基于灰色马尔可夫模型的连续配筋混凝土复合式沥青路面性能研究*

姚嘉昊, 赵健, 杜静, 朱昂, 李江昆

(长沙理工大学, 湖南 长沙 410114)

连续配筋混凝土复合式沥青路面(以下简称复合式沥青路面)是将高强度CRC(连续配筋混凝土)板和柔性AC(沥青混凝土)面层相结合的刚柔复合式路面结构,它综合了不同路面材料的特性且能最大限度利用地方材料,具有整体强度高、行车舒适性好、使用寿命长、维修费用少等优点[1-2],是重载交通长寿命沥青路面结构的发展方向。目前中国部分高速公路采用复合式沥青路面对旧混凝土路面进行改造,研究复合式沥青路面性能衰减规律,可为复合式沥青路面养护决策提供依据[3-6]。程焰兵采用ABAQUS模拟了移动荷载作用下复合式沥青路面的动力响应[7]。程小亮等对复合式沥青路面设计方案进行了优化[8]。周婷针对复合式沥青路面结构存在的层间滑移问题,通过层间黏层材料剪切疲劳试验、层间剪应力有限元分析,提出了基于层间剪切疲劳的沥青层厚度设计方法,完善复合式沥青路面结构设计[9]。但缺乏针对复合式沥青路面性能衰减规律的研究。

路面性能预测模型可以分为确定型和概率型两类。确定型模型的预测结果是一个确定值,而沥青路面性能衰减受荷载、环境、路面结构、交通量、养护水平等因素影响是一个动态过程,如果采用确定型模型预测路面性能衰减趋势,无法反映沥青路面性能动态变化的不确定性。概率型模型可预估沥青路面性能的分布概率,其中应用最广泛的是马尔可夫模型[10]。本文依托湖南潭邵(湘潭—邵阳)高速公路K1054+000—K1100+500路段复合式沥青路面,根据该路段2016—2021年路面状况指数IPCI检测数据,选取灰色马尔可夫模型预测复合式沥青路面的衰变趋势。

1 灰色马尔可夫模型

1.1 灰色GM(1,1)模型

灰色预测模型适用于数据量较少或数据不完全的情况,通过构建灰色预测模型,对某事物如路面性能的发展规律作出模糊性描述。其基本思想是对原始数据进行累加,以减小原始数据随机性的影响,使其呈现明显的变化规律[11]。

(1) 构建原始序列:

X(0)={X(0)(k);k=1,2,…,n}

(1)

式中:X(0)(k)为原始数据。

(2) 对原始序列进行累加,生成一次累加数据序列:

X(1)={X(1)(k);k=1,2,…,n}

(2)

式中:X(1)(k)为前k项原始数据的累加和。

(3) 确定灰色GM(1,1)模型参数。式(3)为灰色GM(1,1)模型。为确定模型参数u、a,按式(4)、式(5)构造矩阵B和向量Yn,采用最小二乘法按式(6)求解u、a。

(3)

(4)

(5)

(6)

(4) 按式(7)求解预测数据。

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

表1 模型精度等级划分标准

1.2 马尔可夫模型

马尔可夫预测模型是概率型模型,其预测结果只与当前状态有关,具有无后效性。其主要内容是构建状态转移概率矩阵,该矩阵表示某事物如某路段的路面性能在预定时间内从某一状态转移到另一状态的概率。

为了使马尔可夫模型适应路面性能预测,做如下假定:1) 状态转移概率不随时间变化;2) 存在有限个路面性能状态;3) 路面性能状态转移只与当前状态有关,即具有无后效性。

马尔可夫模型的数学表达式如下[12-13]:

P(xt+1=j|xt=it,xt-1=it-1,…,x1=i1)=

P(xt+1=j|xt=it)

(12)

式中:{xt,t=1,2,…}为一离散的随机变量序列;t表示每一个变量值xt所对应的时间点;{it,t=1,2,…}表示不同时间点的状态;P(xt+1=j|xt=it)为转移概率。

由于系统中存在n种状态,描述各种状态转移到其他状态的概率矩阵如下:

(13)

式中:Pnn为系统各状态转移的概率。

状态转移向量如下:

X(n0+n)=X(n0)Pn

(14)

式中:X(n0)为当前时刻的状态转移概率向量;P为状态转移矩阵;X(n0+n)为预估n年后的状态转移概率向量。

2 实例分析

2.1 工程概况

2016年,潭邵高速公路K1054+000—K1100+500路段实施大修,将旧混凝土路面改造为复合式沥青路面。收集该路段2016—2021年路面状况指数IPCI检测数据,运用灰色马尔可夫模型对路面状况指数IPCI衰减趋势进行预测。

2.2 基于灰色GM(1,1)模型的路面状况指数预测

2.2.1 数据处理与检验

以每公里检测数据的平均值表示路面状况指数IPCI,原始数据见表2,原始数据的累加数据见表3。

表2 2016—2021年路面状况指数IPCI 检测数据

表3 原始检测数据的累加数据

为保证灰色GM(1,1)模型预测结果的可靠性和稳定性,对原始数据进行可行性分析,包括准光滑性检验、准指数检验和级比检验,公式见式(15)～(17)。满足以上检验标准,即可进行灰色GM(1,1)分析。检验结果见表4～6。

(15)

式中:ρ(k)为准光滑性检验指标;k=3,4,…,n。

(16)

式中:δ(k)为准指数检验指标;k=3,4,…,n。

(17)

式中:σ(k)为级比检验指标;k=2,3,…,n。

表4 路面状况指数IPCI的准光滑性检验

表5 路面状况指数IPCI的准指数检验

表6 路面状况指数IPCI的级比检验

从表4～6可以看出:采用的原始数据满足准光滑性检验和准指数检验要求;σ(k)在(-1.330 7,1.330 7)区间内,满足级比检验要求。根据原始数据建立灰色GM(1,1)模型具有可行性。

2.2.2 建模过程

(1) 生成原始数据的累加序列:

X(1)=(100.00,198.41,296.13,390.40,483.26,

575.12)

(2) 构造矩阵B和向量Yn:

(18)

Yn=(98.41,97.72,94.27,92.86,91.86)T

(19)

(3) 按式(6)求解,得参数a=0.018 925 869、u=101.480 598。

(4) 建立灰色GM(1,1)模型如下:

5 362.005

(5) 按式(7)计算预测值,结果见表7。

表7 灰色GM(1,1)模型的预测值

(6) 模型精度检验。按式(10)、式(11)计算,得C=0.18、P=1。依据表1,模型精度好,符合要求。

2.3 基于灰色马尔可夫模型的路面状况指数预测

(1) 根据表7中路面状况指数IPCI预测值将路面状况划分为4种状态,分别为非常好、好、一般、差(见表8)。

表8 路面状态划分

(2) 取4种状态区间的中值,分别为97.5、92.5、87.5、82.5。

(3) 依据灰色GM(1,1)模型反算达到各状态区间中值所需时间T,分别为2.76年、5.39年、8.35年、10.65年。以T+1带入灰色GM(1,1)模型,求出一年后的灰色预测值作为正态分布期望值,分别为95.42、90.79、85.84、82.18。计算路面状况指数IPCI实测值与预测值的残差标准差作为正态分布的标准差,为0.58,在所有可能状态上离散于正态分布。

(4) 计算转移到各子状态的概率,以P11计算为例,计算公式见式(20)。同理,计算其他状态转移概率,结果见式(21)。

φ(-0.724 14≤x<7.896 552)=0.766

(20)

(21)

(5) 灰色马尔可夫模型预测。根据2021年路面状况指数IPCI,路面状况“好”,则初始向量为(0,1,0,0)。按式(22)计算,得2022年路面状况指数IPCI预测值为90.36,路面状况为“好”。同理,计算得2023年、2024年路面状况指数IPCI预测值分别为89.94、89.54,路面状况为“一般”。相比于前6年路面状况指数IPCI实测值的平均衰减速率,2022—2024年的路面状况指数IPCI预测值的平均衰减速率降低50%。

(22)

路面状况指数IPCI衰减趋势见图1。由图1可知:复合式沥青路面路面状况指数IPCI衰减曲线大致呈反S形。

图1 复合式沥青路面路面状况指数IPCI衰减曲线

3 结语

本文采用灰色马尔可夫模型对潭邵高速公路K1054+000—K1100+500路段复合式沥青路面路面状况指数IPCI进行预测,得出2022年、2023年、2024年的预测值分别为90.36、89.94、89.54,复合式沥青路面衰减曲线大致呈反S形。灰色马尔可夫模型可以在较少数据的情况下进行建模且建模简便,实用性强,便于工程应用分析,可为道路科学养护决策提供一定技术支持。