南北朝最强大脑有多神？

李思达

在月球背面的诸多环形山中，有5座以中国古代天文学家命名，分别是祖冲之、郭守敬、张衡、石申和万户环形山。在5座环形山中，郭、张、石、万4座都是1970年被国际天文联合会正式批准的，独有位于月纬17.16°N，月经145.16°E的祖冲之环形山早了9年，1961年就获得了国际天文学会的认可。

提起祖冲之，我们也许第一时间想到的是他在公元5世纪作出的杰出数学成就，也就是众所周知的圆周率π精确近似值以及约、密率。

但人们还忽略了，他不仅是名出色的数学家，更是一位在历法上作出突出贡献的天文学家。

祖冲之，字文远，祖上是北方范阳（今河北涞水县）人，他本人则是土生土长的江南人。北方的范阳祖氏跑到南方生根，自然是因为西晋末永嘉大乱。

祖冲之生于元嘉六年（429），大明五年（461），祖冲之首次出仕（"释褐"）就被任命为南徐州刺史刘子鸾的从事、公府参军，可见当时的皇帝刘骏对他的重视，也许正是因为如此，祖冲之才能作出一项重大的天文改革——修改传统历法，推出《大明历》。

创造出灿烂农业文明的中华先民出于生产需要，很早就对历法产生了浓厚的兴趣，而且经过长期的对日月运行规律的观察和总结，他们创造出了一套较为罕见的阴阳历结合的历法，即以一次月圆（或月缺）到下次月圓（或月缺）为基准定月（朔望月），而以当年冬至到次年冬至为基准定年（回归年）。这么定的好处在于以朔望月定月，抬头即可确定时间，方便确定；以回归年定年，每年季节大致相同，方便生产。

然而，朔望月实际是月球绕地球周期时长，回归年是地球绕太阳时长，两者并不能整除，每月按大小月分别为30或29天，算下来12月为354天，但回归年共365.25天，两者有11天左右的差距。为解决此问题，古代天文历法家采用置闰法加以补齐，也就是每隔两三年就多加一个"闰月"，由此又衍生出一个新问题：那么到底该多少年置一闰月？

解决方案早在先秦时期就被提出，人们在实践中发现19个回归年的时长同235个朔望月差不多相当，便在正常19年的228个月外另加7个闰月敉平差距。由于古人将19年称为一"章岁"，19年7闰也就被称为"章岁法"。从汉代开始流行的"四分历"，正是基于"章岁法"制定的。

很显然，"章岁法"只是一种近似，时间一长误差就会越来越大，到南北朝时人们已然发现，"章岁法"虽然能将日子合上，但每月时间却同当月原应有的季节产生了偏差，对一个需要按月份节气进行农业生产安排的国家来说，这无疑是天大的噩耗，修正历法的需求也变得迫切起来。

终于，祖冲之在经过反复计算后，认为每年实际为365.24281481日，而现代天文学所测一年为365.24219879日，误差只有65万分之一，约50秒。因而提出改为391年置144闰月。

《南齐书·祖冲之传》，祖冲之生于南朝刘宋文帝元嘉六年（429），卒于南齐永元二年（500），因而被列入《南齐书》列传。不过，他生平心血所编制的《大明历》在宋齐两朝因为种种缘故都未能付诸实施，直到他去世10年后梁武帝天监九年（510）方才施行。

祖冲之为什么能将回归年确定得如此精确？最主要的原因，就是他引入了当时最先进的天文发现成果——东晋天文学家虞喜确认的赤道岁差。

所谓赤道岁差，是一种地球自转轴运动引起的春分点位移现象。

制定准确的历法，使用岁差确定每年时长是一个方面，另一方面自然就是确定冬至点时刻。中国古代历法向来以冬至点为回归年开始，确定具体冬至点时刻也成为历法的重中之重。在相当长的一段时间内，古人测定冬至的方法很粗糙，就是将一年当中正午日影最长之日定为冬至日，误差能以天计。从西汉开始，天文学家意识到精度需要从天提高到具体时刻，开始尝试寻找具体的冬至时刻点，到何承天时，通过改进测量手段，已经将精度提高到50刻左右。正是在这些测量手段之上，祖冲之通过一个极为巧妙的数学处理方法，又将冬至点精度提高了一大截。

祖冲之通过数学方法将难以测量的时间实际转换为几何计算，从而大大减小了误差。按他的方法，人们根本不用连续观测，只需在冬至日前后观测即可，考虑到此时只是公元5世纪，他的数学思维实在让人叹服。事实上，在祖冲之编制的《大明历》中处处都有精妙的计算，他不仅准确计算了交点月值（月亮两次经过黄道与白道交点时长）为27.21223日，同现代观测相差只有百万分之一，使得推算月食更为精确——《大明历》能准确推算出元嘉十三年（436）到大明三年（459）中4次日食。除此之外，祖冲之还推算出木星公转周期为11.858年（现代测定11.862年），确定了水星、金星运转一周所需时间，都同现代天文观测相近，要不是因为其他缘原因，光凭一本《大明历》说他是伟大数学家和天文学家都已足矣。

不过无须遗憾，因为遮掩他历法中数学才华的不是别的，正是他在数学上的另一项伟大成果—计算出精确圆周率，提出了约率（22/7）和密率（355/113）。

圆周长和半径之比π到底是多少？这不仅是人们研究天文必然遇到的问题，更是人们只要进行生产生活就会遇到的问题。人类最早有关圆周率的记载约于公元前16世纪的埃及莱因德数学纸草书（Rhind Mathematical Papyrus），算得圆周率为3.1605。当时古埃及人常用经验公式确定π值，方法也很简单：他们将谷子摆放在圆周和直径上，通过计算谷子比例可以得到π的近似值。

中国古代最早的数学著作之一，约成书于西汉末的《周髀算经》提到"圆径一二周三"，显然是将π值定为3，即古人所称的"古率"，虽然只是π很粗略的近似值，但以当时的数学发展水平，没有办法算出更好的值，因而在成书于东汉初的《九章算术》中也都在使用“古率”。

中国人得出较为精确的π值始于西汉末新莽时期。

新莽嘉量，又名律嘉量斛，通高25.6厘米，现藏台北故宫博物院。该青铜量具将五种量具融于一体，“其上为斛、其下为斗，左耳為升，右耳为合，合下为龠”，背面铭文则说明了斛的具体尺寸，从中可推算出当时制作者所使用的π值约为3.1547。

此后东汉张衡、蔡邕也都是使用经验公式给出了近似π值，张衡认为等于3.1622（10开方）；蔡邕认为等于25/8，直到魏晋之际，数学家刘徽在给《九章算术》做注时，才第一次给出求圆周率的几何方法——割圆术。

阿基米德通过同时构造圆内接和外切正多边形，然后计算其周长以取得周长近似值，重复该步骤求得圆周率约为3.1409。

祖冲之正是在刘徽等人的基础上，同他儿子祖暅（亦有记载为祖暅之）将圆周率推到一个新高峰，精确到小数点后7位。

尽管他使用的仍然是几何方法，但国外要直到15世纪才由中亚数学家阿尔卡西（al-Kashi）打破了他的记录，计算到小数点后14位，更为精确的计算则要等到18世纪中叶后，西方数学家掌握无穷级数、积分、幂级数展开等近代数学工具才得以实现。

此外，不容忽略的是，祖冲之给出了简便而又精度甚高的约率和密率，约率大概是根据刘徽给出π近似值157/50而来，通过解不定方程，得到第一组解即为22/7，而密率大约为祖冲之独创，但后世已不知道他是如何求出此解，只能猜测可能是使用了何承天的"调日法"（数值逼近的内插法），或是使用了连分数法求最佳渐进分数，但不管是何种方法，西方直到1573年才由德国数学家重新算出。以是而言，祖冲之对圆周率的计算领先世界千年之久。

无论是《大明历》还是圆周率，祖冲之的成就可谓震古烁今，而他取得伟大成就的最根本缘由，无疑就是超人的数学思维。然而让后人遗憾的是，记载他和祖暅数学思想的《缀术》在唐代就失传，以至于后世根本无从了解祖氏父子的计算方法，只能从他人转述的残片中领略两人风采。比如，祖暅曾在《缀术》中提到"幂势既同，则积不容异"，意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积相等，则体积相等。或者说，介于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个立体的体积相等。祖暅原理直到17世纪才被西方学者卡瓦列里（Cavalieri）发现，而在中国早被祖氏父子熟练用于求出牟合方盖体积，进而算出球体积。

事实上，祖暅原理的证明需要用到定积分，在当时需要相当抽象的立体几何能力才能理解，由此也可想见《缀术》难度之大。唐高宗时，此书被列入《算术十经》，为国子监数学教材之一，但专研《缀术》的学习年限为四年，是《算术十经》中最长的一种。《缀术》之抽象难懂甚至还引发一桩公案，《缉古算经》的作者、数学家王孝通在唐高祖时为历算博士、太史丞，公然批评《缀术》"全错不通"，结果太宗群臣编写组就在《隋书·律历志》暗中发出嘲笑："（《缀术》）学官莫能究其深奥，是以废而不理"。

好在，祖冲之和他儿子光辉的学术成果远比一切命运打击都更为长久。千年以降，祖冲之之名不仅没有被人遗忘，还走出国门，登上了月球。