例谈“方差”模型在求解数学竞赛题中的妙用

江苏省靖江高级中学 (214500) 倪 伟

数据方差公式是统计中的重要公式,除了用于判断数据的波动程度的大小外,在解决数学问题时具有极其广泛的运用价值.对于数学中的其它一些问题,若能根据特点,巧妙应用或构造“方差”模型来求解,则思路清晰、明快简捷,常常会有出其不意的解题之效.本文从竞赛视角谈谈“方差”模型在数学解题中的妙用.

例1 (2023年全国高中数学联赛浙江预赛第7题改编)已知a,b,c∈R,且a+b+c=a2+b2+c2=3,则(a-1)2023+(b-1)2023+(c-1)2023=.

例6 (2011年全国高中数学联赛一试B卷第9题)已知实数x,y,z满足x≥y≥z,x+y+z=1,x2+y2+z2=3,求实数x的取值范围.

从上述例子可以看出,对于问题中含有“一组数据的平均数及它们的平方和”的一类竞赛题,通过构造“方差模型”求解,思路清晰、方便快捷,有着出人意料的解题效果,因此重视对“方差模型”解题应用的发掘和研究实属必要.这对于培养学生的创新意识和探索精神,启迪学生思维和开拓学生视野也颇有裨益.