一维六方准晶非周期平面内中心开口裂纹的平面热弹性问题*

赵雪芬, 卢绍楠, 马园园, 张保文

(1. 宁夏大学 信息工程学院, 银川 750021;2. 宁夏大学新华学院, 银川 750021;3. 宁夏大学 数学统计学院, 银川 750021)

0 引 言

1984年,研究人员发现准晶体同时具有非晶体学旋转对称性和准周期平移对称性[1]．准晶体中声子场和相位子场共存, 其中声子场相当于传统晶体的弹性场, 相位子场位移可以理解为对基本晶格的另外一种扰动．相位子相应的元激发,表现出扩散行为[2]．由于材料的脆性,准晶对裂纹、孔洞、夹杂等其他缺陷很敏感[3]．这些缺陷的存在显著影响了准晶的物理和力学性能．为此,许多学者对准晶断裂问题进行了大量的研究．Li等[4]研究了一维六方准晶无限空间中半无限Dugdale裂纹尖端的塑性变形,估算了裂纹前缘塑性区的范围,并给出了扩展裂纹外的法向应力和裂纹表面位移．Yu和Guo[5]考虑了一维六方准晶带中Ⅲ型共线裂纹的奇异弹性场问题,通过第一类和第三类完全椭圆积分,导出了声子场和相位子场在裂纹尖端的应力强度因子．在考虑压电效应的作用下,卢绍楠等[6]基于复变函数方法研究了含界面共线裂纹的一维六方压电准晶双材料的断裂行为,求出了问题的精确解．

实验发现,传统方法制备的准晶仅在高温下稳定[7-8]．为了提高材料的使用寿命,关于准晶热力学性能已广泛展开了实验和理论方面的研究[9-12]．基于广义不连续位移法,Fan等[13]研究了热效应下一维六方准晶非周期平面裂纹问题．利用广义势理论方法,Li等[14]考虑了在一对均匀热流作用下无限大一维六方准晶中币形裂纹的反平面断裂问题,得到了温度、位移和应力的解析表达式．Zhang等[15]借助于Hankel积分变换技术,分析了一维六方准晶涂层在热机械载荷作用下界面裂纹的三维问题,导出了界面位移和温度不连续的基本解．Guo等[16]研究了含有导热椭圆孔的二维十次准晶的热弹性问题,考虑了椭圆孔的导热性,利用复变函数方法求得了应力的精确解．上述文献均假设缺陷处于闭合状态,其中文献[13-15]中裂纹是绝热的(热非渗透),文献[16]中缺陷是完全热导通的(热渗透)．

工程实际中,当材料加载外载荷时,裂纹内部并不是完全闭合状态．张开的裂纹内部会充满具有导热性的介质(比如空气等)．基于此,本文考虑裂纹内部介质热传导率,利用Fourier积分变换和叠加原理,研究了一维六方准晶非周期平面内含有中心开口裂纹的平面热弹性问题,得到了声子场和相位子场应力的解析解．数值算例分析热传导率、外载荷、热流密度和耦合效应对热应力强度因子和应变能密度因子的影响规律．本文得到的结论可作为设计和评估准晶高温材料的理论基础．

1 基本方程及问题描述

一维六方准晶中,若准周期方向取z轴,则周期平面为xOy面．假设缺陷沿y轴穿透材料,这时在垂直于周期方向平面内的弹性问题可视为非周期平面弹性问题．一维六方准晶体非周期平面弹性问题的平衡方程、变形几何方程、广义Hooke定律分别为[17-18]

∂jσij=0, ∂jHij=0,

(1a)

(1b)

(1c)

这里,i,j=x,z,C11,C13,C33和K1,K2分别表示声子场和相位子场弹性常数,R1,R2,R3为声子场-相位子场耦合系数,σij,Hij分别为声子场和相位子场应力分量,εij,ωij表示声子场和相位子场应变分量,ui,wi代表声子场和相位子场位移分量,β1,β3是热模量常数,θ表示温度变化．

将式(1b)和(1c)代入式(1a),可得偏微分方程组:

(2)

根据Fourier热传导理论可知

(3)

(4)

为了考虑开口裂纹内部介质热物理特性的影响,选择耦合边值条件[19-20]:

(5)

其中,ε为考虑到实际情况的一个调节因子,是q0的无穷小量,λc是裂纹内部介质热传导率,Δu是裂纹张开位移．当λc=0,表示裂纹内部是绝热的(热非渗透);当λc→∞,表示裂纹内部是完全热导通的(热渗透);λc=0.024 W/(m·K)表示0 ℃时裂纹内部充满空气的热传导率．

如图1所示,考虑一维六方准晶体非周期平面内含一条中心开口裂纹,裂纹位于x轴上,长度为2c．q0,σ0和h0分别代表无穷远处的热流密度、声子场载荷和相位子场载荷．

图1 均匀的热流密度q0和外载荷σ0,h0作用下的中心开口裂纹Fig. 1 A central opening crack under uniform heat flux density q0 and stress σ0,h0

假设裂纹内部充满介质,裂纹的边值条件如下:

(6a)

(6b)

(6c)

其中,上标“+”和“-”分别代表z>0和z<0平面的物理量．

在裂纹外连续边界条件可表示为

(7a)

(7b)

(7c)

(7d)

2 温度场的全平面解

由于问题的对称性,仅讨论x>0部分．由式(4),利用Fourier积分变换,θ可表示为

(8)

其中A±(ξ)是未知的,δ±=±1．再由式(3),得

(9a)

(9b)

由于qz(x,z)在x轴上连续,可知

根据边界条件(6a)和(7d),有

(10a)

(10b)

式(10a)和(10b)为对偶积分方程组,其解为[21]

(11)

这里,J1(·)是第一类Bessel函数．将式(11)代入式(8)、(9),得到温度场的积分表达式为

(12a)

(12b)

(12c)

利用Bessel函数的积分结果[22],可得到温度场全平面的精确解:

(13a)

(13b)

(13c)

其中

3 热应力的全平面解

(14a)

(14b)

(14c)

对式(2)进行Fourier积分变换,得到

(15a)

(15b)

(15c)

aj=n2/n,bj=-n1/n,

(16a)

(16b)

(16c)

其中,A*±(ξ),B*±(ξ)和C*±(ξ)是未知的．将式(16)代入式(2),可得

(17)

其中

从而,应力的通解可表示为

(18a)

(18b)

(18c)

(18d)

(18e)

为得到式(18)的封闭解,可将问题等效为两个问题的叠加: 第一个问题仅研究力作用,第二个问题仅讨论热载荷．首先,仅考虑力作用时的自由边界条件为

(19a)

(19b)

结合式(18c)、(18e)和(19b),可以得到

(20a)

(20b)

其中

由式(6c)和(19a),可得

(21a)

(21b)

其中

κ1=-(C13-C33γ1a1-R2γ1b1)η1-(C13-C33γ2a2-R2γ2b2)η2-(C13-C33γ3a3-R2γ3b3)η3,

κ′1=-(R1-R2γ1a1-K1γ1b1)η1-(R1-R2γ2a2-K1γ2b2)η2-(R1-R2γ3a3-K1γ3b3)η3．

式(21a)和(21b)是对偶积分方程,其解为[21]

(22)

仅考虑热载荷q0时,边界条件可表示为

(23a)

(23b)

由式(18b)、(18d)和(23a),可得

(24)

由式(6b)和(23b),可得

(25a)

(25b)

为了求解上述对偶积分方程,引入函数

即

(26)

由式(25a)和(26),可得

(27a)

(27b)

(27c)

其中

M4=(C33R1-C13R2)(γ2a2-γ3a3)+(C13K1-R1R2)(γ3b3-γ2b2)+

M5=(C33R1-C13R2)(γ1a1-γ3a3)+(C13K1-R1R2)(γ3b3-γ1b1)+

M6=(C33R1-C13R2)(γ2a2-γ1a1)+(C13K1-R1R2)(γ1b1-γ2b2)+

将式(27)代入式(26),可得

(28)

其中

κ21=(C44a2+C44γ2+R3b2)[M2(γ3b3-γ1b1)+M3(γ1a1-γ3a3)]+

(C44a3+C44γ3+R3b3)[M2(γ1b1-γ2b2)+M3(γ2a2-γ1a1)]-

(C44N2+C44λN1+R3N3)M1-

(C44a1+C44γ1+R3b1)[M2(γ3b3-γ2b2)+M3(γ2a2-γ3a3)],

κ22=M5(C44a2+C44γ2+R3b2)+M6(C44a3+C44γ3+R3b3)-M4(C44a1+C44γ1+R3b1)．

由式(11),式(28)可改写为

(29)

其中

式(29)是一个带Cauchy核的第一类奇异积分方程,其解为

(30)

代入式(26),有

综上,可得热力荷载作用下应力场的全平面精确解:

(31a)

(31b)

(31c)

(31d)

(31e)

其中

对于z=0,x>c,有

(32a)

(32b)

(32c)

(32d)

(32e)

这里

qc2=λλzσ0[γ1(a3b2-a2b3)+γ2(a1b3-a3b1)+γ3(a2b1-a1b2)]+

λcκ1[(a2b3+γ2b3)-(a3b2+γ3b2)]．

4 热应力强度因子

定义裂纹尖端热应力强度因子为[23]

(33a)

(33b)

将式(32)代入式(33),可得

(34a)

(34b)

令裂纹尖端应变能密度因子S为[24]

(35)

其中,r表示距离裂纹尖端的位移,dW/dV表示一维六方准晶材料单位体积的应变能,

当λc=0时,式(34)和(35)退化为

(36a)

(36b)

(37)

5 数 值 结 果

表1 一维六方压电准晶体弹性常数[15]

此外,取ε=0.02[20],λc=0.024 W/(m·K),q0=20 W/m2,σ0=80 MPa,c=0.1 mm．

图2 随λc/λz和σ0的变化趋势Fig. 2 Variations of qc/q0, with λc/λz and σ0

图3 和随λc/λz的变化趋势图4 和随σ0的变化趋势Fig. 3 Variations of qc/q0, with λc/λzFig. 4 Variations of qc/q0, with σ0

图5 随q0变化Fig. 5 Variations of with q0

图6 随q0变化Fig. 6 Variations of with q0

图7给出了σ0变化时,S/Sm随q0的变化趋势．可以看出:随着σ0的增大S/Sm逐渐减小,当q0增大时,S/Sm缓慢增加．由文献[26]可知,S/Sm越大材料的性能越好,可承受较大的外力．因此σ0越小准晶材料越不容易断裂,而q0较大时准晶材料不容易断裂,这也验证了准晶的耐高温性．

图7 q0不同时,S/Sm随σ0变化Fig. 7 Variations of S/Sm with σ0 for different q0 values

图8和图9给出了qz/q0的变化趋势．从图中可以看出:qz/q0在裂纹尖端变化较为剧烈,在第一象限内随着x的增加,qz/q0先增大后减小;随着z的增大,qz/q0的变化趋势逐渐平缓．

6 结 论

考虑裂纹内部介质具有热传导性,本文研究了一维六方准晶非周期平面内含中心开口裂纹的平面热弹性问题．利用Fourier积分变换技术,求得全平面热应力、热应力强度因子及应变能密度因子在裂纹尖端的封闭解．研究表明:

1) 随着裂纹内部介质热传导率增大,热流密度逐渐增大,热应力强度因子逐渐减小．

2) 声子场-相位子场多场耦合效应对裂纹扩展的影响较显著,当声子场载荷较小或施加的热流密度较大时裂纹不易扩展．

3) 热流密度增加时相位子场热应力强度因子增大．在裂纹区域,随着z的增大,热流密度逐渐增大; 在第一象限内随着x的增加,热流密度先增大后减小．

致谢本文作者衷心感谢宁夏大学新华学院科学研究基金重点项目(23XHKY01)对本文的资助．