试触法判别式的可靠性研究及其优化

唐 龙

(广安市现代实验中学 四川 广安 638600)

徐云东

(华蓥市教育科学研究室 四川 广安 638600)

1 问题缘由

【例1】用电流表和电压表测量电阻Rx的阻值．如图1所示,分别将图1(a)和图1(b)两种测量电路连接到电路中,按照图1(a)时,电流表示数为4.60 mA,电压表示数为2.50 V;按照图1(b)时,电流表示数为5.00 mA,电压表示数为2.30 V,比较这两次结果,正确的是( )

图1 例1题图

A．电阻的真实值更接近543 Ω,且大于543 Ω

B．电阻的真实值更接近543 Ω,且小于543 Ω

C．电阻的真实值更接近460 Ω,且大于460 Ω

D．电阻的真实值更接近460 Ω,且小于460 Ω

解析：选第一组数据作为分母有

选第二组数据作为分母有

笔者查阅了资料,发现前人对这个问题研究非常少,而且说法不一.到底分母选用哪一个数据呢?判别式是否总是可靠?

2 能否找到更合适的判别式

试触法是在其他电路不变的情况下进行的,假设整个电路的电动势为E,等效内阻为r,外接测量数据为I1、U1,内接测量数据为I2、U2,如图2所示.

图2 试触法电路图

由外接相关数据可以推出

(1)

(2)

(3)

(4)

由内接相关数据可以推出

(5)

(6)

ΔR2=RA

(7)

将内接算出的RV代入ΔR1,外接算出的RA代入ΔR2:

若ΔR1>ΔR2,选内接 ,即

(8)

化简得

(9)

那么我们得到新的非常具有对称美的判别式.

3 利用新判别式分析原判别式的可靠性

通过此判别式可以验证原本的判别式是否总是有效.当E、r、RV、RA,已知时,由闭合电路欧姆定律可知

(10)

U1=E-I1(r+RA)

(11)

(12)

U2=I2(R+RA)

(13)

再分别计算出

(14)

(15)

(16)

a、b、c的正负分别代表“选外接”和“选内接”.a对应以外接法数据为分母的判别式,b对应以内接法数据为分母的判别式,c对应新判别式.为了使图像更直观,将c放大100倍,对c的正负无影响.

当RV=10 000 Ω、RA=20 Ω、E=12 V、r=200 Ω时,部分数据和图像如表1和图3所示.

表1 新判别式与原判别式数据对比

图3 数据拟合图像

图像显示大多数情况以外接数据为分母的判别式、以内接数据为分母的判别式和这里的新判别式是一致的,但在一个比较窄的区间出现了分歧.新判别式是按照公式严格推导,是绝对准确的,所以,有时以外接为分母的是正确的,有时以内接为分母的判别式是正确的,有时甚至会出现两种都错的情况,比如下面这种情况.

当RV=3 000 Ω、RA=4 Ω、E=12 V、r=200 Ω时,按照同样的方法可得到图4.

图4 特殊情况下的数据拟合图像

当待测电阻真实值位于图4中两条竖直虚线之间时,以外接数据为分母的判别式、以内接数据为分母的判别式结果都是内接,而误差更小的却是按照新判别式计算的结果——外接.

笔者也试过分母I用外接数据,分母U用内接数据,或者反过来,将4种排列组合都试过,结果没有一个是完全与新判别式一致.可见试触法判别式无论选什么为分母并非总是合理.

4 回到原题

抛开所有的新旧判别式,为了解决这道题到底选哪一种接法更准确的问题,笔者试图构造电路的E、r、RV、RA、R使得数据为I1=5 mA、U1=2.3 V、I2=4.6 mA、U2=2.50 V,我们可以通过逆向运算,假设电阻准确值已知为R,再计算出E、r、RV、RA.

由外接电路推出电压表电阻

(17)

(18)

由内接电路推出电流表内阻

(19)

等效内阻为路端电压的改变量与干路电流的改变量的比值,即

(20)

将式(18)和式(19)代入式(20)得电源等效内阻与R的关系为

(21)

图5 r-R图像

结果显示,有时等效内阻r竟然是负值,这是不符合实际的.r为正值对应的待测电阻的区间是要窄得多.可见,对任何已知的电流、电压表数据,一定能找到待测电阻更小的范围.待其他值都算出来之后,电动势

(22)

那么电动势会不会出现负值呢?根据公式,只要r是正值,电动势就不可能为负.故只能通过r大于零来缩小待测电阻范围.

5 缩小范围

前面已经算出内阻r的表达式,可知

(23)

由分子大于零得

IARA>U2-U1

(24)

将式(19)代入上式得

(25)

由分母大于零得

(26)

将式(18)代入上式得

(27)

所以,现在R的取值被缩小到了如下范围

(28)

如果将最初的问题数据代入上式,会发现

496.5 Ω

当电阻在此范围时,E、r、RV、RA都在一个正常范围内,通过实验可以将电表数据做出来.此范围比之前的460 Ω

(29)

(30)

化简得

(31)

由外接到内接,根据串反并同,电压表的示数明显是变大的,所以U2>U1,要上式成立,则I1>I2.那么在出题的时候数据必须要满足此要求.

6 出题建议

对于普通学生,出题数据需要考虑判别式的统一性;对于竞赛生,若将式(28)纳入知识范畴,可以将例1改成如下例题.

【例2】用电流表和电压表测量电阻Rx的阻值．如图6所示,分别将图6(a)和图6(b)两种测量电路连接到电路中,按照图6(a)时,电流表示数为4.60 mA,电压表示数为2.50 V;按照图6(b)时,电流表示数为5.00 mA,电压表示数为2.30 V,则电阻可能的值为( )

图6 例2题图

A.470 Ω B.500 Ω C.530 Ω D.560 Ω

答案为选项B.

7 结论

综上所述,有以下结论.

(1)试触法判别式选外接和内接为分母一般是一致且合理的,但也会出现两种结果不一样甚至都与事实不符的情况.

(2)若知道电动势和等效内阻近似值,则可以用新判别式选择电流表接法.新判别式如下:

(3)若外接测量数据为I1、U1,内接测量数据为I2、U2,一定有

a.I1>I2b.U1

最后这个结论是最实用的,可以很大程度地缩小待测电阻范围,甚至笔者认为可以用来代替教材上用试触法判断电流表接法,改用推断待测电阻区间.然而更加重要的不是结论,而是发现结论的过程和解决问题的方法.