对一道征解题解答的质疑与探究

广东省佛山市顺德区乐从中学 (528315) 王志国

文[1]中,作者给出了第2604号问题的解答.该问题形式优美,引起笔者的兴趣,也对此进行探究,并发现文[1]对于问题(2)的解答有误,并得到问题的一个结论及猜想,故此成文,与大家分享.

一、第2604号问题及原解答的呈现

为了说明原解答的错误,先将文[1]中的第2604号问题及其问题(2)的解答过程摘录如下:

题目已知a,b,c>0,且abc=1.

二、对解答的质疑

也可举反例验证:

综上可知,问题(2)的解答有误!

三、一个结论及证明

笔者对问题2604的问题(2)进行探究,得到一个结论:

若g(t)=g(a)min,则t是方程g′(a)=0的根,即是方程4a3+3a2-3a-1=0的根.

于是g(a)min是方程16y3+567y2-3402y-18225=0的根,由三次方程的知识(或借助数学软件),可知此方程只有一个正实根y≈8.1086.从而可得y=g(t)=g(a)min≈8.1086,所以λ的最大值约为8.1086.

四、一个猜想

该猜想在数学软件中验证是正确的,但还没有成熟的证明,期待大家的进一步讨论与解决.

最后给出几道类似的题目供大家作为练习之用: