考虑PWM波形特征的纳米晶磁心损耗模型的研究及验证

赵志刚 贾慧杰 刘朝阳 赵安琪 高鹏旭

考虑PWM波形特征的纳米晶磁心损耗模型的研究及验证

赵志刚1,2贾慧杰1,2刘朝阳1,2赵安琪1,2高鹏旭1,2

（1. 省部共建电工装备可靠性与智能化国家重点实验室（河北工业大学） 天津 300401 2. 河北省电磁场与电器可靠性重点实验室（河北工业大学） 天津 300401）

磁心损耗精确预测对于电力电子变压器的优化设计至关重要。然而，传统的磁心损耗模型在复杂激励下适用性较差，尤其对于占空比可调、高次谐波含量丰富的PWM波磁心损耗预测，计算精度显著下降。基于Jordan损耗分离模型，建立了一种考虑PWM波形特征的磁心损耗计算方法。首先，该方法根据激励波形特征，推导出相应的波形系数及等效频率来计算PWM波激励下的动态涡流损耗，将Jordan模型的适用范围从正弦拓展到PWM波激励下的磁心损耗计算；然后，分析了不同占空比激励下激励波形有效频率及高次谐波含量变化对损耗系数的影响，并对其进行数学表征，实现了整个占空比范围内磁心损耗的精确预测；最后，搭建了高频非正弦激励下软磁材料磁特性测量平台，针对1K107B纳米晶材料，测量了两种典型PWM波激励下的损耗数据。实验结果表明，所建立的磁心损耗模型具有较高的计算精度，相比于传统的Steinmetz改进公式，整体精度提高了25%。

纳米晶 磁心损耗 PWM波形特征 Jordan模型

0 引言

近年来，随着电力电子技术的快速发展以及智能电网和能源互联网发展的需要，纳米晶材料以其高磁导率、高磁通密度、低矫顽力等优点，在电力电子变压器中得到了广泛的应用[1-2]。磁性元件是电力电子变压器的重要组成部分，起着电气隔离、电压变换和能量传输等关键作用[3-4]。然而，随着电力电子变压器的高频化和小型化，磁性元件通常工作在占空比可调、高次谐波含量丰富的PWM波激励之下，相比于正弦波，PWM波所产生的磁心损耗显著增加，严重影响电力电子变压器的可靠性和使用寿命。因此，研究PWM波激励下纳米晶材料的磁心损耗，建立相应的损耗预测模型，对电力电子变压器的效率计算、绝缘材料的选择及温升预测等优化设计方面具有重要意义。

近几十年来，国内外专家学者对铁磁材料的损耗特性进行了广泛而深入的研究。目前，针对正弦激励下的损耗计算方法主要可分为以下三类： ①Steinmetz经验公式法；②损耗分离法；③磁滞模型法[5]。磁滞模型法基于微观磁化物理机制模拟铁磁材料的磁滞回线，具有较高的计算精度，但模型参数辨识过程复杂，并不适用于实际工程计算。因此，经验公式法和损耗分离法的非正弦修正公式广泛应用于实际工程中的磁心损耗预测。

经验公式法将总磁心损耗表征为与激励频率和磁通密度峰值有关的函数，在正弦激励下具有较高的计算精度，但物理意义不明确，在非正弦激励下的计算精度较差。基于经验公式的修正模型主要有考虑磁感应强度变化率d/d的修正Steinmetz式（Modified Steinmetz Equation, MSE）[6]、考虑磁通密度瞬时值()的广义Steinmetz式（Generalized Steinmetz Equation, GSE）[7]、考虑磁通密度峰峰值D的改进广义Steinmetz式（Improved Generalized Steinmetz Equation, IGSE）[8]及考虑磁通密度波形特征的波形系数Steinmetz式（Waveform Coefficient Steinmetz Equation, WCSE）[9]。Steinmetz改进公式从磁感应强度变化率d/d、磁通密度瞬时值()、磁通密度峰峰值D这几个层面考虑了非正弦激励与正弦激励磁化过程的区别，这些变量的引入提高了Steinmetz经验公式在非正弦激励下的计算精度。为验证上述方法在非正弦激励下的有效性，国内外学者进行了大量的研究。文献[10]发现在基波叠加单次谐波的非正弦激励工况下，IGSE公式具有较高的计算精度。文献[11-15]相继对MSE、IGSE、WCSE在方波、矩形波、三角波等高频非正弦激励下的计算精度进行研究。结果表明，基于Steinmetz改进公式无法精确表征激励波形特征对动态涡流损耗的影响，在高频非正弦激励下的磁心损耗预测中出现较大误差。文献[16]将复合波形假设理论[17]和波形系数法相结合，提出了改进Steinmetz经验公式（Improved Steinmetz Equation, ISE）。该方法将PWM波所产生的损耗表示为两部分，分别采用频率和占空比表示每部分的波形系数，但损耗系数受频率和占空比的影响较大，故该模型仅适用于特定频率范围内的磁心损耗预测。文献[18]对WCSE计算公式进行改进，考虑了磁感应强度变化率对磁心损耗的影响，使其适用于矩形波激励下的损耗计算，但无法考虑极端占空比下高次谐波含量增多对磁心损耗的影响。

相比于Steinmetz经验公式，损耗分离法基于铁磁材料损耗产生的机理，将磁心损耗分解为磁滞损耗、涡流损耗和剩余损耗，具有明确的物理意义。继损耗分离法提出之后，M. Amar[19]、A. Boglietti[20]和E. Barbisio[21]在该方法的基础上，分别提出了各自的非正弦磁心损耗计算方法。文献[22]推导出三种方法在标准方波和三角波激励下的损耗计算公式，并进行实验验证。实验结果表明，文献[19]的时域算法计算精度最高，频域算法文献[20-21]在非正弦激励下不具备良好的计算精度。文献[23]根据PWM波形特征对文献[20]损耗分离模型进行改进，实现了在PWM波形激励下的损耗计算，但仅对硅钢片材料在较低频率范围内进行了实验验证，并且模型参数较多，辨识过程复杂。

通过以上分析可以发现，现有的磁心损耗计算方法存在以下几点问题：①仅在特定激励波形下具有较高的计算精度，不具备通用性；②模型参数受频率影响严重，辨识过程复杂；③未考虑PWM波激励在不同占空比下激励波形有效频率及高次谐波含量变化对磁心损耗的影响。为解决上述问题，本文基于Jordan损耗分离模型，提出采用波形系数和等效频率法将其扩展到PWM波激励下的损耗计算；并且考虑了不同占空比激励下激励波形有效频率及高次谐波含量变化对损耗系数的影响，实现了整个占空比范围内磁心损耗的精确预测。搭建了基于全桥逆变电路的高频非正弦软磁材料磁特性测量平台，测量了材料为1K107B纳米晶磁环在不同占空比方波和矩形波激励下的损耗数据。实验结果表明，本文所建立磁心损耗模型的计算精度和适用范围都要优于Steinmetz改进公式，更适用于PWM波激励下的磁心损耗计算。

1 磁心损耗计算方法

1.1 Steinmetz经验公式

经验公式法是1892年由Steinmetz提出的磁心损耗工程计算方法，该方法将总磁心损耗表征为与材料参数、激励频率、磁通密度峰值有关的函数，即

式中，m为磁通密度峰值；为激励频率；、、为正弦激励下的Steinmetz参数，为材料参数，为频率指数，为磁通密度指数。

1.2 Jordan损耗分离模型

Steinmetz经验法仅通过一个经验公式来表征磁心损耗，物理意义不明确。为解决该问题，Bertotti基于磁心损耗产生机理，将正弦激励下的磁心损耗分解为磁滞损耗、涡流损耗和剩余损耗。在高频激励下，经典涡流损耗占主导，由磁畴壁弯曲所导致的剩余涡流损耗可忽略不计，此时三项式损耗分离模型可简化为Jordan模型[24]，即

式中，h、e分别为静态磁滞损耗系数和动态涡流损耗系数。

1.3 IGSE公式

上述两种经验方法仅适用于正弦激励下的磁心损耗计算，在方波、矩形波、梯形波等非正弦激励下的计算精度显著下降。为解决该问题，一系列基于Steinmetz经验公式的改进公式相继提出。其中，IGSE公式的计算精度和适用范围都具有明显的优势，广泛应用于非正弦激励下的磁心损耗计算。该公式考虑了磁感应强度变化率及磁化历史对磁心损耗的影响，将磁感应强度变化率及磁通密度峰峰值作为变量引入Steinmetz公式，其表达式为

式中，i、、为Steinmetz参数；d/d为磁感应强度变化率；D为磁通密度峰峰值。相比于其他Steinmetz改进公式，IGSE适用于含局部小磁滞回环激励下的磁心损耗计算。

Steinmetz改进模型虽可用于非正弦激励下的磁心损耗计算，但存在以下不足：①物理意义不明确；②模型参数大多通过实验数据拟合得到，仅在有限的频率和磁通密度范围内适用；③对于非正弦激励下的磁心损耗计算，忽略了静态磁滞损耗与激励波形无关的性质[25]。

2 考虑PWM波形特征的磁心损耗模型

根据1.3节分析可知，Steinmetz参数仅在有限的频率范围内适用，然而，PWM波的有效频率随着占空比的改变而改变，若仍使用原始的参数将会造成较大的误差。除此之外，由于Steinmetz改进公式忽略了静态磁滞损耗与激励波形无关的性质，导致其无法精确考虑PWM激励波形特征对动态涡流损耗的影响。相比于Steinmetz经验公式，Jordan损耗分离模型将正弦激励下的磁心损耗分解为静态磁滞损耗和动态涡流损耗，物理意义明确。因此，本文基于Jordan损耗分离模型，建立了一种可计及PWM波形特征的磁心损耗计算方法。

2.1 标准方波磁心损耗计算模型

在电力电子变压器中，磁性元件的激励波形主要是以方波为基础的PWM波，因此，标准方波磁心损耗的精确预测是计算PWM波激励下磁心损耗的首要任务。

本文将标准方波激励下引起的动态涡流损耗与磁感应强度波形相关联，提出采用波形系数来计算标准方波激励下的磁心损耗。单位周期内正弦和方波的电压及磁感应强度波形如图1所示。

单位周期内铁磁材料所产生的磁滞损耗仅与磁通密度峰值有关，与激励波形无关[25]。因此，当磁通密度峰值相等时，单位周期内正弦波与标准方波所产生的静态磁滞损耗相同，所产生的动态涡流损耗可表示为正弦激励下所产生动态涡流损耗与波形系数的乘积。定义为一个周期内非正弦激励下磁感应强度波形与轴所围成面积与正弦下的比值。

图1 正弦波和方波激励下电压和磁感应强度波形

正弦波激励下磁感应强度波形与轴围成的面积为

方波激励下磁感应强度波形与轴围成的面 积为

由式（5）和式（6）可得标准方波激励下的波形系数为

由上述公式可得标准方波激励下的磁心损耗计算表达式为

2.2 PWM波磁心损耗计算模型

2.1小节中的式（8）虽可用于标准方波激励下的磁心损耗计算，但其无法考虑PWM波占空比的改变所造成d/d变化对动态涡流损耗的影响。因此，在该模型的基础上，提出采用加权平均法计算PWM波激励下磁感应强度的平均变化率来考虑PWM波形特征对动态涡流损耗的影响。若磁感应强度波形已知，则该波形的加权平均磁感应强度变化率为

式中，(--1)/(max-min)为权重因子，max、min分别为一个磁化周期内磁感应强度的最大值和最小值。式（9）的积分形式可表示为

方波激励下磁感应强度波形的函数表达式为

将式（11）代入式（10）中可求得标准方波激励下的加权平均磁感应强度变化率为

将PWM波激励下的加权平均磁感应强度变化率与标准方波激励下的进行对比，即可推导出相应的等效频率表达式为

式（13）的积分形式为

由式（14）可知，PWM波形的等效频率随d/d的变化而变化，即占空比的改变将导致PWM波形的等效频率发生变化。如占空比可调的矩形波和方波激励，其电压和磁感应强度波形如图2所示，当占空比=0.1时，其等效频率分别为基础频率的10倍和2.77倍。当激励电压的等效频率较高时，趋肤效应将造成铁磁材料内部磁通密度非均匀分布，此时若采用原始拟合参数将导致理论计算值高于实际测量值。除此之外，占空比变化还将导致PWM波形中高次谐波含量发生改变，图3为不同占空比矩形波和方波激励下电流波形的总谐波畸变率（Total Harmonic Distortion, THD）。从图3中可以直观地看出，对于方波激励，当占空比=0.5时，电流波形总谐波畸变率最小，随着占空比的增加或减小，总谐波畸变率逐渐增加，此时原始的损耗系数将不适用于极端占空比下的损耗计算。综上所述，需要考虑占空比变化对模型损耗系数的影响。

图2 两种典型激励电压波形及磁感应强度波形

为解决该问题，本文通过引入损耗校正系数来表征不同占空比下损耗与频率之间的非线性关系。指数项对损耗系数的影响随等效频率的增大而逐渐增加，很好地描述了不同占空比方波激励下有效频率以及谐波含量变化对损耗系数的影响。因此，PWM波激励下通用的磁心损耗计算模型为

本文以占空比可调的矩形波和方波激励为研究对象，推导出所建立磁心损耗模型的解析表达式，其在一个周期内的磁感应强度变化率分别为

式中，为激励波形的占空比；m为磁通密度峰值。将式（16）和式（17）代入式（14）中可求得不同占空比矩形波和方波激励下的等效频率分别为

将式（18）和式（19）代入式（15）中，可得到不同占空比矩形波和方波的磁心损耗计算公式分别为

将式（15）和式（16）代入文献[26]所给出的Steinmetz改进公式中，可推导出不同占空比方波和矩形波激励下的MSE、IGSE、WCSE的磁心损耗计算公式，见表1。

表1 非正弦激励下磁心损耗计算表达式

Tab.1 Expression for calculating core loss under non-sinusoidal excitation

2.3 模型参数辨识

本文采用软磁材料交流磁特性测量系统，测量得到了纳米晶1K107B环形样件在频率为1～25 kHz，磁通密度峰值为0.1～1.2 T范围内的正弦损耗数据，如图4所示。利用实验测得数据可拟合出Steinmetz经验公式的参数，见表2。实验所用纳米晶1K107B环形样件的尺寸为外径40 mm，内径32 mm，叠片厚度为0.022 mm，磁心为带绕。

图4 1K107B不同频率下的磁心损耗

表2 Steinmetz经验公式拟合参数

Tab.2 Fitting parameters of Steinmetz's empirical formula

为实现静态磁滞损耗和动态涡流损耗较为准确的分离，需通过以下步骤辨识所建立的损耗模型参数。首先，采用二频率法计算出不同激励频率下的磁滞损耗，进而得到相应的磁滞损耗参数，计算公式[27]为

动态涡流损耗系数e通过实验测得不同频率下的磁心损耗减去由二频率法计算得到的磁滞损耗后进行拟合得到。为考虑不同占空比激励下谐波含量和有效频率变化对损耗参数的影响，还需测量一组不同占空比激励下的损耗数据来辨识参数，所建立模型的参数见表3。

表3 修正模型参数

Tab.3 Modified model parameters

将上述参数代入表1中的公式中，就可以计算不同占空比方波和矩形波激励下的磁心损耗。

3 PWM波激励下磁心损耗测量及验证

3.1 实验平台搭建

为验证2.2节所建立PWM波磁心损耗计算模型的可行性，搭建了基于碳化硅元器件的高频非正弦软磁材料磁特性测量平台，如图5所示。直流电源经过DSP控制的逆变电路产生本文所分析的两种PWM激励波形，频率为5～25 kHz。一次侧的隔直电容起着消除直流分量和维持输出电压稳定的作用。

图5 非正弦实验测试系统及实验平台

通过功率分析仪采集一次电流1()和二次电压2()的波形数据，利用法拉第电磁感应定律和安培环路定律计算出相应的磁感应强度及磁场强度，计算公式为

式中，1为一次绕组匝数；2为二次绕组匝数；为磁心有效截面积；e为磁心有效磁路长度。

需要指出的是，当环形样件的内外径之比大于1.1时，其内部磁通密度非均匀分布将会对损耗测量造成影响。此时，需对环形样件的等效磁路长度进行修正，修正公式[28]为

单位体积所产生的总损耗为

（26）

本文利用所搭建的高频非正弦软磁材料磁特性测量平台，对1K107B的纳米晶磁心进行空载实验，测量了频率为5～25 kHz，磁通密度为0.1～1.1 T范围内不同占空比（0.1～0.9）方波和矩形波激励下的磁心损耗。

3.2 PWM波激励下损耗计算结果对比

标准方波损耗模型的准确建立是计算PWM波激励下磁心损耗的基础，因此，本文首先验证了所建立磁心损耗模型在标准方波激励下的预测精度。在Steinmetz改进公式中，WCSE公式形式简单，且在标准方波激励下具有较高的计算精度，故将本文所建立的磁心损耗模型和WCSE的计算值与实验值进行对比，对比结果如图6所示。由图6可知，WCSE公式的磁心损耗计算值低于实验值，这主要是由于WCSE公式忽略了静态磁滞损耗与激励波形无关的性质所造成的。而本文所建立的损耗模型采用二频率法将磁心损耗分为静态磁滞损耗和动态涡流损耗，并采用波形系数来计算高频方波激励下的动态涡流损耗，解决了WCSE公式存在的问题，在保证计算简便的前提下提高了计算精度。

图6 不同频率方波激励下损耗计算结果对比

为验证所建立磁心损耗模型在PWM波激励下的计算精度，本文将不同占空比方波和矩形波激励下的损耗测量值与计算值进行对比。图7为1K107B在20 kHz时，不同占空比、不同磁通密度矩形波激励下损耗计算值与实验值的结果对比，由图7可知，计算值与实验值基本吻合。1K107B在频率为25 kHz、占空比=0.5时不同磁通密度下损耗结果对比如图8所示。由图8可知，在整个磁通密度范围内，MSE和IGSE在矩形波激励下的损耗计算结果基本相同，且都低于实验测量结果，从侧面反映出基于Steinmetz改进公式不再适用于PWM波激励下的磁心损耗计算；由于Steinmetz原始参数仅在有限的磁通密度范围内适用，造成MSE、IGSE和WCSE公式在宽磁通密度范围内计算精度较差。本文所建立的损耗预测模型采用二频率法分别辨识静态磁滞损耗和动态涡流损耗参数，拓展了原始参数的适用范围，虽然由于铁磁材料的非线性特征导致在较大磁通密度时出现误差增大的情况，但整体计算误差仍在10%左右。

图7 1K107B在20 kHz矩形波激励下损耗预测结果

图9为1K107B在20 kHz、磁通密度峰值m= 0.4 T时不同占空比矩形波激励下的损耗结果对比。由图9可知，当占空比减小时，磁感应强度变化率增加造成磁心损耗急剧增加。虽然Steinmetz改进公式MSE和IGSE都考虑了磁感应强度变化率对磁心损耗的影响，但忽略了静态磁滞损耗与激励波形特征无关的特性，以及采用原始拟合系数仅在一定频率范围内适用，造成计算结果严重低于实验测量结果。WCSE公式没有考虑磁感应强度变化率对磁心损耗的影响，平均相对计算误差高达50%，不再适用于不同占空比矩形波激励下的损耗计算。本文所建立的磁心损耗模型实现了静态磁滞损耗和动态涡流损耗的分离，仅考虑了磁感应强度变化率对动态涡流损耗的影响，并且将不同占空比下激励波形中谐波含量及有效频率变化对磁心损耗的影响进行数学表征，实现了整个占空比范围内磁心损耗的精确预测。

图9 1K107B在20 kHz和Bm=0.4 T时矩形波激励下损耗结果对比

图10为1K107B在20 kHz时，不同占空比、不同磁通密度不对称方波激励下损耗预测值与实验值的对比结果，由图10中可知，在整个磁通密度范围内，所建立的磁心损耗模型在不对称方波的损耗计算中具有较高的精度。图11为1K107B在频率为25 kHz，占空比=0.2时不同磁通密度下的损耗结果对比。由于WCSE公式不能考虑磁感应强度变化率对磁心损耗的影响，故在整个磁通密度范围内计算误差最大。相比于WCSE公式，MSE和IGSE计算精度有所提高，但由于考虑了磁感应强度变化率对静态磁滞损耗的影响，造成计算结果低于实验结果。本文所建立的磁心损耗预测模型，在整个磁通密度范围内，其计算值与实验测量值相差很小，这也说明所建立损耗预测模型要优于Steinmetz改进公式。

图10 1K107B在20 kHz方波激励下损耗预测结果

图11 1K107B在25 kHz和D=0.2时方波激励下损耗结果对比

图12是频率为20 kHz、磁通密度为0.4 T时不同占空比方波激励下的损耗对比。由图12可知，对于不对称方波而言，其所产生的磁心损耗随着占空比的变化呈现U型分布，当占空比接近0.5时，激励波形的等效频率和谐波含量最小，故所产生的磁心损耗最低。本文所建立的损耗计算模型推导出不同占空比方波激励下的等效频率来考虑了正负半周期磁感应强度变化率不同对磁心损耗的影响，克服了传统Steinmetz改进模型的缺陷。由图12可知，修正模型的计算值与实际结果相吻合，由此可以验证所建立损耗计算模型对于不对称方波激励下磁心损耗预测的准确性。

图12 1K107B在20 kHz和Bm=0.4 T时方波激励下损耗结果对比

为了进一步验证所提出损耗预测模型的计算精度，分别将MSE、IGSE和WCSE在不同占空比的计算值与实验测量值进行误差分析，对比结果如图13所示。图13为1K107B在方波和矩形波激励下各种修正公式的计算平均误差，由图13可知，WCSE 的平均误差最大、MSE较大、IGSE次之、本文所建立的损耗预测模型误差最小，平均误差均在 10%左右，在不同占空比下具有较好的精度和稳定性，验证了本文所建立模型的普遍适用性和计算准确性。

图13 1K107B在矩形波和方波激励下的损耗误差对比

4 结论

1）本文基于Jordan模型，从损耗产生的机理出发，考虑了PWM波形特征对动态涡流损耗的影响，将Jordan损耗分离模型拓展到PWM波激励下的磁心损耗计算。

2）分析了不同占空比激励下激励波形有效频率及高次谐波含量变化对损耗系数的影响，并对其进行数学表征，实现了整个占空比范围内磁心损耗的精确预测。

3）搭建了高频非正弦软磁材料磁特性测量平台，测量了1K107B纳米晶材料磁环在两种典型PWM波形激励下的损耗数据。将本文所建立模型的计算值与实验值进行对比，验证了该模型的准确性和适用性，相比于Steinmetz改进公式，整体准确度提高了25%。

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Research and Verification of Nanocrystalline Core Loss Model Considering PWM Waveform Characteristics

1,21,21,21,21,2

（1. State Key Laboratory of Reliability and Intelligence of Electrical Equipment Hebei University of Technology Tianjin 300401 China 2. Key Laboratory of Electromagnetic Field and Electrical Apparatus Reliability of Hebei Province Hebei University of Technology Tianjin 300401 China）

As an important component of the total loss, accurate prediction of core loss is essential for the optimal design of power electronic transformers,. However, the traditional core loss model has the following problems. (1) It has high calculation accuracy only under the specific excitation waveform and is not universal. (2) The model parameters are seriously affected by frequency, and the identification process is complicated. (3) The effect of the change of the effective frequency of the excitation waveform and the high harmonic content on the core loss under different duty cycles is not considered. As a result, the traditional loss model has poor applicability under complex excitation, especially for PWM wave core loss prediction with adjustable duty cycle and rich high harmonic content, and the calculation accuracy is significantly reduced.

The Jordan loss separation model decomposes the core loss under sinusoidal excitation into static hysteresis loss and dynamic eddy current loss, which has the advantages of clear physical meaning and few parameters. In this paper, based on the Jordan loss separation model, a core loss calculation method that can take into account the PWM waveform characteristics is established. Based on the core loss measurement data under sinusoidal excitation, the two-frequency method is used to identify the loss parameters of the Jordan model. Then, according to the excitation waveform characteristics, the corresponding waveform coefficients and the weighted average magnetic induction intensity change rate are derived to calculate the dynamic eddy current loss under PWM wave excitation. The applicability of the Jordan model is extended from sine to core loss calculation under PWM wave excitation. The influence of the effective frequency and high harmonic content on the loss coefficient is analyzed under different duty cycle excitations. Finally, a platform is built to measure the magnetic properties of soft magnetic materials under high-frequency non-sinusoidal excitation. The calculated values of the high-frequency core loss model established in this paper are compared with the experimental values to verify the model. The overall calculation accuracy is improved by 25% compared with the improved Steinmetz formula.

Nanocrystalline, core loss, PWM waveform characteristics, Jordan model

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.222174

TM271

国家自然科学基金项目（51677052, 52077053）和河北省人才工程培养项目（A201902009）资助。

2022-11-17

2022-12-19

赵志刚 男，1981年生，教授，博士生导师，主要从事电工磁材料磁性能模拟与工程电磁场数值仿真及应用方面研究工作。E-mail: zhaozhigang@hebut.edu.cn

贾慧杰 男，1999年生，硕士研究生，主要研究方向为电工磁材料磁性能模拟与工程电磁场数值仿真及应用。E-mail: jiahuijie2@163.com（通信作者）

（编辑 郭丽军）