逆向思维在初中数学教学中的训练策略

□山东省平度市实验中学 张光辉

数学的本质是思维。在初中数学教学中，教师有必要培养学生的各种思维，其中最为典型的便是逆向思维，是初中学生必不可少的一项能力。其作为创新思维的一种，能突破学生原有的正向思维定势，从反向出发，求索、思考、判断、分析，获得对所思考内容的创新理解；能够让学生掌握从多角度分析并思考知识和问题的方法。基于此，本文阐述了逆向思维的基本内涵，分析了逆向思维在初中数学教学中的训练价值及训练策略，旨在提高学生的思维水准，促进他们学科核心素养的培育及发展。

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》提出数学课程要培养学生的核心素养，主要包括“三会”，其中便涉及了学生“用数学的思维思考现实世界”，这既反映了数学活动的基本特征，也是学生对数学基本思想的感悟和内化结果。在具体教学过程中，教师应该充分发挥数学课程作为“思维的体操”的作用，多维训练学生的思维。逆向思维作为一种反向思维，能让学生突破以往正向思维思考的模式，从逆向角度分析，完成推理与判断，形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，促进他们养成科学的态度及理性精神。因此，初中数学教师要重视逆向思维的训练，于多元化的数学教学活动中支撑学生完成多元思考，为他们核心素养的发展提供有力支撑。

一、逆向思维基本概述

逆向思维是一种反向探索问题的思维方式，具有“反其道而行”的特点。从哲学的角度分析，世界上一切事物都包含了既相互对立又相互统一的两个方面，对立与统一的哲学特性是逆向思维存在的客观基础。从人体认知发展规律的角度分析，如果将原有的思路称为正向思维，那么一切与原有思路相反的都可以称为逆向思维。从这一点便可以看出逆向思维具有创新性，旨在突破传统思考模式的限制，将以往所掌握的、所认知的集结，通过思考、求索的方式，实现对已有认知的创新或颠覆。

逆向思维的本质其实是反向求索，当人们在问题解决、知识思考、道理认知过程中，一旦由原有思维无法突破或者得出更好方案时，便会依据一种原理或者方法的特点对其进行否定或者反向思考，以求取得问题的解决。

逆向思维具有普遍性、批判性及新颖性特征，适用于数学教学的所有教学模块，不管是理论知识的学习还是问题的解决，都可以运用逆向思维，所以它有着普遍性。逆向思维是突破正向思维定势的束缚，否定以往的习惯和经验，形成新的认知模式，所以它有着批判性和质疑性。逆向思维训练的过程就是让学生尝试从不同的方面分析并解读知识，达成问题的解决，让学生立足事物的多面属性，从不同的角度出发，克服循规蹈矩的思维障碍，所以它有着一定的创新性。

二、逆向思维在初中数学教学中的训练价值

（一）有利于推进学生质疑思辨

逆向思维在初中数学教学中的训练，有利于推进学生质疑思辨。《义务教育数学课程标准（2022 年版）》在“四能”中指出了学生要发现问题、提出问题、分析问题并解决问题。“四能”与学生核心素养的“三会”环环相扣，发现、提出、分析与解决问题的过程便是学生用数学眼光、思维、语言完成对现实世界观察、思考与表达的过程。这样的过程让学生经历质疑、思辨，促进他们对所学知识点及问题进行深入研究。逆向思维在这一过程中起到了十分重要的作用，不管是最开始的发现问题还是最后的解决问题，都需要学生突破思维定势，从不同的角度思考、分析问题，经历数学“再发现”的过程，持续增强质疑问难的批判性思维，促进了学生的深远发展。

（二）有利于拓宽学生解题思路

逆向思维在初中数学教学中的训练，能够拓宽学生的解题思路。多数学生在解题的时候，基本上采取的是正向思考的方式，往往很难快速找到解决问题的思路或者以正向思考方式展开的解题过程比较复杂。教师训练学生的逆向思维，能让学生开阔问题思考的视角、简化问题解决的过程、降低问题解决的难度，使他们能够在不断的训练中转变正向思维思考的定势，学会转变思维方法，从提升思维能力及问题分析和解决能力出发完成解题活动，创新、探索更为多元的解题思路。以倒推或质疑的态度重新解决问题，敢于反其道而行，使自身的思维得以朝着不同的方向发展，多角度、多方面更新维度。这样便让学生以辩证客观的态度分析数学问题，获得更为深层的感悟与体会，为他们后续更为全面的发展奠定基础。

（三）有利于培养学生创新能力

逆向思维在初中数学教学中的训练，有利于培养学生的创新能力。数学课程有着极强的抽象性，其中涉及了大量的数学公式与理论知识，学生理解起来比较困难。逆向思维的训练能够让学生突破传统模式的局限，探寻知识理解的新方式，启发他们多元思考，能以更为新颖的视角理解知识内容，逐渐获得更为丰富且新颖的学习体验与理解深度，使学生的创新思维得到不断深化。在具体的学习实践中，学生也将逐渐形成大胆假设、小心求证的能力，转变传统生搬硬套、死记硬背等被动式的学习模式，避免思维僵化，整体提升了创新能力。

三、逆向思维在初中数学教学中的训练策略

（一）以问题驱动逆向思考，实现质疑思辨

古人有云：“不愤不启、不悱不发。”由此可见，质疑思辨尤为重要。在训练学生逆向思维的过程中，教师应引领学生质疑思辨，通过问题的设计，引发学生的思维冲突。学生将在思维的冲突处找到逆向思考的切入点，以某一个知识引发对其他知识的思考，增强迁移运用效能。同时，学生根据自己的理解产生新的思考，提出不同的见解，于动态生成的思维课堂中实现正逆思维的融会贯通，引发更多的质疑思辨。

以北师大版八年级下册第一章第三节《线段的垂直平分线》进行为例，课程教学的重点是让学生证明线段垂直平分线的性质定理及判定定理，在理解的基础上学会用性质定理及判定定理进行相关的证明与计算。在具体的教学中，教师应该重视以问题来引导学生参与定理求证的过程，同时在求证过程中产生更多思考，获得对该知识点的深层理解。依据学生参与知识生成的过程，教师设计的问题也要具有层次性，具体步骤如下：

1.问题引领知识生成。

教师可以让学生在A4 纸上任意画一条线段AB，利用尺规作出这一条线段的垂直平分线，在垂直平分线上任意选取一点C，连接CA、CB。随即思考以下问题：

问题一：沿垂直平分线对折，CA、CB 存有何种数量关系呢？

问题二：是否可以用一句话描述自己操作过程中所得的结论？

学生结合课本教材，尝试得出结论：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等。在学生得出结论之后，教师可以反问学生：这个结论成立吗？你能证明吗？用问题让学生聚焦结论完成反证，于知识生成的过程中激活逆向思维。

2.问题驱动知识深究。

在引领学生得到线段垂直平分线的性质之后，教师可以借助“逆命题的探索”持续深化学生的逆向思考。具体而言，教师可以向学生抛出这样一个问题：“在学习每一个命题时，我们都要探索它的逆命题是否也成立，这样能帮助我们掌握性质定理。那么同学们是否可以写出这一性质的逆命题呢？这一逆命题是否成立？”在写“线段垂直平分线性质的逆命题”时，学生将经历多维逆向思考的过程。以往学生都是正向思考，现在要通过写逆命题的方式进行逆向思考，这能够突破传统思维的束缚。学生从逆命题的内涵（逆命题与原命题题设和结论相反）找出这一性质的结论（点在线段垂直平分线上）与题设（该点与线段两个端点的距离相等），而后将结论与题设连起来，写出逆命题：与线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。在写出逆命题之后，学生需要继续依据所学知识完成对逆命题的求证，让逆向思考持续生发。

教师经过以上两个环节的问题引领与驱动，让学生的逆向思维得到训练。在学生掌握知识点之后，教师可以让学生讨论交流，说出自己对本节知识的思考、质疑。比如，有的学生根据刚才的证明方法，提出“在作垂直平分线时，我们只需要在线段外找到一个与该线段两个端点距离相等的点是否就可以了？”提出这一思考后，其他学生也根据自己的理解，继续说出自己的想法，如：“必须经过这个点作垂线”“只需要找到与线段两个端点距离相等的两个点就可以作垂直平分线了。”不同的学生提出了不同的质疑，教师便可以让他们自主探究，证明自己的质疑，激发思辨，使逆向思维在课堂上得以生成。

（二）以逆向思维多元解题，拓宽解题思路

在训练学生逆向思维时，教师应该引领学生以逆向思维多元解题，拓宽解题思路，打破传统以正向思维解题的桎梏，使学生在解题中能受到潜移默化的熏陶，掌握逆向思考的方法，为他们高质、高效的问题解答奠定坚实基础。同时，教师还需要引导学生在解答过程中进行反思，对比正逆思维分析问题的异同，以辩证客观的理念认知逆向思维解题的价值。

1.执果索因。

执果索因比起由因导果的问题解决方式能让证明题更为简单，只需要将结论作为切入点，思路朝着已知条件靠拢，以“要证明A 只需要证明B”的方式完成解决。于正逆对比中找出其中的联系与差异，能整体拓宽学生的解题思路，以北师大版九年级上册第四章第五节《相似三角形判定定理的证明》进行为例，教师可以为学生出示一道比较典型的证明题，指导学生使用执果索因的方法完成求证。如下：

如图1 所示，点D、E 是三角形ABC 边AB、AC上的点，∠ADE=∠ACB，求证AD·AB=AE·AC。

图1

教师需要引领学生从“AD·AB=AE·AC”这一求证结论出发进行变形，明确要求AD·AB=AE·AC只需要使。结合这一变形，学生可以联结相似三角形对应边成比例的知识点，证明△ADE 与△ACB相似，便可以从对应边成比例的关系出发得出以此完成求证。

2.正难则反。

正难则反几乎适用于所有解题内容，在否定结论更加明显、具体或直接证明结论难以下手时，就要改变思考方向，运用反证法，让问题迎刃而解。教师需要让学生掌握反证法的关键（否定结论），引领学生总结题目中关键词的常见否定形式，而后完成解题。以北师大版八年级上册第七章《平行线的判定》进行为例，教师可以为学生出示以下例题：

如图2 所示，四边形ABCD 中，M、N 分别是AB、CD 的中点，且，求证：AD ∥BC。

图2

这道题给出的信息很难从正向出发求证，也很难从结论出发求证，因此教师可以让学生假设AD、BC不平行，结合已知条件，先证明，得出，再证明“MP+PN ＞MN”，顺势得出，与原式矛盾，就此反证得出AD、BC 不平行不成立，进而完成求证。

（三）以双向思考拓宽维度，全面理解知识

在训练学生逆向思维时，教师要注重引领学生双向思考，拓宽思索维度，让学生更为全面地理解所学知识。逆向思维的培养与训练并不代表要摒弃正向思考的模式，正逆融通才能让学生的思考视角更为广阔，才能避免出现狭隘的思考模式。所以，教师要引领学生双向思考，促进他们更为全面、深刻地理解所学知识。

以北师大版七年级上册第二章第一节《有理数》进行为例，学生需要重点理解有理数的概念，因此教师可以先从正向思考的视角出发，为学生出示一些具有代表性的数字，如等，让学生根据这些数字并结合已有认知基础，总结出“有理数就是整数和分数的统称”。然后，教师从反向思考的视角出发，让学生结合“有理数”的概念表述“无理数”的概念。以此，学生便将根据已经推导出来的概念进行逆向思维反推，以此得出无理数的概念为“无限不循环的小数、无法写作两正数之比的数”。这样一来，学生便经历了正逆思考的过程，思维更为发散，对正逆思维的认知也更为具象。在后续的学习中，学生能够学会从双向思考的视角完成知识点理解与分析，在双向多维思考中产生对知识点的创造性理解，提升创新能力。

四、结语

综上所述，逆向思维作为与正向思维相对应的一种模式，对学生的课程学习有着极大助力。在新课标背景下，初中数学教师应该明白“会用数学的思维思考现实世界”是培养学生核心素养的重要方式之一，要重视对学生思维的训练。教师要从意识理念层面清晰认知逆向思维对学生提供的助力，采取有效的策略，优化逆向思维的训练模式。教师可以通过以问题驱动逆向思考、以逆向思维多元解题、以双向思考拓宽维度等方式，帮助学生实现质疑思辨、拓宽解题思路、全面理解知识，持续优化学生学习的全过程，突出他们的主体地位，推进学生学科核心素养的发展。