基于子域法的永磁体周向分段式转子涡流损耗解析模型

尹宏乾

（国华诸城风力发电有限公司，山东诸城 262200）

0 引言

高速永磁电机因其具有高效率、高功率密度、高稳定性等优点，在航空航天发电机、高速磨床等方面具有广阔的前景[1-3]。永磁电机需要变频器变频起动，变频器输出的电流波形中包含大量谐波，使得电机磁场中谐波含量增加，电机损耗增大，会引起转子温度升高，达到永磁体退磁温度点，使其发生不可逆失磁风险，影响电机运行的可靠性。因此高速永磁电机的设计，需要快速准确计算转子涡流损耗，避免永磁体失磁。

为了提高高速永磁电机的运行可靠性，许多文献采用有限元法对转子涡流损耗的抑制方式进行了研究。文献[4-6]通过采用定子齿上开辅助槽的方法降低转子涡流损耗。文献[7]通过改变极槽配合，绕组形式等方式减小谐波含量，以此来抑制转子涡流损耗。此外，优化护套形状，在护套表面进行径向和周向开槽来阻断涡流流通路径，或采用新型转子护套结构等都能起到抑制转子涡流损耗的作用[8-9]。然而，护套开槽后机械强度并不能得到保证，并且在很大程度上增加了制造难度。永磁体分段是减小转子涡流损耗的常用方法。分段后永磁体内的涡流路径被分割成更小的回路，增加了等效电阻[10]，从而降低永磁体涡流损耗，同时永磁体分段对电机性能影响较小[11-13]。有限元法虽然能够考虑诸多影响因素，有着较高的计算精度，但并不利于电机的初始优化设计。例如，采用永磁体分段减小转子涡流损耗时，为确定合适的分段数量，需要建立具有不同分段数的仿真模型，建模过程较为繁琐且计算时间较长。而解析法则在电机初始设计中具有计算效率高的优势，并且能够给予一定的理论分析。

目前，已经有大量的解析模型被用来计算转子涡流损耗，主要分为二维或三维解析模型。三维解析模型能够考虑永磁体中涡流的三维分布，计算永磁体不同方向分段对转子涡流损耗的影响。文献[14]提出一种考虑涡流反作用影响的准三维分析方法，但忽略了定子开槽的影响。文献[15-16]分别采用广义图像理论和精确子域方法，建立三维转子涡流损耗的解析模型，但模型过于复杂，应用还不成熟。二维解析模型应用则较为广泛，较早阶段，为方便计算，解析模型通常将定子三相绕组等效为电流片计算低速时的转子涡流损耗[17-18]。文献[19]利用该方法计算了永磁体分段后的涡流损耗值。这种方法计算简单，但忽略了定子开槽和高频时永磁体中涡流反作用的影响，对于高速电机的设计会造成较大误差。文献[20]考虑了趋肤效应对永磁体分段的影响，确定永磁体分段异常的参数范围。然而，该方法只对主要次数谐波造成的损耗进行计算且忽略了定子开槽的影响。为准确考虑定子开槽影响，文献[21-22]分别采用磁导函数和精确子域方法，计算了转子涡流损耗，而后者并未考虑涡流反作用的影响。文献[23]针对永磁体产生的永磁磁场，引入扩散方程，考虑定子开槽和涡流反作用的影响。文献[24]为考虑涡流反作用影响，采用了考虑导体中涡流的扩散方程，计算了负载磁场下的涡流损耗，但是没有考虑护套及电流时间谐波，文献[25]在其基础上进一步考虑电流时间谐波的影响。然而，上述考虑涡流反作用影响的扩散方程，由于方程解析式中存在没有显式积分形式的贝塞尔函数，因而，无法使得每段永磁体横截面涡流为零[26]。这就意味着，该方法无法应用于永磁体分段的永磁电机中。综上所述，目前尚且缺少针对高速永磁电机永磁体分段情况下考虑涡流反作用的转子涡流损耗解析模型。

本文的主要贡献是基于子域法提出了一种针对永磁体周向分段高速永磁电机转子涡流损耗解析模型。该模型利用磁导函数，引入考虑各次谐波透入深度的衰减系数来考虑定子开槽和涡流反作用的影响。基于该解析模型，对永磁体不同分段数的转子涡流损耗进行分析。将永磁体分段后的转子涡流损耗解析及有限元结果对比，证明了该解析模型具有较高的计算精度。

1 模型简述

1.1 结构与参数

本文建立了三层子域模型，计算永磁体周向分段的高速永磁同步电机转子涡流损耗。图1 为永磁体周向分段的子域模型。

图1 永磁体周向分段的高速永磁电机子域模型

为便于推导转子涡流损耗解析解，作如下假设：

1） 假设定转子铁芯的磁导率无穷大，忽略铁芯饱和影响；

2） 三相绕组采用等效电流片表示；

3） 护套为不导磁材料，护套和永磁体材料各向同性，磁导率及电导率为常数；

4）不考虑转子铁心的损耗。

在图1 中，Rsl，Rpm，Rr分别为护套外半径，永磁体外半径以及转子轭外半径。Rg是定子内半径。

本文以一台20 kW，20 000 r/min，4 极18槽高速永磁电机为例进行分析。该电机定子铁芯材料为硅钢片，永磁材料采用极弧系数为1的烧结钕铁硼，同时护套采用材料为碳纤维，其主要参数见表1。

表1 电机主要参数

永磁体周向分段的高速永磁电机转子涡流损耗解析模型流程图如图2 所示。其中包括的过程有：

图2 解析流程图

1）建立仅考虑电枢磁场时的气隙、护套以及永磁体子域的拉普拉斯方程并求解各部分磁密；

2）通过引入磁导模型考虑定子开槽影响，并求解各子域的涡流密度；

3）为考虑涡流反作用影响引入衰减系数计算转子涡流损耗。

1.2 损耗计算

忽略涡流反作用时，导体中的涡流密度表达式为[22]:

式中，σy为相应子域的电导率。Ay1代表各子域失量磁位表达式，具体求解过程见附录。

公式（1）中的第二项存在是因为当永磁体进行分段后，每段永磁体会形成一个单独的涡流回路，需要通过解析公式强制每段永磁体横截面上的涡流为零。若对于护套子域，该项为零。C(t)公式为：

为了考虑定子开槽对转子涡流损耗的影响，通过引入磁导模型对各子域的磁通密度进行修正：

其中，l1为磁导谐波次数，kg为气隙系数。

对于高速永磁电机，高频谐波磁场在转子中产生的涡流会对谐波磁场造成影响，又由于永磁体分段后无法采用贝塞尔函数来考虑涡流反作用[26]，因此本文引入透入深度δm 进行分析：

式中，ωm为m次谐波角频率，μ0为真空磁导率。

不同厚度h处涡流衰减系数为：

由于涡流衰减随厚度方向的变化是连续的，不同次数的谐波磁场透入深度不同，因而利用公式（6）计算得到各次谐波磁场在转子导体中的平均涡流密度，从而考虑集肤效应对涡流沿厚度方向分布不均的影响。

式中，Jb为导体表面涡流密度，Δh为各次磁场谐波在导体中的透入深度，其值与δm 相等。

有一种叫“竽”的乐器，外形和笙极为相似，容易让人混淆。其实它们的差别的确不大，都属于匏类乐器，只是竽比笙大，管数也比较多。

由平均涡流密度计算得到一个电周期内转子各部分涡流损耗计算表达式为：

式中，T为电周期，V为导体体积。

2 有限元验证及分析

电机采用PWM 供电，图3 为电机输入电流波形。为了验证解析模型的适用性，本文建立二维有限元模型。有限元模型网格如图4 所示。

图3 电流波形

图4 有限元网格划分

图5 给出了永磁体未分段时的转子各部分涡流损耗结果，可以看出由于碳纤维材料电导率较低，护套产生的涡流损耗较少，转子涡流损耗主要集中于永磁体中。本文所建立的考虑涡流反作用的解析模型与有限元结果相比，计算误差为5.5%。当令衰减系数λ1 设为1 时，即不考虑永磁体涡流反作用，可以看出转子涡流损耗增加45%，因此，高速永磁电机在高频时需考虑涡流反作用的影响，否则会产生极大误差。

图5 额定频率时护套及永磁体的涡流损耗

图6 给出了护套和永磁体涡流损耗随永磁体分段数的变化规律，从图中可以看出，随永磁体分段数增加，永磁体涡流损耗呈先增后减的变化规律，这与忽略涡流反作用的解析模型变化规律不同[17]。随着永磁体分段数增加，涡流由电感限制型变为电阻限制型[14]，故涡流损耗先增加后减少。

图6 护套及永磁体涡流损耗随永磁体分段数的变化

永磁体分段不仅影响了自身涡流损耗的变化，同时也会影响护套涡流损耗，使其有所增加。但对于解析模型，由于未考虑永磁体分段对护套涡流损耗的影响，使得护套涡流损耗计算结果保持不变，这也是解析与有限元计算结果存在误差的原因。虽然护套涡流损耗增加，但增加幅度较小，仅变化了4W 左右，相比于永磁体涡流损耗，其占比较小，对转子总涡流损耗的整体变化趋势影响不大。因而，解析模型还是具备着较高的计算精度。

由于护套涡流损耗对总损耗的影响不大，为此，本文主要针对永磁体涡流损耗变化规律进行研究。在图6 基础上，给出了与忽略涡流反作用的解析结果对比，如图7 所示。从图中可以看出，忽略涡流反作用的解析结果是随着永磁体分段数的增加而减小，这与考虑涡流反作用的解析结果规律不同。当永磁体分段数在3 段以下时，考虑涡流反作用与忽略涡流反作用的解析结果间存在较大差距，而当分段数在3 段以上时，两者之间的差距较小，这说明随着永磁体分段数的增加，涡流反作用对永磁体涡流损耗的影响减弱。因此，对于高速永磁电机，随着永磁体分段数的增加，永磁体涡流损耗存在上升趋势，是由于涡流反作用的影响。

图7 不同解析模型下永磁体涡流损耗对比

为了说明上述观点，通过有限元仿真得到永磁体中涡流分布，如图8 所示。当永磁体不分段时，受涡流反作用影响，涡流大多集中于永磁体表面，随着分段数的增加，涡流逐渐遍布于整个永磁体中，永磁体损耗也增加，当分段数达到一定程度时，由于等效阻抗的增加[10]，损耗开始减小，起到减小损耗的作用。

图8 永磁体涡流分布

3 结论

本文基于子域法，通过对永磁体进行周向分段，建立了一个带有护套的高速永磁电机永磁体周向分段转子涡流损耗解析模型，并给出了详细的计算过程。该模型通过采用磁导模型考虑定子开槽对磁场影响，引入衰减系数来考虑涡流反作用影响，有效地提高了计算精度。得到了电枢磁场中永磁体分段后的涡流损耗变化规律，并将解析结果与有限元仿真结果进行了比较，验证了解析模型的准确性。