数学思考题，不妨“串”着教

施娅林

摘 要：小学数学教材中的思考题是发展学生数学思维能力的有效载体。对此，我们可以将思考题“串”着教：把内容“串”起来，从碎片走向整体；把方法“串”起来，从经验转向模型；把思维“串”起来，从浅层迈向深度。从而，促进学生在结构化的学习活动中获得个体知识的建构和生长以及思维的深度发展。

关键词：小学数学；思考题；结构化

一、课前思考

蘇教版小学数学教材通常会在某一主题学习的练习中或者单元复习的最后编排一道思考题。这些思考题侧重探究有趣的数学现象或数学规律，旨在引导学生在解决问题的过程中了解相关的数学原理，体会其中蕴含的数学思想，提高解决问题的能力。学生在研究并解答这些问题的过程中，会获得更多的数学发展，特别是思维的发展。可见，与一般的练习题相比，思考题综合性更强、更具生长性，是发展学生数学思维能力的有效载体。但在实际教学中，很多教师会将思考题当成孤立的“点”，就题讲题，导致学生停留在“解决问题”层面。

苏教版小学数学二年级下册《认识万以内的数》单元“练习三”（见下页图1）和“复习课”中的思考题（见下页图2），在知识和方法上有相通之处，如果把它们当作两道题分别来解决，学生很难发现这两道思考题在思维上的一致性，难免会造成知识“碎片化”、学生视野狭窄化，从而导致学生无法建构完整的、联系的、发展的认知结构，也阻碍了学生推理意识和思维能力的发展。

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）在“教学建议”部分提出，“注重教学内容的结构化”  ［1］ ，“通过合适的主题整合教学内容，帮助学生学会用整体   的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯，发展核心素养”  ［2］ 。因此，笔者从内容、方法、思维三个方面，将这两道思考题“串”起来，设计结构化的学习活动。

二、课中践行

（一）研究3个数字组成三位数

1.从个别到一般，由直观到抽象

师    喜欢玩游戏吗？今天我们一起来玩组数游戏，就是用几张数字卡片摆几位数。你们猜：3张数字卡片可以摆出几个三位数？

（学生的答案各不相同。）

师   究竟是几个呢？一起来摆一摆。用数字卡片2、3、4摆出不同的三位数。

（学生操作数字卡片，教师巡视，收集典型摆法。）

师     （展示学生摆法，如图3所示） 这几种摆法中，你更喜欢哪种？请用手势告诉我。

（大多数学生选择摆法1，少数学生选择摆法2，个别学生选择摆法3，没有学生选择摆法4。）

师   这么多同学选择摆法1，谁来说说你的理由？

生   因为摆法1是从百位开始从小到大地摆的，这样比较有序，而且写数就是从高位开始写的，比较方便。摆法4没有按顺序摆，容易漏掉一些情况。

生   我觉得摆法2和摆法3也有序啊，摆法2是按个位从小到大地摆的，摆法3是按百位从大到小地摆的。

生   我觉得按首位或末位从大到小、从小到大摆都是有序的，只不过我们比较习惯按首位从小到大地摆。

（学生纷纷表示赞同。）

师   确实，只要是有序思考，都可以。既然现在大家都同意摆法1，谁能上台来边指边说，是怎样摆的？

生    （同步指） 这里的百位都是2 （教师将两个2圈起来） ，后面的3和4交换 （教师画交叉线） ；后面也是一样的，3不变，2和4交换……

（教师随着学生的指、说同步操作，最终板贴如图4所示。）

师   像这样先固定一个数位，再把剩下的2张卡片交换位置。这样有序地思考就能不重复、不遗漏地找到所有不同的三位数。2、3、4这3张数字卡片一共组成了几个三位数？

生   6个，3×2等于6。

（教师组织学生活动，先全班一起再同桌互相玩抽卡片组数的游戏。游戏规则如下：一人抽取3张不同的数字卡片，其他人有序、完整地说出由它们组成的三位数。在活动中，学生都能快速、完整地说出三位数。）

师    （同屏对比3组游戏结果） 刚才用3张数字卡片摆出所有的三位数，都是怎么摆的？

生   都是固定首位，后面的两个数交换位置。

生   首位的数从小到大有序思考。

师   真了不起，从不一样的数字中发现了一样的方法！为了方便交流，我们有序地给3张卡片标上序号，第1张，第2张，第3张，谁能到前面来用刚才的方法边摆边说？

（学生用有标号的卡片摆数，板贴如图5所示。）

师    （指图5） 用像这样的3张数字卡片摆出了几个三位数？是怎么得到的？

生   6个，每张数字卡片依次放在首位都有2个数，3个2就是6。

师   通过刚才的研究，我们知道，一般情况下，3张不同的数字卡片可以组成6个不同的三位数。

［ 说明： 课始，从学生的兴趣入手，创设游戏活动，从一个到多个，从直观到抽象，引导学生积极参与研究。 首先，教师设计了3个数的组数游戏。有的学生摆法无序，有的学生按照中间数从小到大地摆，有的学生能够找到首位或者个位有序地摆，所有学生都能主动地思考。在第一轮活动方法指导与归纳的基础上，教师又组织了第二轮游戏，但是形式上有所改变，提高了对学生的要求，需要学生有序、完整地说出所有的数，训练学生在头脑中快速、有序地“摆”卡片。从动手操作到在头脑中“摆”，为学生搭建了从直观思维到抽象思维的桥梁。最后，从3组数据中引导学生抽象出3个数组成三位数的一般模型，逐步从直观思维迈向抽象思维。 ］

2.从一般到特殊，由浅表到深入

师   3张数字卡片都能组成6个三位数吗？

生   是的。

生   不一定，万一有0呢？

师   看来有一些特殊情况。小组合作，将你们的发现记录在练习单上。

（學生讨论非常激烈，小组内互相补充。）

师   请一个小组分享他们的发现。

生   0、2、3，只有4个三位数。

生   有2个相同数，比如1、1、3，只有3个三位数。

生   有相同数又有0，比如0、2、2，只有2个三位数。

生   有2个0，比如0、0、2，只有1个三位数，就是200。

［ 说明： 由3组数据的一般情况归纳到普适性模型的建立，是有一段思考过程的。这一过程中，大脑需要对复杂情况进行处理，比如对一些思维冲突的问题，学生需要打破已有观念，思维才能从浅表逐步深入。教学中，教师请学生猜测3张数字卡片能组几个三位数。根据刚刚建立的模型，学生很容易猜测是6个，教师没有直接下结论，而是让学生充分思考，举例特殊情况，打破常规思维，从而使思维更加深刻。 ］

3.从特殊到一般，由形式到本质

师   谁能解释下一般情况下3张数学卡片可以摆出6个三位数，为什么这些情况下会少呢？

生   因为0不能放在首位。 （展示图6） 但是有2个要画去。

师   三个数字分别是1、1、3，有几个三位数？少了哪几个？

（学生不能直接说出答案。）

师   我们一起来写一写，写完你有什么发现？

（学生说，教师写在黑板上，再画去重复的情况，板书如图7所示。）

生   其实3张数字卡片都可以写出6个数，但是要把不符合条件的和重复的删掉。

师   是的，由于0在首位和重复等特殊情况，3张数字卡片组成数的个数比6个少。

［ 说明： 从特殊出发，深入研究特殊情况的本质，才能将特殊情况归纳到一般模型中。而特殊情况的研究较为困难，教师可以引导学生将思维的过程展开，使其可视，以促进理解更加直观、深刻。教师请学生列举出特殊情况之后，引导学生先按照一般情况将所有3张数字卡片组数，再排除掉不符合的情况。学生在展开思维的过程中，理解了特殊情况的本质：有1个0 时，0不能放在首位，从6个中去掉2个，就是4个；有2个相同的数（没有0）时，交换表示的数一样，从6个中去掉3个，就是3个。从一般到特殊，从形式到本质，打通了一般情况和特殊情况，建立了普适性的组数模型。 ］

（二）探究4个数字组成四位数

1.从基础到进阶，由模仿到创新

师   3张数字卡片的组数游戏通关了，敢挑战更高难度的吗？ （PPT出示数字卡片1、2、3、4） 觉得自己能又快又全地找到这4张数字卡片组成的所有四位数的请举手！

（全班学生都非常兴奋地高高举起手。）

师   把你们的想法先在小组里交流一下，再动笔试一试。

（教师巡视，发现很多学生一开始写1234、1243，接着写2134、2143。在充足的时间内都能改正，并有序、完整地写出所有四位数。）

［ 说明： 波利亚说：“学习任何知识的最佳途径就是自己去发现，因为这种发现理解最深，也最容易掌握其中的规律、性质和联系。”3张数字卡片组数和4张数字卡片组数从形式上看较为相似，学生的初步感知就是数量上的增多，但其实是思维上的进阶，不是单纯地模仿。因此，当学生自主探究4张数字卡片组数，直接从形式上进行模仿遇到困惑时，教师并没有直接给出方法，而是给学生足够的时间去思考、尝试和交流，让学生经历“感知外形相似—尝试模仿—尝试失败—再次调整”这一完整的学习过程，从而明晰模型的本质。 ］

2.从局部到整体，由零散到结构

师   观察这些数，你有什么发现？

生   确定千位是1后，就可以转化成了3张数字卡片摆三位数的情况。

（学生指黑板上数字卡片2、3、4摆出的三位数，教师画箭头，最终的板贴如下页图8所示。）    生   其实千位是2、3、4的方法和千位是1的方法在道理上是一样的。

师   原来4张数字卡片可以转化成3张数字卡片组数，那4张数字卡片可以摆多少个不同的四位数？

生   24个。

师   通常不同的4张数字卡片能组成24个四位数。会不会有特殊情况呢？

生   有0或者相同的数。

（学生尝试独立完成特殊情况的探究。）

［ 说明： 通过合适的主题整合教学内容，引导学生经历迁移的过程，学会用整体的、联系的、发展的眼光看问题。教师将3张数字卡片和4张数字卡片组数内容进行整合，引导学生发现4张数字卡片组数时，当确定了1张数字卡片后，就转化成剩下的3张数字卡片组数，从深层次建立了与3张数字卡片组三位数结构上的联系。 ］

（三）推想多个数字组成多位数

师   5张数字卡片的组数又会怎样呢？

生   应该组成的数更多，是5×24个。

生   24是4个数字组成的四位数个数，5个数字组数，可以先确定万位上的数，后面的就跟4个数字组数一样了。

师   原来道理还是一样的，又把5个数字转化成了4个数字的组数问题。那6张数字卡片的组数你猜有几个？

生   6×5×24。

师   24是怎样得到的？

生   4×3×2=24。

师   是的，你发现了什么？为什么？和你的同桌说一说。

生   几个数组几位数的个数就是从几开始乘，乘到2。因为都可以往前推，6个数组成六位数和5个数组成五位数有关，5个数组数和4个数组数有关……

师   看来理解了知识的本质，学会了方法，这些问题就都打通了。同学们可以自己课后去试一试，验证一下。

［ 说明： 经历研究3个数字组数的操作过程，以及4个数字组数的迁移，建立组数的数学模型，学生已经学会用联系的眼光看5个、6个等数字的组数问题。教师引导学生推想多个数字组数的问题，就是延伸思维，打通所有的组数问题。 ］

三、课后反思

（一）把内容“串”起来，从碎片走向整体

新课标指出，在教学中要重视对教学内容的整体分析，帮助学生建立能体现数学学科本质、对未来学习有支撑意义的结构化的数学知识体系。  ［3］ 由此，我们可以将在知识上、学习方法上、思维方式上具有内在关联、可相互渗透和类比迁移的内容整合在一起，“串”起来教。

本课就是将3个非0且不相同的数字组成三位数、含0或有相同数的数字组成三位数，以及4个数字组成四位数等内容整合在一起。通过师生共同研究3个数字组成三位数、学生自主探究4个数字组成四位数、推想多个数字组成多位数等一系列结构化学习任务，帮助学生理解数在不同数位上的含义不同，掌握有序思考的方法，初步感知排列组合的思想。整合后的教学过程顺应学生的认知经验，从直观感知到抽象表征再到模型应用，多角度推进认知结构不断完善，让知识从碎片走向整体。

（二）把方法“串”起来，从经验转向模型

其實，真正将教学内容“串”起来的不光是表面上的相似，更应是背后思想方法的相同。法国数学家拉普拉斯说：“在数学这门科学里，发现真理的主要工具是归纳和类比。”  ［4］ 数学知识具有很强的关联性和系统性。通过类比，可以让新经验与旧经验碰撞与交流，融合方法，从而扩充知识体系。通过归纳，可以将丰富的经验转向模型，借助模型简化知识系统的复杂性，从而完善知识体系。

在初次尝试将3张数字卡片组成三位数时，大多数学生都能凭借经验写出3个数字组成的三位数，但是此时的经验缺乏“数学味”，很多学生不能完全写出，或者只能无序地写出。教学中，教师引导学生进行方法的对比和归纳。首先，有序思考。固定首位，交换后两个数字的位置，三张数字卡片都能组成6个三位数，帮助学生将原有的经验“数学化”，初步建立抽象的模型。接着，思考3张数字卡片组成三位数的特殊情况（有0或有相同数），学生发现刚刚建立的模型不适用了。此时，教师引导学生沿着原有的方法思考，写出所有的情况，再考虑不符合条件的情况。由此，学生真正理解了模型，从经验走向理解，在理解中深化了模型。随后，学生迁移方法，自主探究4个数字组成的四位数。过程中，学生经历经验冲突，快速调整，避免形式上的模仿，探寻知识的本质，牢固、深刻地建立新的数学模型。最后，教师引导学生将方法迁移到更多个数字组数的问题，引导学生在此基础上建构更复杂的模型，扩充和完善知识体系。

（三）把思维“串”起来，从浅层迈向深度

将教学内容“串”起来后，我们还应以高观点视角去审视内容，挖掘其中的深度学习点，逐步引导学生的思维从浅层迈向深度。

教学中，从个别到一般，引发学生的思维由直观到抽象；从一般到特殊，

打破原有认知，引发学生的思维由浅表到深入；从特殊到一般，

引发学生从形式模仿到理解本质；从基础到进阶，引导学生自主迁移，但不局限于形式上的生搬硬套，积极寻找知识的内在联系，从结构上建立本质联系；从局部到整体，由零散到结构；最后，延伸思维，引导学生用联系的眼光推想更复杂的问题。如此，引导学生在结构化的学习活动中获得个体知识的建构以及思维的深度发展。

教学中，先引导学生动手摆2、3、4这三张数字卡片和直接说出任意抽取的3张（没有0且数字不同的）数字卡片组成三位数的活动，从个别数据中抽象出3个数字组成三位数的一般模型。接着，引出“有0”或“有相同数”等特殊情况，促使学生打破常规思维，深入思考。学生发现仍然可以按照一般模型思考，只需排除不符合的情况，从本质上打通了一般和特殊情况，建立了3个数字组数的普适性模型。基于3个数字组数的探究经验，学生自主探究4个数字组四位数，通过形式模仿、方法迁移、理解本质等，最终将4个数字组四位数与3个数字组三位数从结构上建立联系，实现思维进阶。最后，引导学生推想多个数字组数问题，延伸思维，打通所有的组数问题。

参考文献：

［1］［2］［3］ 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2022：85，85，85.

［4］ 高佳萍.好的开端是成功的一半——兼谈数学教学的导入［J］.考试周刊， 2010（55）：75.