一道2023年中科大强基题的多解、溯源及背景探究

王东海 (邮编:231600)

安徽省合肥市肥东县城关中学

1 考题呈现

题目二元函数f(x,y)=(x+cosy)2+(2x+3+siny)2的值域为______.(2023年中科大强基计划数学第1题)

分析这是一道二元函数最值问题,既可使用数形结合手段,也可利用主元法解决,还可利用柯西不等式处理.试题设计简洁但内涵丰富,具有很好的探究价值.

2 考题解析

评注解法1利用数形结合思想,巧妙地将所求函数看成两点之间的距离的平方,再分别探索两点所在的轨迹,从而容易求得函数的值域.其难点是如何将目标函数转化为两图形间点的最小距离.

评注此解法先采用主元法,以y为主元,再利用辅助角公式和余弦函数的有界性将未知数y消去,最后用换元法可得值域.本解法的关键是主元法.

解法3(柯西不等式法) 因为5f(x,y)

=(22+12)[(x+cosy)2+(2x+3+siny)2]

=(22+12)[(x+cosy)2+(-2x-3-siny)2]

评注解法3先配凑成能够能使用柯西不等式的条件,且过程中设法将未知数x消去,从而求出值域.此法的关键是如何在使用柯西不等式时恰好消去未知数x.

解法4(权方和不等式法)因为f(x,y)

评注解法4是先将所求配凑成能使用权方和不等式的结构,运用不等式后消去所有的参数,从而得到最值.如何配凑成可以消去参数的结构是解题的难点.

3 命题背景分析

本题命制的背景是拉格朗日乘数法求极值问题.拉格朗日乘数法是高等数学中求多元函数条件极值的重要方法,方法程序性强,容易掌握.其基本原理是:设给定二元函数z=f(x,y)和附加条件φ(x,y)=0,为寻找z=f(x,y)在附加条件φ(x,y)=0的极值点,可以先构造拉格朗日函数L(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y),由于φ(x,y)=0,可以发现z=f(x,y)的极值即为L(x,y,λ)的极值,且与λ无关.此时分别求L(x,y,λ)对x,y,λ的一阶偏导数,令它们等于零,即

由上述方程组解出x,y及λ,如此求得的点(x,y),即为函数z=f(x,y)在附加条件φ(x,y)=0下的可能极值点.若这样的点仅一个,可以确定此点即为所求的点.

拉格朗日乘数法的几何意义是,设给定目标函数为z=f(x,y),约束条件为φ(x,y)=0,曲线L为约束条件φ(x,y)=0,f(x,y)=C为目标函数的等值线族.在f(x,y),φ(x,y)的一阶偏导数都连续条件下,f(x,y)在约束条件φ(x,y)=0下的可能极值点M(x0,y0),必是目标函数等值线族中与约束条件曲线的切点.

另外二元拉格朗日乘数法,也可以推广到多元函数的情形,对于已知条件φ(x1,x2,…,xn)=0, 求目标函数f(x1,x2,…,xn)的极值问题,先构造函数L(x1,x2,…,xn,λ)=f(x1,x2,…,xn)+λφ(x1,x2,…,xn),求函数对x1,x2,…,xn,λ一阶偏导数,再令L′x1(x1,x2,…,xn,λ)=0,L′x2(x1,x2,…,xn,λ)=0,…,L′λ(x1,x2,…,xn,λ)=0,解此方程组得(x1,x2,…,xn)为目标函数的可能极值点,最后比较大小可知目标函数的最值.

拉格朗日乘数法的优点是:一是把目标函数和等式约束统一到一个拉格朗日函数中;二是将条件最值问题转化为无条件最值问题.

下面应用拉格朗日乘数法解答考题如下:

解法5设L(x,y)=(x+cosy)2+(2x+3+siny)2,分别求L(x,y)对x,y的偏导数,并令它们等于0,则有

①

②

4 追本溯源

4.1 竞赛背景

通过对这道强基试题的解法探究,发现解法1数形结合法相对较为简洁,应为命题者的命题意图,这种方法在近几年的高中数学联赛及高考考题中应用比较广泛:

4.2 高考背景

图1

题3(2021年全国新高考Ⅰ卷数学第15题)函数f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值为______.

解析如图2,利用GGB,作出y=|2x-1|,y=2lnx图象,则函数f(x)=|2x-1|-2lnx可看成直线BC与两曲线交点的距离BA的最小值,AB=2AH,故需AH最小,将y=2x-1平移与y=2lnx相切,用导数

图2

5 一般性推广