基于格林函数正交各向异性切口板自由振动特性分析

杨永育,李腾岳,程长征,赵 航,葛仁余

(1.安徽工程大学 力学重点实验室,安徽 芜湖 241000; 2.合肥工业大学 土木与水利工程学院,合肥 230000)

板壳作为工程结构构件基本单元,由于其自身结构小阻尼、低频模态密集的振动特性,其固有振动特性分析尤为重要。其中正交异性板因重量轻、承载能力强、施工周期短等优点而被广泛运用。另一方面,由于功能需求、加工工艺限制等原因,存在大量含有拐角的构件,如汽车的后壳、飞机的尾翼等。由于切口会导致局部纤维切断,降低了其刚度和强度。因此,对正交各向异性切口板的振动特性研究具有重要的工程意义。

近年来,板壳结构的自由振动问题取得了一系列的成果[1-3]。Yin等[4]和Yu等[5]分别基于经典薄板理论和一阶剪切板理论,利用等几何分析研究了切口复合材料板的屈曲和自由振动问题。张俊等[6]基于Rayleigh-Ritz法研究了含多开口孔矩形板的自由振动性能。Kwak等[7]利用独立坐标耦合法,研究了含矩形孔板的振动问题。Sakiyama等[8]将孔视为等效板的极薄部分,延伸出一种近似方法分析了方孔板的自由振动问题。McGee等[9]利用Ritz法结合切口特征角函数研究了扇形切口板的自由振动问题。对于正交各向异性板的自由振动问题,Xing等[10]提出一种新的分离变量法,给出了固支或简支边界条件下的正交矩形薄板自由振动的精确解。Thai等[11]通过将状态空间法应用于Levy等式,得到了正交矩形板自由振动的闭式解。Papkov等[12]提出了一种基于强叠加的新方法,获得了矩形正交各向异性板自由振动的精确解。虽然对于一些简单的完整矩形正交板存在精确解,但是对于一些含裂纹、孔口或切口模型,其振动分析相对复杂,则需要寻求数值解。对于含切口结构的正交各向异性板,相关研究鲜有报道。

格林函数法是研究结构动力学问题的一种高效方法。Kukla等[13]利用格林函数法研究了轴对称环形板的自由振动问题。Zur[14]基于格林函数法分析了弹性边界条件下钻柱系统的振动特性。Fan等[15]基于格林函数法研究了弹性支撑功能梯度环形板的自由振动问题。另一方面,近场动力学(peridynamics,PD)作为一种基于空间非局部积分思想分析固体力学问题的新理论,受到计算力学领域相关学者们的广泛关注[16-17]。最近,Madenci等[18-19]基于PD非局部相互作用的思想,提出近场动力学微分算子(peridynamic differential operator,PDDO)的概念,便于将局部微分转化为非局部积分形式。李志远等[20]基于微分算子提出一种用于变截面梁动力特性分析的非局部方法。周保良等[21]利用微分算子建立了正交各向异性板热传导的非局部模型。

本文尝试基于格林函数法结合近场动力学微分算子,提出一种分析正交各向异性V形切口板的自由振动特性的数值分析方法。通过格林函数将振动控制方程中的四阶位移函数转化为积分形式,利用近场动力学微分算子构造插值函数,建立切口板自由振动的广义特征方程,求解了正交各向异性V形切口板的无量纲化自由振动频率以及振型,通过与有限元结果对比验证了本文方法的准确性,并分析了V形切口几何参数对切口板自由振动特性的影响。

1 正交各向异性切口板自由振动控制方程

如图1所示正交各向异性V形切口板,其中O是圆心,x轴为正交各向异性材料的主方向,切口关于主轴方向对称,圆的半径为a,板的厚度为h,切口开口角度为α,切口内角φ=2π-α,Γ1和Γ2是V形切口的两条径向边,Γ3是扇形的弧形边。

图1 正交各向异性V形切口板模型(固支边界)

根据薄板振动理论,正交各向异性板自由振动的控制方程可以表示为

(1)

式中:w为横向位移;ρ为单位面积质量;h为厚度;ω为振动频率;D1=E1h3/[12(1-μ1μ2)],D2=E2h3/[12(1-μ1μ2)],D3=D12+2D66,D12=μ1D2=μ2D1,D66=Gh3/12;E1和E2为弹性模量;μ1和μ2分别为1、2方向上的泊松比;G为剪切模量。

将自由振动控制微分方程式(1)转化成极坐标系下的表达式为

(2)

式中:Dr=Erh3/[12(1-μrμθ)]为径向弯曲刚度;Dθ=Eθh3/[12(1-μrμθ)]为周向弯曲刚度;Drθ=2Gh3/12为扭曲刚度。

(3)

式中:ω为自由振动频率;c1=1.0,c2=(2+μθ-ν1μr),c3=(μθ+ν1μr+2ν2),c4=-(2μθ+2ν2),c5=2(μθ+ν2+ν1),c6=-ν1,c7=ν1,这里ν1=Dθ/Dr、ν2=Drθ/Dr。

对于固支V形切口,其边界条件可以表示为

(4)

(5)

如图2所示,正交各向异性V形切口板由等距离平行弧线和等角度径向线划分成如上网格,令

(6)

图2 正交各向异性V形切口板网格

(7)

2 V形切口板自由振动频率的计算

(8)

(9)

利用复化Simpson公式,式(8)可以简化为以下求和形式

(10)

(11)

(12)

图3 一维插值输入输出点

(13)

(14)

式中,Sn为PDDO插值矩阵系数。所以式(10)可以用矩阵形式表示为

{wn}=[Gn][α][Sn][kn]=[An]{kn}

(15)

同样地,在其它等角度径向线上亦成立,组合可以得到

[A]{k}

(16)

可以简写为

{w}=[A]{k}

(17)

{w*}=[B]{l*}

(18)

式中:*为沿着平行弧线上的计算点;[B]为系数矩阵。这里,自由振动位移列向量{w}以及{w*}中元素只是计算点的位置顺序不同,可以通过转换矩阵[T]将元素置换到相同位置,即

{w*}=[T]{w},{l*}=[T]{l}

(19)

将式(19)代入式(18),可以得到

(20)

{w′}=[A′]{k}

(21)

(22)

根据式(17)和式(20),式(21)和式(22)可以表示为

{w′}=[A′][A]-1{w}

(23)

(24)

同样地,位移函数w其它阶次的导数可以表示为

(25)

(26)

(27)

(28)

将式(25)～式(28)代入式(3),可以得到

(29)

式(29)可以简写为

(30)

3 数值算例

假设弹性模量以及泊松比在径向和周向相同,即Er=Eθ=E、μr=μθ=μ,正交各向异性切口板退化为各向同性切口板,图4展示了切口角α=300°时,前四阶无量纲化频率,从图中可以发现,本文结果与参考文献[23]通过微分求积法的结果吻合度良好。

图4 300度V形切口板前四阶无量纲化频率

表1 固支各向同性V形切口板无量纲化频率的收敛性

(a)

图6 V形切口板前五阶频率随切口角α的变化规律

以α=60°为例,图7绘制了其前四阶横向位移等高线振型图,从图中可以看出,切口板自由振动的第一阶、三阶振型图具有对称性,而第二阶和第四阶振型图具有反对称性,本文结果与有限元结果吻合较好,验证了本文方法的准确性。

(a) FEM (b) Present

图8 V形切口板前五阶固有频率随Er/Eθ的变化规律

4 结 论

本文基于格林函数法结合近场动力学微分算子,提出一种分析正交各向异性V形切口板的自由振动问题的方法。

(1) 基于格林函数和PDDO插值基函数,可以将正交各向异性V形切口板自由振动的高阶微分控制方程转化为求解广义特征值问题,求解可得正交各向异性V形切口板的自由振动的频率与振型。

(2) 通过本方法与FEM对正交各向异性V形切口板的自由振动分析,验证了本方法的准确性和收敛性。数值研究发现,正交各向异性V形切口板自由振动频率随切口角的增加而增加,随弹性模量比值的增加而降低,且高阶频率下降的程度更显著。

(3) 通过对切口板的动力特性分析,本方法避免了传统有限元法在分析切口结构奇异问题时需要大量节点的网格敏感性问题,大幅节约了计算成本,说明了本方法在分析奇异结构振动等工程问题方面的潜力。