真空中,不计重力,不考虑离子间的碰撞,忽略离子间相互作用。

图9

(2)若发射的离子被收集板全部收集,求θ的最大值;

(3)假设离子到达x轴时沿x轴均匀分布,当θ=37°,磁感应强度B0≤B≤3B0的区间取不同值时,求单位时间内收集板收集到的离子数n与磁感应强度B之间的关系。(不计离子在磁场中运动的时间)。

【读懂题目】前两小题粒子初速度大小相同,属于“旋转圆”类问题,第三小题磁场大小变化,粒子速度方向也可改变,属于“旋转圆”与“放缩圆”结合问题。

【描绘轨迹】由“左手定则”可知粒子逆时针方向运动,根据粒子运动速度方向的变化,推测粒子大致的运动轨迹,利用GeoGebra展示粒子打在最右端时运动轨迹,如图10甲所示。改变粒子速度方向,展示粒子打在最左端时的运动轨迹,如图10乙、丙所示。改变磁场大小时,展示粒子运动轨迹,如图11所示。

甲

甲

【寻找临界】通过观察可以发现,随着粒子入射方向的改变,粒子打在最左端有两种情况,如图11乙、丙所示。改变磁场大小时,由图11甲、乙、丙可知,对于某一确定的磁场,θ=0时,粒子轨迹与板的交点最靠右,θ=37°时,交点最靠左。

由图10乙、丙几何关系得2Rcosθm=L,解得θm=60°

当B0≤B≤1.6B0时,n1=n0

当2B0

这类实例中,由于粒子速度方向和磁场大小都在变化,是典型的“放缩圆”与“旋转圆”相结合的问题。如果采用传统的黑板绘图与教师讲解模式,很难将所有情境都呈现在学生面前,且绘图十分耗费时间,教学效果不佳,教学效率较低。教师利用GeoGebra展示粒子运动的轨迹变化,由学生观察分析临界位置,建立几何模型,无形中培养学生科学探究的素养,体现了学生主体,教师引导的教学理念。

四、小结

带电粒子在电磁场中的运动问题是整个高中阶段的重点和难点,情境抽象,过程复杂,高考时得分率较低。结合GeoGebra的动态演示,将抽象的运动轨迹直观形象地展示给学生,有利于学生建模能力的培养。将GeoGebra融入物理习题教学不仅有利于物理观念的形成、更有利于科学思维能力的发展、科学探究能力的提升和科学态度与责任等核心素养的培养。