利用“六何”深度学习法指导课堂教学

彭瑛晶

【摘要】学生是教育教学的主体，数学教育的目的不仅是为了让学生掌握数学知识，更是让学生能够在未来生活中有高效的学习能力，即学生的数学学科核心素养.这是传统教学所不能达到的.通过“从何→是何→与何→如何→变何→有何”的深度学习方式，可以让学生明白为什么学数学、怎样学数学、如何用数学的问题，从而达到高中数学新课程标准的要求.

【关键词】六何；深度学习；课堂教学

本文将利用“六何”认知链指导教师课堂教学从而引导学生深度学习.提出“六何”深度学习法就是让学生明白数学问题及新知从哪儿来？——从何；所学新知是什么？——是何；这些数学知识内部要素之间、要素与总体之间的联系与区别——与何；学了这些知识应该怎样用？如何解决一些实际问题及现有数学问题的解答——如何；当条件、情境发生变化时，结论又怎样变化？——变何；最后有什么收获？——有何.该法能指导教师和学生更好地理解教材，让学生明白为什么学数学，怎样学数学，如何用数学的问题，知其然知其所以然，在深度学习中落实数学核心素养的培养.

以普通高中教科书数学必修一第一册人教（2019）A版第5章§5.2.1三角函数的概念为例.

1  新知从何而来？（从何）——创设情景，引出新知

高中已经学习了哪些基本初等函数？请大家回忆一下，我们研究这些函数的过程是什么？（承上启下）本章引言告诉了我们生活中哪些周期变化现象？（鼓励学生回答）

问题1  我们只要坐在摩天轮上，就可以周而复始地一直坐下去，如果把摩天轮看成一个圆，我们看做点P，以水平位置OA做起始位置，按逆时针方向旋转到终止位置OP，形成一个角α，如何借助角α的大小变化刻画点P的位置变化？（图1）我们可以用什么表示点P的位置？

图1

设计意图  明确本章引言的重要性，通过阅读第五章的章头引言让学生明白本章要学什么？从哪里来？到哪里去？从函数定义提问到研究函数的一般方法，不仅为后面抽象概括出三角函数概念做铺垫，也是为了让学生梳理研究函数的方法，体现大单元教学的重要性.通过研究摩天轮上点的运动，培养学生数学建模的能力，从而为后续深度学习打下铺垫.

2  所学新知是什么？（是何）——观察分析，探究新知

问题2  既然我们借助角α的大小刻画点P的位置变化.当旋转角α=π6时，点P的坐标是什么？你们如何求点P的坐标？若旋转角α=π2或2π3时，点P的坐标分别是什么？

问题3  请问这三个角所对应的点的坐标是唯一确定的吗？

问题4  任意给定一个角α，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标也是唯一确定的吗？

通过上述问题，学生可分析出：当角α确定时，它的终边也就唯一确定，则终边与单位圆的交点也就唯一确定，那么点的坐标也唯一确定.

问题5  任意给定一个角α属于实数，那么对于点P而言，既有唯一确定的横坐标与之对应，也有唯一确定的纵坐标与之对应.这种对应关系符合我们前面所学的什么定义？

结合引入部分的铺垫，学生是可以迅速得出符合“函数”定义的.

于是得出三角函数的概念：

设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P（x，y），

（1）把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sinα，即y=sinα; α∈R，

（2）把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cosα，即x=cosα; α∈R［1］.

设计意图  通过动点P在单位圆周上的运动，由特殊到一般，借助信息技术观察动点变化，在一般函数概念的指导下，探究确认点P的横坐标x，纵坐标y与角α的对应关系就是函数，再抽象概括出三角函数的概念.（突破三角函数的概念这节课的重难点）通过问题串逐渐引导学生思考所要学的知识是什么？怎么来的？从而培养学生逻辑推理、数学抽象的核心素养.

问题6  请仔细阅读课本178页回答下面问题？

为什么说yx也可以看成关于角α的函数？其中角α也可以取任意实数吗？

由于α确定了，点P的坐标就唯一确定了，那么坐标的比值也就唯一确定了，所以yx也可以看成关于角α的函数；

由于x≠0，α的终边不能在y轴上，所以α≠π2+kπ（k∈Z），

于是可以得到把点P的纵坐标与横坐标的比值yx叫做α的正切，记作tanα，即yx=tanα（x≠0）［1］

設计意图  通过阅读教材与回答问题，进一步进一步加深学生对三角函数定义的理解，从而培养学生的自学归纳推理能力.在这个推导过程中有学生会问由于α确定了，点P的坐标就唯一确定了，那么坐标的比值也就唯一确定了，那么xy（y≠0）也可以看成角α的函数，还有1x（x≠0）和1y（y≠0）.在这个过程中教师要对学生的提问和给出的结论给予肯定和鼓励，并可以补充给出余切、正割、余割函数的定义.作为教师就是要教会学生用已有的知识推导出新知识的方法进而达到深度学习，从而培养适应未来社会需要的人才.

3  所学新知与原有知识有什么关系？（与何）——新旧辨析，加强理解

探讨  回忆初中学习的锐角三角函数的定义，并与高中所学任意角三角函数的定义进行对比，你们发现有什么区别？

sinα=ABOAcosα=OBOAtanα=ABOB

sinα=ycosα=xtanα=yx

图3

由上述对比（图3）可以得出：初中所学锐角三角函数是以锐角为自变量，以三角形边长的比为函数值的函数；而高中所学任意角三角函数是以任意角为自变量，以单位圆上的点的坐标或者坐标的比为函数值的函数.（在这个过程中鼓励学生作答比如从角的范围、表达形式的不同等角度作答，只有通过交流才可能指导其更深层次地理解概念）.

追问  两种三角函数的定义方式显然是不同的，但是这两种不同定义方式的三角函数有没有联系？如果我们取同一个锐角α，那么在这两种定义中的三角函数值会一样吗？

问题7  设α∈0，π2，把按锐角三角函数定义求得的锐角α的正弦记为z1，并把按本节三角函数定义求得的α的正弦记为y1，z1与y1相等吗？［2］

不妨将三角形OAB的角α平移与坐标单位圆O中的角α重合（图4），学生通过小组合作或独立探究利用相似三角形是能證明z1与y1相等的.

追问  对于余弦与正切也有相同的结论吗？（鼓励学生作答巩固所学方法）

上述问题可得出：初中锐角三角函数的定义方式与高中三角函数的定义方式不同，但角α∈0，π2时，我们利用三角形相似推导出三角函数值是一样的，这也说明任意角三角函数定义与原有知识并不矛盾，而是更好地刻画了周期变化现象.

设计意图  对比分析锐角三角函数与任意角三角函数，明确两种定义的区别与联系，体会所学新知的重要性与必要性，加强对三角函数概念的理解.在这个过程中培养学生探究及深度思考问题的意识.

4  所学新知如何应用？（如何）——概念巩固、归纳总结

例1  求5π3的正弦值、余弦值和正切值.

解   在直角坐标系中，作∠AOP=5π3，如图6所示，易知∠AOP的与单位 圆的交点坐标为12，-32，

所以sin5π3=－32，cos5π3=12，tan5π3=－3.

图6

图7

问题8  请总结出求给定角三角函数值的方法？（让学生通过完成练习结合定义总结方法）

设计意图  巩固概念，归纳总结出单位圆定义求一个角的三角函数值步骤：①画出角α的终边与单位圆;②求出角α的终边与单位圆的交点坐标；③写出角α的三角函数值.在此不仅夯实所学新知，更能培养学生归纳总结的能力，明确所学知识如何应用.

5  所学新知条件发生改变时，该怎么办？（变何）——探究变式，提升素养

例2  如图7，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点0重合）的坐标为（x，y），点P与原点的距离为r.

求证：sinα=yr，cosα=xr，tanα=yx.

问题9  通过例2的解答，你能得到什么结论？

通过例2，学生可以掌握只要知道角α终边上任意一点P的坐标，就可以求得角α的各个三角函数值的方法.

设计意图  通过例2进一步建立与锐角三角函数的联系，也进一步理解了任意角三角函数的定义，将三角函数的“单位圆定义”与“终边上点的坐标比定义”相结合推导出新的结论.从而启发学生思考当我们所学知识的条件发生改变时，该怎么办？只要掌握了研究的方法，问题自然迎刃而解.我们数学教育的目的不就是要教会学生用所学知识解决未知问题、探究新知识的能力吗？

6  你学到了什么？（有何）——归纳总结，回味无穷

通过这节课的学习掌握了哪些知识与方法？从而获得了哪些数学能力？

设计意图  通过上述简单问题不仅能让学生回顾总结所学知识，还能有效地培养学生自我构建知识体系的能力.在逐渐培养学生自我总结和学习的过程中落实数学核心素养，从而达到数学新课程标准的要求.

7  结语

本文研究以“六何”方式组织课堂教学，落实学生新知学习为问题切入点，以学生没有行之有效的学习方法为研究假设，遵循数学学科知识及学生认知发展规律，设计“六何”深度学习法的课堂教学方法.让学生对数学理解从“不会”→“会”→“对”→“好”的创新思维能力和实践能力.“六何”深度学习法能帮助教师和学生更好的理解教材，让教师落实大单元教学，让学生明白为什么学数学，怎样学数学，如何用数学，从而在深度学习中落实数学核心素养.

【课题：《指向数学核心素养的“六何”深度学习法实践研究》省级编号：2022B213市级编号：GYYB22176】

参考文献：

［1］章建跃，李增沪.普通高中教科书数学必修第一册（2019）A版［M］.北京：人民教育出版社，2019：177-179.

［2］吴海凤.基于“六何认知链”的高中数学教材的比较研究［D］.南宁：广西师范大学，2015.