转轴-轮盘-裂纹叶片耦合系统的叶尖振动特性

吴志渊，赵林川，颜格，胡海峰，杨志勃，张文明，*

1.上海交通大学 机械系统与振动国家重点实验室，上海 200240

2.国防科技大学 装备综合保障国防科技重点实验室，长沙 410075

3.西安交通大学 机械制造系统工程国家重点实验室，西安 710049

叶片是航空发动机、燃气轮机、压缩机等动力设备的核心部件之一，直接承担能量的转换和传递［1］。叶片长期在极端恶劣的条件下运行，容易引发叶片故障［2］。轴系振动产生的机械载荷、气流引起的气动载荷，使叶片发生振动导致高周疲劳［3］。此外，叶片低周疲劳及外物损伤同样容易导致叶片产生初始裂纹进而缩短寿命，严重影响了航空发动机的安全性和可靠性［4-5］。深入了解裂纹叶片的动力学行为，有助于开发一种有效、可靠的叶片裂纹故障监测技术［6］。当前，基于应变计的接触式叶片振动测量技术受到安装方式及信号传输的限制，只能监测少数叶片的少数测点；然而，基于叶尖定时的非接触式叶片振动测试技术通过机匣上少数的传感器，可以在线监测全级所有叶尖的振动信息，已经成为叶片健康检测的重要发展方向［7-8］。因此，研究转子系统中裂纹叶片叶尖的振动特性，对航空发动机安全运行及健康检测具有重要的理论和工程价值。

大量学者基于集中参数模型、连续体模型、有限元模型对裂纹叶片进行了研究。Xu 等［9］提出了一种单自由度模型，并利用振动功率流分析了呼吸裂纹的非线性行为，结果表明振动功率流对较小的呼吸裂纹比基于位移的振动分析更加敏感。Xie 等［10］通过判断拉伸应力和弯曲应力的关系，提出了考虑裂纹呼吸效应的旋转叶片动力学模型。Yang 等［11］在Xie 等的基础上进一步考虑了旋转叶片的科氏力效应，并基于断裂力学理论修正了呼吸裂纹的呼吸函数。Zeng 等［3］基于有限元方法和接触理论研究了某透平叶片在升速过程中的非线性行为。为了提高有限元模型的计算效率，Liu 和Jiang 等［12］开发了六面体裂纹单元模拟裂纹呼吸效应；Zhao 等［13］开发了裂纹梁单元模型，并基于振动过程中的闭合区域实现了扭型裂纹叶片的呼吸效应。

上述研究以单裂纹叶片结构为主，然而裂纹叶片会导致叶盘结构出现模态局部化现象［14］，越来越多的学者关注裂纹叶片与叶盘之间的影响。基于Euler-Bernoulli 梁理论和应变释放能，Huang 和Huang［14］提出了耦合的周期叶盘模型，并针对裂纹叶片导致叶盘出现模态局部化现象进行了稳定性分析。Kuang 等［15］、Huang［16］基于Hamiltons 原理和Galerkins 方法，对扭型叶片-刚性轮盘结构进行了建模，并分析了叶片裂纹导致的模态局部化现象。Jung 等［17］采用混合界面的模态综合法对含裂纹叶片的叶盘结构有限元模型进行了降维，并利用时频域交替法提高了计算效率。

由于叶盘安装在转轴上，转轴的刚度无法忽略，而且越来越多的学者研究发现转轴弯曲、转轴扭转、轮盘横向位移、叶片弯曲存在耦合［18-19］。然而，现有的转轴-轮盘-叶片模型中，大多关注轴系故障及叶片碰摩故障［20］。转轴、轮盘、叶片间复杂的耦合机制，导致现有叶片裂纹的研究以单叶片、叶盘结构为主，针对转轴-轮盘-叶片耦合系统的研究较少。 Chiu 和Huang［6］建立了5 叶片的转轴-轮盘-叶片模型，并研究了裂纹叶片对系统固有特性的影响。Yang 等［5］建立了含裂纹叶片的转轴-轮盘-叶片动力学模型，并分析了裂纹呼吸效应对转轴弯曲、扭转振动的影响。

综上可知，现有研究大多关注含裂纹的单叶片结构或者含裂纹叶片的叶盘结构，针对转轴-轮盘-裂纹叶片耦合系统的较少，且研究主要集中在裂纹对耦合系统固有频率和振型的影响。因此，亟需开展考虑多源激励下耦合系统中裂纹叶片叶尖振动特性的研究。本文基于有限元方法，采用梁单元模拟转轴；基于假设模态方法，采用Kirchhoff 板和Timoshenko 梁模拟轮盘和叶片；基于释放应变能确定呼吸裂纹导致的时变损失刚度，建立转轴-轮盘-裂纹叶片耦合系统动力学模型；通过对比固有特性、振动响应，验证本文模型的有效性和准确性，剖析重力载荷、转子不平衡力、叶片气动载荷对裂纹叶片叶尖振动特性的影响；分析、总结裂纹深度、裂纹位置对耦合系统叶尖振动的影响规律。

1 动力学建模

转轴-轮盘-叶片耦合系统模型示意图如图1所示，系统主要包括转轴、轮盘、叶片等关键部件。转轴采用双支承结构（轴承1、2），弹性轮盘固定在转轴上，若干叶片均匀地连接在轮盘的外径上。本文基于有限元方法，采用梁单元对转轴建模；基于假设模态方法，利用Kirchhoff 板理论对轮盘建模，并利用Timoshenko 梁理论对叶片进行建模。此外，本文定义OXYZ为固定坐标系，OdXtYtZt为轮盘平动坐标系，OdXrYrZr为轮盘转动坐标系，obxbybzb为叶片局部坐标系。

图1 转轴-轮盘-叶片耦合系统模型示意图Fig.1 Model schematic of the shaft-disk-blade coupling system

1.1 转轴动力学建模

如图2所示，采用横截面为实心圆的2 节点有限梁单元模拟转轴，转轴有限单元上任意点在固定坐标系OXYZ下的动能Te为

图2 转轴有限单元示意图Fig.2 Schematic of shaft finite element

式中：Ae、Le、ρe分别为单元横截面积、长度、密度；Jse、Jpe为截面惯性矩和极惯性矩；Ωe为单元的转速；［ue，ve，we，θxe，θye，θze］为转轴任意点的六自由度位移，可由单元的广义坐标表示［21］。

转轴有限元单元的弹性势能Ue计算公式［21］为

式中：Ee、Ge、κe分别为转轴单元的弹性模量、剪切模量、剪切系数。

采用线性的弹簧-阻尼模拟轴承，轴承1 的刚度、阻尼矩阵Kb1、Cb1，轴承2 的刚度、阻尼矩阵Kb2、Cb2，可表达为

式中：kbx1、kby1、kbx2、kby2为轴承刚度；cbx1、cby1、cbx2、cby2为轴承阻尼；下标x、y分别表示固定坐标系下的X、Y方向；下标1、2 分别表示轴承1、2。

因此，轴承的势能Ubearing可表示为

式中：qb1、qb2分别为轴承1、2 位置处相应转轴节点的广义位移向量。

轴承阻尼导致的虚功δWbearing可表示为

1.2 弹性轮盘动力学建模

由于弹性轮盘装配在转轴上，并假设轮盘圆心与转轴节点刚性连接。因此，转轴、轴承的变形会导致弹性轮盘的圆心位置和姿态会发生变化，如图3所示。轮盘平动坐标系OdXtYtZt原点为轮盘发生平动位移后轮盘圆心的位置，经过二类欧拉角（Y1-X1-Z2）的姿态变换后，得到轮盘局部坐标系OdXdYdZd。

图3 轮盘圆心位置及姿态示意图Fig.3 Schematic of disk center position and attitude

在轮盘局部坐标系OdXdYdZd下，弹性轮盘-叶片结构与轮盘内径固支边界的叶盘结构类似［22］，如图4所示。将弹性轮盘简化为Kirchhoff 环形板，将叶片简化为Timoshenko直梁进行建模。

图4 弹性轮盘-叶片结构示意图Fig.4 Schematic of flexible disk-blade structure

考虑轮盘圆心的位置和姿态后，轮盘上任意点的位置Pd可表示为

式中：r、θ为轮盘坐标系对应的极坐标；ud为轮盘横向位移；θΩ为轮盘角位移；［xd，yd，zd］T为轮盘圆心平动位移；R1、R2、R3分别为与轮盘姿态角θzd、θxd、θyd相关的旋转变换矩阵。

进一步推导得到轮盘在固定坐标系OXYZ下的动能Tdisk为

式中：rd、Rd、hd、ρd分别为轮盘内径、轮盘外径、轮盘厚度、轮盘密度。

考虑轮盘横向位移ud，轮盘弹性变形导致的弹性势能计算公式［22］为

式中：∇2为拉普拉斯算子；Dd为轮盘抗弯刚度；μd为轮盘泊松比。

式中：Nr、Nθ为极坐标下轮盘的正交应力分量。

1.3 健康及呼吸裂纹叶片动力学建模

如图5所示，长度为Lb、宽度为bb、厚度为hb、安装角为β的叶片固定在轮盘的外径上。假设Nb个叶片沿圆周均匀分布，如图4所示，则任意时刻t第i个叶片在轮盘局部坐标系OdXdYdZd中的角位移可表示为ϑi=Ωt+2π(i-1)Nb，与第i个叶片根部连接处的轮盘横向位移可表示为udi，由于轮盘横向位移，导致第i个叶片在轮盘转动坐标系OdXrYrZr中存在刚体角位移θdi［22］。

图5 裂纹叶片模型示意图Fig.5 Schematic of cracked blade

考虑轮盘圆心的平动位移和旋转姿态，并考虑叶片的径向位移u、横向位移v、剪切角θz，第i个叶片上任意点在固定坐标系OXYZ下的位置Pb可表示为

式中：T1、T2、T3分别为与叶片安装角β、刚体角位移θdi、角位移与轮盘姿态角之和（ϑi+θzd）相关的旋转变换矩阵。

相应地，第i个叶片在固定坐标系OXYZ下的动能Tiblade为

式中：ρb、Ab分别为叶片密度、叶片横截面积。

考虑旋转叶片的离心刚化后，第i个叶片势能Uiblade计算公式［18，22］为

式中：Eb、Ib、Gb、κb分别为旋转叶片弹性模量、截面惯性矩、剪切模量、剪切系数；fc（x）为叶片任意截面的离心力载荷［18，22］。

如图5所示，假设在距离叶根Lc位置部分存在一个深度为hc的贯穿直裂纹，由于叶片受到气动力等交变载荷，导致裂纹面存在“张开-闭合”行为，称作裂纹呼吸效应。Wu 等［24］提出了考虑呼吸效应的轴弯耦合裂纹模型，在拉伸载荷和弯曲载荷的共同作用下，时变的等效裂纹长度h͂c可表示为

式中：yc为裂纹尖端在叶片局部坐标系obxbybzb中的坐标值；分别为临界闭合、张开时裂纹面受到的拉伸应力。

式中：μb为叶片泊松比；分别为影响裂纹叶片的轴向刚度、弯曲刚度、轴弯耦合刚度，具体表达式为

1.4 转轴-轮盘-裂纹叶片耦合系统动力学建模

基于Hamilton 原理，将转轴、轴承、轮盘、叶片的能量项代入可得

式中：Wnon为耦合系统非保守力做功。

采用有限元方法对转轴和轴承进行单元组集，采用Galerkin 方法对弹性轮盘和叶片进行离散，最终可以得到转轴-轮盘-裂纹叶片耦合系统整体的运动微分方程为

式中：M、G、K、q分别为耦合系统的质量矩阵、陀螺矩阵、刚度矩阵、广义坐标向量；C为耦合系统的瑞利阻尼矩阵；为时变裂纹导致的时变损失刚度；Fi、Fe分别为旋转导致的惯性、外激励载荷向量。

便于描述，Fi、Fe可表示为

式中：上标s、d、ib 分别表示转轴、轮盘、第i个叶片上的载荷向量；上标sd 表示与轮盘圆心连接的转轴节点上的载荷向量。

仅考虑匀转速运动时，惯性载荷向量Fi仅包含与叶片相关的载荷，可表示为

式中：Λ1为叶片轴向位移u的假设模态函数。

当转轴-轮盘-叶片耦合系统中存在轮盘不平衡量时，外激励载荷向量Fe仅包含与转轴相关的载荷，计算公式［18，27］为

式中：ed为轮盘不平衡量；md为轮盘质量。

若第i个叶片存在均布力载荷，且叶片任意位置的线载荷密度在固定坐标系OXYZ中为［Fx，Fy，Fz］T，则对应的外激励载荷向量Fe可表示

式中：A= -Fxsinϑicosβ+Fycosϑicosβ+Fzsinβ；Φ为轮盘横向位移ud的假设模态函数；Φ'为Φ对极坐标r的1 阶偏导；Λ2为叶片弯曲位移v的假设模态函数。

2 模型验证

2.1 无裂纹叶片的耦合系统模型验证

文献［18］基于集中质量法和Timoshenko梁理论建立一种转子叶片动力学模型，并通过与有限元模型进行对比验证了模型的正确性。文献［28］提出一种基于零转速模态数据计算转子系统Campbell 图的方法，并与文献［18］结果进行了对比，进一步验证了文献［18］中模型的正确性。

为了充分验证本文提出方法的有效性、准确性，本文参照文献［18］中的几何及材料参数进行建模。同时，在有限元商业平台ANSYS 中建立有限元模型，如图6所示。采用BEAM188 单元模拟转轴，采用COMBI214 模拟轴承，采用SHELL181 单元模拟轮盘，采用SOLID186 单元模拟叶片；叶片根部截面节点与轮盘、轮盘内径与转轴节点通过MPC 接触进行连接；并约束了靠近轴承1 的轴端轴向、扭转自由度。此外，裂纹面基于TARGE170、CONTA174 单元建立接触对。需要说明的是，仅在后续瞬态分析中考虑裂纹面之间的接触对，在模态分析中不考虑裂纹接触。

图6 转轴-轮盘-裂纹叶片耦合系统有限元模型Fig.6 Finite element model of shaft-disk-crackedblade coupling system

表1 给出了本文方法、有限元模型、文献［18］计算得出的无裂纹叶片的耦合系统前13 阶固有频率。本文方法与有限元模型、文献［18］方法、文献［18］试验的最大误差绝对值分别为2.26%、1.63%、2.79%，验证了本文方法的有效性、正确性。此外，基于本文方法绘制了部分阶次的模态振型，如图7所示，所绘制的振型图与文献［18，28］均一致。同时，在叶片主导的模态中（第6～9阶右下角）绘制了轮盘的局部模态。可以看出，叶片主导模态分别与轮盘的2 节径、1 节径、1 节径、0 节径模态发生耦合，导致不同叶片的模态位移具有不同的方向性。文献［18］中提到的叶片-叶片耦合模态（第6 阶）主要由叶片弯曲和轮盘2节径模态耦合导致的；叶片弯曲-转轴横向耦合模态（第7、8 阶）主要由轮盘的1 节径模态与转轴弯曲存在耦合导致；叶片弯曲-转轴扭转耦合模态（第9 阶）主要是由轮盘的0 节径模态与转轴扭转存在耦合导致［29］。

表1 无裂纹叶片的耦合系统固有频率Table 1 Natural frequencies of coupling system without cracked blade

图7 无裂纹叶片的耦合系统部分振型图Fig.7 Partial mode shapes of coupling system without cracked blade

图8 为本文方法和文献［18］方法计算无裂纹叶片耦合系统的Campbell 图，结果表明，本文方法和文献［18］方法计算的各阶固有频率吻合较好。随着转速的升高，离心刚化导致叶片弯曲主导的模态频率随之增大；且由于陀螺效应的影响，轮盘的摆动模态频率分离（正进动FW和反进动BW）；当转速升高至Ω1时，轮盘摆动模态的反进动BW 频率靠近系统俯仰模态频率，产生频率转向现象，文献［18］同样也存在频率转向的现象。上述结论再次验证了本文模型的准确性。

2.2 含裂纹叶片的耦合系统模型验证

假设在1#叶片上存在一个贯穿的直裂纹，且无量纲裂纹位置Lc/Lb=0.1、无量纲裂纹深度hc/hb=0.2。对比了本文方法、有限元模型（见图6）所得含裂纹叶片的耦合系统固有频率，如表2所列。结果表明，本文方法和有限元结果吻合较好，最大误差绝对值为2.81%。此外，与表1 对比发现，裂纹主要影响了叶片弯曲主导的模态频率（表2 中括号部分），转轴、轮盘主导的模态频率几乎没有影响。

表2 含裂纹叶片的耦合系统固有频率Table 2 Natural frequencies of coupling system with cracked blade

为了进一步研究叶片裂纹对转轴-轮盘-叶片耦合系统的影响，基于本文方法获得了叶片弯曲主导的模态振型（第6～9 阶），并绘制了相应的轮盘局部模态，如图9所示。叶片裂纹导致耦合系统出现模态局部化现象，且模态局部化现象出现在叶片弯曲主导的第1 个模态（第6 阶模态）；对比无裂纹的耦合系统，裂纹导致叶片上原本较大的模态位移减小（第7、9 阶模态）；裂纹出现在原本模态位移较小的叶片上时，裂纹对模态频率和模态振型几乎没有影响（第8 阶模态），主要的原因是裂纹叶片处在轮盘的节径线上，导致对系统模态振型影响较小。

图9 含裂纹叶片的耦合系统部分振型图Fig.9 Partial mode shapes of coupling system with cracked blade

为了进一步验证本文方法的准确性，与有限元模型对比了含叶片裂纹耦合系统的振动响应。假设在1#叶片上存在一个Y方向的简谐均布力载荷Fy=-100 sin(200 πt)，将［0，Fy， 0］T代入式（22）～式（25）中，进行耦合系统的振动响应计算。在有限元模型中，考虑裂纹面之间的接触，并在1#叶片上表面施加简谐的压力载荷-Fy/bb。如图10所示，本文方法计算得到的1#叶片叶尖Y方向位移时域波形及频谱图（见图10（a）、图10（b））、轮盘位置处轴心Y方向位移时域波形及频谱图（见图10（c）、图10（d））与有限元计算结果基本吻合。上述结果说明了本文方法能够准确模拟系统的振动响应，且叶片上的载荷能够有效地传递到转轴上。需要说明的是，有限元和本文方法中的时间步长均为1×10-4s，计算100 个周期，有限元计算时间约为17 h，而本文方法耗时约为290 s（0.08 h），本文方法极大提高了计算效率。

图10 本文方法和有限元模型动态响应结果对比Fig.10 Comparison of dynamic response results between proposed method and finite element model

3 耦合系统叶尖振动特性分析

基于本文方法，分析重力载荷、转子不平衡力、叶片气动力载荷、叶片裂纹参数对转轴-轮盘-裂纹叶片耦合系统叶尖振动特性的影响。

3.1 重力载荷对叶尖振动的影响

由于叶片均布在轮盘的外径上，且随着转子的自转，叶片的位置不断发生变化导致叶片上的重力载荷也不断变化。因此，当考虑叶片弹性变形时，重力载荷对叶片的影响是不可忽略的。重力载荷产生的外载荷表示为Fy= -ρbAbg，将［0，Fy， 0］T代入式（22）～式（25）中，可得第i个叶片对系统产生的外激励载荷向量Fe为

由式（28）可以看出，重力载荷产生的外载荷与叶片位置ϑi有关，且重力载荷影响叶片的拉伸位移u和弯曲位移v。在转速4 600 r/min 下，计算叶尖的弯曲振动响应，如图11所示，当所有叶片均为健康叶片时，由于转子系统自转导致叶片产生弯曲位移，且各个叶片的位置不同导致弯曲位移响应存在相位角；当1#叶片为裂纹叶片时（无量纲裂纹位置Lc/Lb=0.1、无量纲裂纹深度hc/hb=0.2），裂纹叶片叶尖的弯曲位移存在明显的偏移量，主要是由于在旋转状态下裂纹叶片的拉伸方向存在恒定的惯性载荷向量Fi（见式（20）），并且由于裂纹导致叶片存在轴-弯耦合，因此惯性载荷向量Fi会导致叶片弯曲存在明显的偏移量。从叶尖弯曲位移的频谱图中也可以看出，无裂纹时叶尖弯曲位移频谱的频率成分主要为转频fr；当存在裂纹时，叶尖弯曲位移频谱的频率成分还包含常值分量。

3.2 转子不平衡力对叶尖振动的影响

假设转速4 600 r/min，轮盘位置处不平衡量ed=1×10-4m，根据式（21）可得到转轴-轮盘-叶片耦合系统产生的不平衡力，计算得到的叶尖弯曲振动响应如图12所示。当所有叶片均为健康叶片时，在不平衡力作用下叶片弯曲位移趋于恒定值不再产生振动，然而不同叶片恒定值不同，主要原因可能是轮盘圆心的位移与叶片弯曲位移存在耦合，且与叶片位置ϑi相关［18，20，30］；当1#叶片为裂纹叶片时（无量纲裂纹位置Lc/Lb=0.1、无量纲裂纹深度hc/hb=0.2），恒定惯性载荷向量Fi会导致裂纹叶片的偏移量明显增大，且弯曲位移趋于稳定值，即产生静变形没有发生振动。从叶尖弯曲位移的频谱图（见图12（c））中也可以看出，在不平衡力下，叶片只存在常值分量，且裂纹叶片常值分量大于健康叶片常值分量。

图12 考虑转子不平衡力的叶尖振动响应Fig.12 Vibration response of blade tip considering rotor unbalance force

3.3 气动力载荷对叶尖振动的影响

第i个叶片上的气动力载荷计算公式［31］为

式中：Af为气动载荷幅值；EO为阶次。取Af=-100 N/m、fr=76.67 Hz（转速为4 600 r/min）、EO=5。第i个叶片中气动载荷示意图如图13所示，由于存在叶片安装角β，气动载荷Fi在坐标系oxbrybrzbr中的载荷分量为Fiy=Ficosβ、Fiz=Fisinβ。由图4 可知，忽略轮盘导致的小变形θdi，第i个叶片中气动载荷在整体坐标系OXYZ中可表示为

图13 第i 个叶片中气动力载荷示意图Fig.13 Schematic of aerodynamic load on ith blade

将［Fx，Fy，Fz］T代入式（22）～式（25）可得系统的外激励载荷向量Fe。

计算得到的叶尖振动载荷如图14所示。当所有叶片为健康叶片时，在稳定状态各叶片弯曲位移幅值几乎相同，但存在相位差，主要是由于不同叶片的气动力载荷存在相位差；当1#叶片为裂纹叶片时（无量纲裂纹位置Lc/Lb=0.1，无量纲裂纹深度hc/hb=0.2），各个叶片弯曲位移幅值不相同，裂纹叶片的弯曲位移幅值大于其他叶片弯曲位移幅值。从1#叶片叶尖弯曲位移频谱图（见图14（c））中可以看出，当各叶片为健康叶片时，频率成分为EOfr；当1#叶片为裂纹叶片时，除了常值分量外，频率成分还包括fr及其倍频，且在EOfr及其倍频处有较大的幅值。裂纹叶片弯曲位移存在多频率成分的原因是在气动力载荷下，裂纹面交替出现“张开-闭合”的呼吸效应，发生了非线性振动。

图14 考虑气动力载荷的叶尖振动响应Fig.14 Vibration response of blade tip considering aerodynamic load

3.4 多源激励对叶尖振动的影响

考虑重力载荷，转子不平衡力，气动载荷多源激励，研究叶尖的振动特性。假设转速4 600 r/min、轮盘位置处不平衡量ed=1×10-4m、气动力载荷幅值Af=-100 N/m、阶次EO=5。计算得到的叶尖振动载荷如图15所示。与仅气动载荷作用下的振动响应类似，当所有叶片为健康叶片时，叶尖弯曲位移幅值相同且存在相位差；当1#叶片为裂纹叶片时（无量纲裂纹位置Lc/Lb=0.1、无量纲裂纹深度hc/hb=0.2），各叶片幅值不再相同。从1#叶片叶尖弯曲位移频谱图（见图15（c））中可以看出，当所有叶片为健康叶片时，重力载荷导致的fr、转子不平衡力导致的常值分量0fr、气动载荷导致EOfr均在频谱图中有所体现；当1#叶片为裂纹叶片时，叶片弯曲位移频率成分还包括fr的倍频，且在EOfr的倍频处存在较明显幅值，裂纹叶片的常值分量相较于健康叶片有明显增大。

图15 考虑多源激励的叶尖振动响应Fig.15 Vibration response of blade tip considering multi-source excitation

3.5 裂纹参数对叶尖振动的影响

上述研究表明，与健康叶片的叶尖弯曲位移频谱图对比，在重力载荷作用下，裂纹导致叶片产生新的常值分量（见图11（c））；在不平衡力作用下，裂纹导致叶片的常值分量增大（见图12（c））；在气动力作用下，裂纹导致叶片产生除激励频率（EOfr）外的其他频率分量，包括常值分量、转频及其倍频分量（见图14（c））；在多源激励作用下，裂纹导致叶片的常值分量增大，且激发了转频的倍频分量（见图15（c））。从上述分析可知，健康叶片与裂纹叶片叶尖弯曲位移的常值分量有较大差异，是评价裂纹程度的潜在指标。实际过程中，不同裂纹会导致结构阻尼不同［24］，为了避免阻尼的影响，本节通过频谱图中的幅值比0fr/1fr（常值分量幅值/转频分量幅值）、0fr/（EOfr）（常值分量幅值/气动激励频率分量幅值）来研究不同裂纹参数对叶尖振动的影响。假设转速为4 600 r/min、轮盘位置处不平衡量ed=1×10-4m、气动力载荷幅值Af=-100 N/m、阶次EO=5、无量纲裂纹位置Lc/Lb=0.1、无量纲裂纹深度hc/hb范围为［0，0.4］。由图16 中可以看出，随着裂纹深度的增大，幅值比0fr/1fr、0fr/（EOfr）均增大。保持其余条件不变，设置无量纲裂纹深度hc/hb=0.2，无量纲裂纹位置Lc/Lb范围为［0.1，0.8］。由图17可以看出，随着裂纹位置的增大（越靠近叶尖），幅值比0fr/1fr、0fr/（EOfr）均减小。上述结果表明，幅值比0fr/1fr、0fr/（EOfr）为评价叶片裂纹的有效指标。

图16 不同量纲裂纹深度下的叶尖弯曲位移幅值比Fig.16 Amplitude ratio of tip bending displacement at different dimensionless crack depths

图17 不同无量纲位置下的叶尖弯曲位移幅值比Fig.17 Amplitude ratio of tip bending displacement at different dimensionless crack locations

4 结 论

1） 基于有限元法，采用梁单元对转轴建模；基于假设模态法，采用Kirchhoff 板理论对轮盘建模，并采用Timoshenko 梁理论对叶片进行建模。考虑叶片裂纹的呼吸效应，建立了转轴-轮盘-裂纹叶片耦合系统动力学模型，并通过对比固有特性和动态响应验证了模型的准确性。

2） 健康叶片中，重力载荷导致叶片产生振动，且叶尖弯曲位移的频率成分为转频；转子不平衡力不会导致叶片产生振动，但是会导致叶片发生静变形，叶尖弯曲位移的频率成分为常值分量；气动力载荷导致叶片振动，叶尖弯曲位移的频率成分仅为气动激励频率。

3） 在旋转状态下，裂纹叶片导致叶尖弯曲位移产生偏移量，即增大了频谱中常值分量；在气动载荷载荷作用下，呼吸裂纹导致叶片发生非线性振动，在转频及其倍频处产生幅值，且在气动激励频率的倍频处有较明显的幅值。

4） 幅值比0fr/1fr、0fr/（EOfr）为评价叶片裂纹的有效指标，随着裂纹深度的增大，0fr/1fr、0fr/（EOfr）均增大；随着裂纹位置的增大（越靠近叶尖），0fr/1fr、0fr/（EOfr）均减小。