双城系统的聚集外部性、拥堵外部性和最优收费

苗婷婷，黄海军

(北京航空航天大学，经济管理学院，北京 100191)

0 引言

城际通勤是城市化地区的普遍现象，许多人开车或乘坐公共交通工具在城市之间上下班。聚集外部性指因聚集效应使人们的生产效率更高以及生活成本更低，结果是经济活动高度集中，从而创造了就业中心，吸引了周边城市的工人[1]。聚集外部性有利于提高城市的生产力，但同时也会产生交通拥堵等负外部性，进而制约城市经济发展[2]。为缓解城际通勤的交通拥堵，可以利用价格机制调节交通供需关系[3]。

一个人开车的决定影响道路上所有其他旅行者，因为，增加了系统的交通拥堵程度和所有人的旅行时间，即产生了交通拥堵外部性。经济学家长期以来一直认为，交通拥堵外部性可以通过税收或收费内部化掉[4]，即“消灭”交通拥堵外部性。许多人认为，非市场相互作用是造成城市聚集的主要原因，聚集外部性可以通过设置庇古工资补贴进行内部化[5]，即“抵消”掉。

经典的单中心城市模型由Alonso，Muth 和Mills 提出，该模型通过土地租金和通勤成本之间的权衡确定一个城市的空间结构[6]。LI等[7]建立双城系统模型，用于研究投资市内和城际铁路线的影响，其中，可能发生人口迁移和城市之间的通勤，并明确分析了每个城市的空间结构。YANG等[8]研究高铁站点选址对两个城市的空间结构、居民的工作地和居住地选择以及住房租金的影响。DONG等[9]研究城际通勤对出行行为和城市特征的影响。HUANG等[10]指出如何发展双城系统，有效服务城际通勤交通需求，是城市群可持续发展的关键[11]。然而，这些研究没有考虑交通拥堵外部性和聚集外部性。

鉴于现有研究的局限性，本文采用双城系统模型和城市空间均衡分析方法，研究城际通勤最优收费水平随交通拥堵外部性和聚集外部性的变化规律。交通拥堵外部性和聚集外部性对双城系统的影响较大。交通拥堵会在早晚高峰时段消耗大量通勤者的时间。道路收费通常被认为是处理交通拥堵外部性的一种手段[12]。然而，道路收费也会通过影响居民的职住分布影响城市聚集。双城系统的空间均衡是交通拥堵外部性和聚集外部性相互作用的结果。基于交通拥堵外部性与聚集外部性的权衡，研究最优收费和通勤补贴等城市交通管理政策的实施对双城系统具有实际应用价值。

1 双城系统的空间均衡模型

两个线性城市由容量(即通行能力)固定的高速公路连接。双城系统是封闭的，即总人口是外生且给定的，每个城市的居民数量是模型内生的，所有居民都是同质的，居民可以在两个城市间自由迁移。每个城市都是单中心的，所有就业机会都在CBD(中央商务区)内。双城系统的土地由第三方拥有，城市边界和边界以外的土地价值由外生的农业租金确定。两个城市在资源禀赋、基础设施、工资和住房租金等方面存在明显差异，如此才可能促成居民在城市之间流动。两个城市在资源禀赋和基础设施等方面的差异使两个城市的全要素生产率不同，本文假设城市1 的全要素生产率高于城市2 的全要素生产率。通过建立双城系统的空间均衡模型，分析居民的职住分布，每个居民都在自己的预算范围内选择居住地点、工作地点、非住房商品的消费量和休闲时间，以最大化个人效用。

1.1 旅行成本

两个线性城市的中心分别是CBD1和CBD2，如图1 所示。定义CBD1和CBD2的坐标分别为0和Q。每个城市都是单中心的，每个城市的所有工作都 在CBD内[13]，令和分别代表城市i(i=1,2)的左右边界。这两个线性城市由一条容量固定的高速公路连接起来，高速公路的长度是。令i和j(i,j=1,2)分别代表居民的居住城市和工作城市。在双城系统中，假设出行的唯一目的是上下班通勤。定义Cij(x)和Tij(x)分别为居住在i城市x位置并在j城市工作的居民为通勤所耗费的金钱成本和时间成本。j=i表示居住和工作在同一个城市，即为市内通勤者。j≠i表示居住和工作不在同一个城市，即为城际通勤者。在本文中，用Cii(x)和Tii(x)分别表示市内通勤者出行的金钱成本和时间成本，而Cij(x)和Tij(x)(j≠i)分别表示城际通勤者出行的金钱成本和时间成本。

图1 双城系统概述Fig.1 Sketch of two-city system

(1)市内通勤成本

市内通勤者的个人出行金钱成本与通勤距离成正比。在城市i内从居住位置x通勤到市内CBD 的出行金钱成本为

式中：m为单位距离的出行金钱成本。

市内通勤者的个人出行时间成本与通勤距离成正比。在城市i内从居住位置x通勤到市内CBD 的出行时间成本为

式中：t为单位距离的出行时间成本。

(2)城际通勤成本

高速公路的建设促进了城市与城市之间的经济活动，有利于居民通过城际通勤参与完成经济活动。当两个城市的工资差大于通勤成本差时，低收入城市的居民才有动机通过城际通勤到高收入城市工作。其中，通勤成本包括金钱成本和时间成本，时间成本用休闲的影子价格衡量。

城际通勤者的出行金钱成本与通勤距离相关。在城市i内x位置居住但在城市j工作的城际通勤者的出行金钱成本为

因为两个城市由一条容量固定的高速公路连接起来，所以，城际通勤者在高速公路上经历交通拥堵，城际通勤者的个人出行时间成本随交通流量的增加而增加。在城市i内x位置居住但在城市j工作的城际通勤者的出行时间成本为

式中：fij为在高速公路上从居住城市i到工作城市j方向的流量；参数t3和η均为正数，个人拥堵时间成本为t3fijη。在没有拥堵的自由交通状态，出行时间成本是ij(x)，因此，在城市i内x位置居住但在城市j工作的城际通勤者的出行时间成本是自由流出行时间成本和个人拥堵时间成本的总和，式(4)可以写为

(3)城际通勤的交通拥堵外部性

当连接两个城市的高速公路上出现拥堵时，每个额外驶入拥挤道路的通勤者不仅增加了自己的时间成本，也减缓了高速公路上其他通勤者的行驶速度，增加了其他通勤者的时间成本。由额外车辆驾驶者所承担的通勤成本即边际个人成本，由额外增加的车辆对所有的驾驶者(包括他自身)造成的成本的增加即交通拥堵外部性。边际个人成本与交通拥堵外部性之和是边际社会成本。每个通勤者出行时，只计算边际个人成本，根本没有考虑由于加剧了道路的拥堵而加在别的通勤者身上的额外成本。只要通勤者行车的利益多于边际个人成本，通勤者就会不断地加入车流。因此，城际通勤者的边际个人成本是Tij(x,fij)(j≠i)，系统的总社会成本是Tij(x,fij)fij，则边际社会成本为Tij(x,fij)+fij(∂Tij∂fij)。交通拥堵外部性等于边际社会成本与边际个人成本之差[14]，即

由于是个人拥堵时间成本，所以，城际通勤的交通拥堵外部性是个人拥堵时间成本的η倍。

命题1 城际通勤的边际社会成本是自由流出行时间成本与(η+1)倍私人拥堵时间成本的和，即

证明：结合式(5)和式(6)可以给出这个结论。

1.2 生产

为研究城际通勤中交通拥堵外部性和聚集外部性之间的权衡，假设城市的生产力与可用的工作天数相关(如果两个城市的工作日不重叠，空间聚集就毫无意义)。两个城市在资源禀赋和基础设施等方面具有明显差异，这些差异使得两个城市的全要素生产率不同。令Aj是城市j的全要素生产率，假设城市1的全要素生产率高于城市2的全要素生产率，即A1>A2。城市j的生产函数为

式中：Hj为城市j的总工作日数；σ为大于零的常数，当σ=1 时，公司的生产是规模报酬不变，即没有聚集外部性，当σ>1 时，公司的生产是规模报酬递增，因此，存在聚集外部性；Njj为居住和工作在j城市的居民数量；Nij为居住在i城市但工作在j城市的居民数量，Nj j+Nij即在城市j工作的居民数量；κ为居民决定工作天数的比例。因此，劳动力的边际社会产出为

由于公司处于完全竞争市场，因此，单个公司雇佣的劳动力对整个城市劳动力规模的影响可以忽略不计。单个公司的生产力可以取整个城市的平均生产力，即，则一个公司雇佣h个工作日的劳动力，该公司的生产函数为

劳动力的边际个人产出为

(1)城市聚集外部性

当一个公司新雇佣一名工人时，会导致所有其他公司的劳动力边际产出上升，产生正外部性。聚集外部性等于劳动力的边际社会产出与边际个人产出之差[5]。因此，城市聚集外部性为

城市聚集会使各种资源得到更好利用，提高公司的生产效率，创造出更多的经济效益。

(2)日工资

空间聚集的外部性体现在规模经济效应上，对于单个公司来说，这种效应是外生的，所以，公司员工的工资等于整个城市劳动力的平均产出，或公司劳动力的边际个人产出。在城市j工作的居民日工资为

因为规模经济对于个体竞争公司来说是外部的，所以，日工资等于劳动力的平均产出或者劳动力的边际个人产出，而效率要求他们得到劳动力的边际社会产出，这超出了平均产出。因此，工资率被设置得很低，鼓励休闲，并且可以通过降低城际通勤最优收费刺激劳动。因此，交通拥堵外部性和聚集外部性之间的相互作用由劳动与休闲选择调节。

命题2 城市聚集外部性是日工资的(σ-1)倍，即

证明：结合式(12)和式(13)可以给出这个结论。

1.3 居民

在双城系统模型中，每个居民不仅可以选择居住和工作的城市，还可以选择工作天数。居民的偏好用柯布-道格拉斯效用函数描述，居民在预算范围内选择非住房商品消费量和休闲时间，实现效用最大化。居民的效用最大化为

式中：i和j分别为居民的居住和工作城市；cij(x)为在城市i内x位置居住，去城市j工作的居民的非住房商品消费量；ℓij(x)为在城市i内x位置居住，去城市j工作的居民的休闲时间；α和β分别为居民对两种要素偏好程度的正值参数，满足α+β=1。居民每日的时间约束为

式中：κ为居民决定工作天数的比例；L为工作的时间；2Tij(x)为在城市i内x位置居住在城市j工作的居民的往返通勤时间。本文的时间单位为天，式(16)表示一天的时间用于工作、往返通勤和休闲。双城系统下的所有居民都是同质的，人口均匀分布在两个城市，因此，将每个人的住房消费量标准化为“1”。为方便起见，将商品价格标准化为“1”。居民每日的预算为

式中：τij(x)为在城市i内x位置居住在城市j工作的居民每日往返的交通拥堵费；2Cij(x)为在城市i内x位置居住在城市j工作的居民每日往返的金钱成本；M为通行费收入作为一次性补贴平均每天分配给所有居民的金钱；Ri(x)为在城市i内x位置居住的居民每天的租金。将式(16)带入式(17)的左侧，得到组合约束为

式中：ωij(x)+M为在城市i内x位置居住在城市j工作的居民的全部收入。居民的全部收入可以用于购买休闲时间、居住空间和非住房商品的消费量，其中，休闲时间是通过休闲的影子价格购买的[15]。

1.4 城市空间均衡

接下来，分析双城系统的城市空间均衡。每个城市的效用水平、居民数量和城市边界都是内生决定的。双城系统是一个封闭的经济体，双城系统的城市空间均衡有两个条件，第一个条件要求每个城市边界的土地价值等于外生的农业租金；第二个条件要求所有居民必须居住在两个城市内，即N1+N2=N，其中，N1和N2分别是城市1 和城市2的居民数量，N为双城系统的居民总数。每个城市的居民数量也等于市内通勤者的数量和城际通勤者的数量之和，即N11+N12=N1，N22+N21=N2，其中，N11和N12分别是城市1市内通勤者的数量和城际通勤者的数量；N22和N21分别是城市2市内通勤者的数量和城际通勤者的数量。基于城市空间均衡模型，研究城市居民的职住分布以及城际通勤最优收费。

2 城际通勤最优收费

两个城市通过容量固定的高速公路连接，因此，城际通勤者在高速公路上经历交通拥堵。为缓解城际通勤交通拥堵，采用最优收费调节交通供需关系。本文先研究城际通勤的条件，然后，通过求解竞争均衡模型和社会最优模型得到城际通勤最优收费。

2.1 城际通勤的条件

当两个城市的工资差大于通勤成本差时，低收入城市的居民才有动机通过城际通勤到高收入城市工作。其中，通勤成本包括金钱成本和时间成本，时间成本用休闲的影子价格衡量。

命题3 城市1 的居民不会通过城际通勤到城市2工作，即N12=0。

证明：采用反证法，假设城市1 的居民会通过城际通勤到城市2 工作，即N12>0。由式(8)可知，城市j的生产函数是i≠j，由式(13)可知，在城市j工作的居民的日工资是，两个城市在资源禀赋和基础设施等方面具有明显差异，这些差异使两个城市的全要素生产率不同，本文假设城市1 的全要素生产率高于城市2 的全要素生产率，即A1>A2，因此，城市1的生产效率高于城市2的生产效率，即城市1 的平均产出大于城市2 的平均产出。因为，工资等于整个城市劳动力的平均产出，所以，居民在城市1 的日工资比在城市2 的日工资高，城际通勤的条件是工资差大于通勤成本差，而城市1的居民通过城际通勤到城市2工作时工资差小于零，此时，不可能满足工资差大于通勤成本差，即不满足城市通勤的条件，因此，假设不成立，所以，城市1的居民不会通过城际通勤到城市2工作，即N12=0。

在城市2 内居住在位置x处的居民选择通过城际通勤到城市1 CBD工作的条件可以表示为

式中：W1-W2为两个城市的工资差；2C21(x)+τ21(x)-2C22(x)为居住在城市2的居民通勤到两个城市 CBD 工作的往返金钱成本差 ；2ω21(x)[T21(x,f21)-T22(x)] 为居住在城市2的居民通勤到两个城市CBD 工作的往返时间成本差，时间成本用休闲的影子价格衡量。城市2 的居民选择通过城际通勤到城市1 的CBD 工作的条件是工资差大于通勤成本差，通勤成本包括金钱成本和时间成本。

2.2 竞争均衡

本文假设经济体中有几个市场，包括商品市场和劳动力市场等，经济体中有作为劳动者和商品消费者的居民以及雇佣劳动力和生产商品的公司。竞争均衡的定义是一种分配和一套价格系统，其中，价格系统包括商品价格和工资，在这种分配和价格系统下，居民最大化自己的效用。

由式(17) 可知，居民的预算约束是κ[Wj-τij(x)-2Cij(x)]+M=cij(x)+Ri(x)，此式等号的左边是居民每日的净收入，等号右边是居民每日的商品消费支出。由式(16)可知，居民的时间约束是1=κ[L+2Tij(x)]+ℓij(x)，此式表明居民每日的时间全部用在工作、通勤和休闲上。将这些约束条件代入效用函数后，居民的效用最大化为

2.3 社会最优

社会最优指在双城系统中最佳的社会均衡状态。居民有一定的效用偏好，并试图控制能满足个人效用的资源，居民追求个人效用最大化的行动会自动地导向社会最优状态。

由式(8) 可知，城市1 的生产函数为P1(H1)=A1H1σ=A1[κ(N11+N21)]σ，城市2 的生产函数为。由命题3 可知，城市1的居民不会通过城际通勤到城市2工作，即N12=0，因此，城市2 的生产函数为P2(H2)=A2H2σ=A2(κN22)σ。双城系统的日产量是城市1和城市2的日产量之和，即

双城经济系统的资源约束为

式中：c为社会均衡时，居民的非住房商品消费量。等号左边是双城系统的总生产量，等号右边是双城系统的总消费量，社会均衡时，总生产量等于总消费量。从规划者的角度来看，双城经济系统城际通勤的时间约束为

式中：ℓ为社会均衡时，城际通勤者的休闲时间；κN21为从居住城市2到工作城市1方向的高速公路上的流量，即κN21=f21，因为，由命题3可知，城市1的居民不会通过城际通勤到城市2 工作，所以，高速公路上的流量等于城市2内城际通勤者数量的κ倍；T21(x,κN21) 为在城市2内x位置居住但在城市1 工作的城际通勤者的出行时间。将这些约束条件代入效用函数后，规划者的效用最大化为

休闲的社会影子价格为

式中：κN为双城系统所有居民每天提供的总工作日，即κN=H1+H2；为双城系统每日的平均工资，双城系统每日的总产量除以总工作日是每日的平均工资，即P/κN=P/ (H1+H2)。

2.4 最优收费

两个城市通过容量固定的高速公路连接，城市1 的居民不会通过城际通勤到城市2 工作。因此，双城系统中，只有城市2 内的城际通勤者在高速公路上经历交通拥堵。为缓解高速公路上的交通拥堵，对城际通勤采用最优收费调节交通供需关系。本文研究城际通勤最优收费水平随交通拥堵外部性和聚集外部性的变化规律。

由式(23)可知，从居住城市2 通过城际通勤到工作城市1 的居民休闲个人影子价格是，城际通勤最优收费水平的设定应该使休闲个人影子价格ω21(x)和休闲社会影子价格(x)相等，即

推导出城际通勤最优收费水平为

双城系统每日的平均工资为

将式(32)和式(14)代入式(31)，可以得出城际通勤最优收费水平为

3 算例分析

本文通过算例分析城际通勤最优收费水平随交通拥堵外部性和聚集外部性的变化规律。首先，研究当聚集外部性固定时，城际通勤最优收费水平随交通拥堵外部性的变化规律；然后，研究当交通拥堵外部性固定时，城际通勤最优收费水平随聚集外部性的变化规律；最后，研究当交通拥堵外部性和聚集外部性同时变化时，城际通勤最优收费水平的变化规律。

由式(6)可知，参数η可以表示城际通勤交通拥堵外部性的大小，η越大，表明城际通勤交通拥堵外部性越大，通过观察高速公路上某点的流量和速度之间的关系得到的估计发现，η的值接近1.0，本文考虑的范围是1.00～1.18。由式(8)和式(12)可知，参数σ可以表示城市聚集外部性的大小，当σ=1 时，公司生产是规模报酬不变，因此，没有聚集外部性；当σ>1 时，公司生产是规模报酬递增，因此，存在聚集外部性，σ越大，表明聚集外部性越大，不同产业的σ值各不相同，本文考虑的范围是1.00～1.17。由式(3)可知，在城市2内x位置居住通过城际通勤到城市1 工作的居民每日往返的出行金钱成本是2C21(x)=2mx。由式(5)可知，在城市2内x位置居住通过城际通勤到城市1 工作的居民每日往返的时间成本是2T21(x,f21)=由 式(4)可知，在城市2内x位置居住通过城际通勤到城市1 工作的居民每日自由流出行时间成本是是 个人拥堵时间，ARNOTT[5]在数值算例中将个人拥堵时间取值为0.333 h，即0.013875 d，本文也把个人拥堵时间取值为0.013875 d，即，则2T21(x,f21)=2(tx+0.013875) 。由式(7) 可知，城际通勤的边际社会成本是tx+0.013875(η+1) 。将这些函数代入式(31)可以得出城际通勤最优收费水平为

算例中所有参数的取值如表1所示。

表1 参数取值Table 1 Parameter values

由于城际通勤距离x取值不影响城际通勤最优收费水平随交通拥堵外部性η和聚集外部性σ的变化趋势，所以，本文以x=50 km为例来说明最基本的情况。图2 中的是从居住城市2 通过城际通勤到工作城市1的居民往返的最优收费水平，由图2 可知，当聚集外部性σ固定时，城际通勤最优收费水平随交通拥堵外部性η的增大而增大；当交通拥堵外部性η固定时，随着聚集外部性σ的增大，城际通勤最优收费水平先增大后减少；当聚集外部性和交通拥堵外部性同时变化时，随着聚集外部性σ的增大，交通拥堵外部性η的减少，城际通勤最优收费小于零，此时，城际通勤时可以得到补贴。图2 中的A点表明，当交通拥堵外部性η=1.18，聚集外部性σ=1.10时，城际通勤最优收费取得最大值27.33元；图2中的B点表明，当交通拥堵外部性η=1.00，聚集外部性σ=1.17 时，城际通勤最优收费取得最小值-19.72 元，即城际通勤最优补贴取得最大值19.72元。

图2 城际通勤最优收费水平随η和σ 的变化情况Fig.2 Variation of optimal toll level for intercity commuting with η and σ

4 结论

本文得到的主要结论如下。

(1)关于城际通勤最优收费问题提出一个新观点：如果可以征收通行费，但没有内部化聚集外部性，则城际通勤最优收费水平的设定应考虑到没有内部化的聚集外部性。城际通勤最优收费是交通拥堵外部性和聚集外部性相互作用的结果，交通拥堵外部性和聚集外部性之间的相互作用由劳动与休闲选择调节。

(2)本文从理论上证明，城际通勤最优收费水平可能大大低于相应的交通拥堵外部性成本。决定城际通勤最优收费水平应比相应的交通拥堵外部性成本低多少，取决于没有内部化的聚集外部性程度和城际通勤金钱成本的大小以及两个城市的工资差。

(3)本文通过算例分析表明，当聚集外部性固定时，城际通勤最优收费水平随交通拥堵外部性的增大而增大；当交通拥堵外部性固定时，随着聚集外部性的增大，城际通勤最优收费水平先增大后减少；当聚集外部性和交通拥堵外部性同时变化时，随着聚集外部性的增大，交通拥堵外部性的减少，城际通勤最优收费小于零，此时，城际通勤时可以得到补贴。