几个三角形不等式的再探究

湖南省长沙市望城区中小学教师发展中心 (410200) 刘先明

设ΔABC的三边长、三边对应的高、对应的旁切圆半径、外接圆半径、内切圆半径、半周长分别为a,b,c,ha,hb,hc,ra,rb,rc,R,r,s,用∑、∏表示循环求和、循环求积.文[1] 提供了加拿大数学杂志Crux Mathematicorum 4596题:

文[2] 提供了加拿大数学杂志Crux Mathematicorum 3450题:

本文获得(1)、(2)、(5)、(6)式的加强.为证明相应的结论,先给出如下已知的结果.

引理1 (文[4])在ΔABC中,有∑a=2s,∑bc=s2+4Rr+r2,abc=4Rrs,∑a3=2s(s2-6Rr-3r2),∏(b+c)=2s(s2+2Rr+r2).

引理2 (Gerretsen不等式)在ΔABC中,有16Rr-5r2≤s2≤4R2+4Rr+3r2,当且仅当ΔABC为正三角形时取等号.

1.(1)式的加强及下确界

从而结论1是下述Nesbitt不等式的特例.

2.(2)式的加强

同时,获得欧拉不等式R≥2r的加强:

3.(5)式的加强

4.(6)式的加强