以图促思，让学生“画”出一片精彩

蔡彦

数学是研究数量关系与空间形式的科学，它是抽象概括的，同时也是直观形象的。画图正好可以把“数与形”相结合，图能把学生接收的信息和想法直观地呈现出来，将抽象的数学问题直观化、形象化。画图是学生们打开数学大门的一把“金钥匙”，能让数学知识由繁变简，由难变易，对于发展学生的空间想象能力、思维能力、观察能力、迁移能力、计算能力、解决问题能力、创新能力等都具有深远的影响。

一、以图助学，让学习真可视

小学生的思维处于具体形象阶段，帮助学生从具体过渡到抽象，画图成为一个重要的方法，它在学生思维和数学学科知识之间架起了一座桥梁，让学生的思维呈现于画中，让思维可视化，这样不但丰富了数学课堂，还提高了学生学习数学的兴趣。

数学概念是数学知识的重要组成部分、其结论是抽象的，如何帮助学生从机械的记忆过渡到意义的理解就需要借助直观图形。如，“分数的初步认识”一课教学中：分数作为小学阶段数概念教学中一个非常重要的概念，是学生学习整数之后第一次数域扩展的学习内容。分数和自然数一样有计数单位，可以比较大小，可以计算，也是学生学习小数的辅助工具。相比较自然数和小数，分数出现在学生实际生活中的概率较小，虽然有些孩子能口头说出一些分数，但对于分数意义的理解和掌握，学生是存在困难的。本课我的教学策略是使用“画图法”，从视觉与触觉通道积累对分数的感性经验，通过形的直观弥补数的抽象，加强对概念的理解。

教学过程如下：

环节一：揭示课题，自学1/2的读写及各部分名称

同学们，今天我们要学习一种新的数，你们知道是什么数吗？（此时，引发学生的发散思维）

你们见过分数吗？谁来说一说并写出几个分数？怎样正确读写分数，请教书本老师，自学数学书。

在学生的交流汇报中完成分数读写及各部分名称的认识。

环节二：画图表征，理解的本质含义

1.请学生动手画图，用自己的方式表示。

2.展示作品，學生介绍。

师提问：都是，有什么相同点？（由图对比提取本质）

师：这些，有什么不同？（由图再次对比）

追问：为什么不同的图形都能找到它的？（由图第三次对比，理解含义）每个图形平均分成两份，每份都是这个图形的一半，都是这个图形的。

师：除了平均分图形，平均分物体可不可以也得到？（生画图或说一说）这里的2表示什么？1又表示什么？（在图中深刻理解的含义，感受分数的相对性）

环节三：继续画图表征，理解其他分数的本质含义。

师问：分数只有吗？你能表示出其他分数吗？

此时，学生的思维是发散的，在理解分数意义的基础上，自发画图，学生创造出了许多分数。

通过多次画图，让学生认识到了分数的本质，把知识挖得更深，在有效的时间里学生学得透彻，学得明白。

小学阶段无论是整数、分数还是小数的认识，或是他们的进制和意义都离不开图形的帮忙。教学中采取将概念、定理、性质等与直观图形相结合的方法，可以展现概念的本质内涵，实现教师“可视”的教与学生“可视”的字，从而引发学生深度学习，促进概念的意义建构。

二、以图释理，让理解真发生

计算教学中，要使学生计算能力强，算法灵活，最重要的是让学生理解算理，这个“理”是学生不容易理解的，我们可以通过现实情境、直观的图、学生已有的知识基础等帮助学生去理解。用图沟通算理与算法。

如，“小数乘法”是人教版数学五年级上册第一单元的内容。在学习小数乘法以前，学生学习的内容都是两个整数相乘求积，从数位顺序表来看，两个整数相乘的积的计数单位要么和以前的计数单位一样，要么从右往左出现更大的计数单位，也就是说，积会变大（0和1除外）。小数乘整数的学习与前面学习过的两个整数相乘是有联系的，但是也有区别，小数乘法的算理以乘法的意义和小数的意义为基点，迁移承接整数乘法的计算规则，当学生学习小数与小数相乘以后，就会遇到积比因数小的情况。学生利用知识迁移按照整数乘法计算的方法来做后，结果到底等于几呢？一部分学生会产生疑惑或困难，画图就成为学生自发寻求“突围”的重要手段。通过画图不断地类比、辨析，就能从本质上认识小数乘法的意义和算理。

教学：“小数乘整数”，学生对于计算“0.4×3”有着一定的经验，会利用加法或转化为整数乘法，很快就能得出结果是1.2。学生能计算出结果，并不能代表能清晰地理解算理，如果教学就此停步，直接进入练习环节，学生的“会”只是表象，一旦进入小数乘小数及以后的小数乘法计算，就会发现学生错误百出、后患无穷。我们应该出示算式“0.4×3后，充分让学生用多种形式直观地表征出0.4，再呈现3组这样的0.4。有的学生画计数器，有的学生画格子图，在直观图形的基础上以整数乘法“4×3=12”推导出“0.4×3=1.2”。引导学生对这些方法进行解释、对比关联，发现这些不同形式的理解表征有共同点：即都在表示4个0.1为一组，共有3组就是有12个0.1的意思，0.4×3=1.2可以理解为是在计算有几个0.1，也就是在计算计数单位的个数。

教学：“小数乘小数”，我们就可以顺势而为：

环节一：画图表征，理解算理

1.布置任务：不列竖式，计算各题，并画图表示计算过程。

3×5   3×0.5   0.3×0.5   0.3×0.05

2.寻找学生的典型作品并展示。

3.整体反馈。

（1）计算这四道算式时有什么相同的地方？

（2）讨论算理。

①层次一：整数乘法的算理。

问：哪幅图你能一眼就看明白是怎么画的？

生：作品1“3×5”表示5个3，画了3行5列，算出15个一。

②层次二：小数乘法的算理。

讨论1：3×0.5的画法。

生：作品2，把3个一看作一个整体，平均分成10份，取其中的5份，就是3个0.5，阴影部分表示15个0.1，也就是1.5。这里1小格就是0.1，3×0.5就是在算有几个0.1。

讨论2：0.3×0.5的画法。

生1：作品3，把整个正方形看作整体“1”，平均分成10份，取其中的3份就是0.3，然后再把0.3看作一个整体，平均分成10份，取其中的5份，也就是0.3的0.5倍，是0.15。0.3×0.5，计算经历两次平均分，把一个整体平均分成了100份，产生了新的计数单位0.01，0.3×0.5就是在算这样的15个0.01。

讨论3：0.3×0.05的画法。

生：作品4，0.3×0.05，是把单位1平均分成10份，然后再把0.3平均分成100份，相当于把单位“1”平均分成了1000份，0.3×0.05就是计算“3×5”个0.001。

总结：小数乘法的计算，就是在不断平均分的过程中产生新的计数单位，也是在计数新计数单位的个数。

环节二：沟通联系，拓展延伸

师：整体观察上面四幅图和算式，在计算过程中有什么相同点？

生：不管是整数乘法，还是小数乘法，都是在算计数单位的个数。

总结：整数乘法、小数乘法的算理是相同的，都是數计数单位的个数。以后会学习到分数乘法，道理也是一样的。

通过图处理好算理直观与算法抽象的关系，打通整数乘法和小数乘法的本质，都是计算计数单位的个数，体现运算的一致性。

三、以图促思，让思维真进阶

数形结合是一种思维，同时也是一种思想。学生在画图中可以经历形成思维，优化思维，最后成为一种思维习惯的过程。在这一过程中学生能彰显个性，发散思维，使学生的学习有深度和宽度，从源点走向远点。

例如，在解决这样的题：会场原来每排20座，有15排，扩建后每排增加5座，增加3排，扩建后共增加多少个座位？

学生自发想到的算式是：（20+5）×（15+3）-20×15，但是常常就有学生会有这样的错误，会认为5×3就是增加的座位数，这时教师及时追问：你们同意这样的想法吗？这样的题，学生解释起来比较费口舌，而且也不是很清晰。

这时，如果我们通过长方形的图去表示，3×5为什么会是错的？就不言而喻了。我们能发现：白色部分是原有的座位，黑色部分是增加的座位，所以我们通过这个图不仅能解释出5×3为什么错？而且还可以帮助学生去理解，除了刚才的算法，还有哪些算法呢？看图这个问题也就迎刃而解了。学生能快速想到其他算法并能轻松解决，其原因主要还是直观的长方形图，激活了学生有关组合图形面积的知识与技能。以图为讨论、思辨的对象，学生在交流对话中自觉调动认知经验参与分析、判断、推理等数学活动，继而进行自我优化，促进了思维的提升。

在日常的教学中，我们要有意识地培养学生见数想形、见形想数的意识和习惯。把算式形象化，学生看到算式就联想到图形，看到图形就能联想到算式。例如：5×5，你能想到什么？边长5厘米的正方形的面积，边长是5厘米的正五边形的周长，5的5倍的线段图，5个度数为5的角度之和。

在图形与几何中，更要重视通过画图直观观察与直观理解。如，在三年级上册“长方形和正方形”单元例5：用同样个数的小正方形去拼长方形和正方形，这样一个周长规律的变化时，就是要通过学生亲身操作拼、摆、画，然后通过观察长和宽，越来越接近的变化，进而得到结论：长和宽越接近的时候，周长越短。但是当教师继续追问：你能不能说一说为什么呢？因为许多学生是数出来的，所以根本说不出理由，这个时候，图的几何直观作用就体现出来了。用图解释起来是很轻松的，重合在图形里边的边长越多，留在外边，作为这个新图形的边长就越少，所以长和宽越接近，图形的周长就越短。对于学生来说这样的教学，不仅仅是得到一个结论，更是在这样的操作和过程当中去真正地理解和感受到了为什么会有这样的结论，最大限度地发挥学生的探究本能和思维的连续生长。

画图能力的培养需渗透在每一节课中，可以让学生的理解真正有章可循、由浅入深，激活学生思维，提升数学学科素养，真正实现从知识立意向智慧立意的转变。