基于期望任务寿命的可重复运载火箭RMT参数规划模型研究

李彩霞，彭 越，方志耕，贺元军，刘树仁

(1. 北京宇航系统工程研究所，北京 100076；2. 南京航空航天大学，南京 210018；3. 中国载人航天工程办公室，北京 100083)

0 引言

为了减小火箭的发射成本，各个国家开始发展可重复使用运载器(Reusable Launch Vehicle，RLV)。RLV是指火箭完成任务后，将其箭体安全着陆到预定落点，维修后仍然可以继续使用，从而有效地降低发射费成本，提高发射效率。自20世纪中期人类提出RLV的概念以来，RLV一直都是世界各国的研究热点[1-12]。在可重复运载火箭的高可靠性背景下，可靠性维修性测试性(RMT)相关指标的设计与参数规划显得尤为重要，为此本文针对基于期望任务寿命的可重复运载火箭RMT指标进行参数规划，通过综合运用马尔柯夫等多种理论，解析可重复运载火箭的发射过程，建立重复使用运载火箭RMT指标模型并进行参数设计等，为重复使用运载火箭可靠性研制提供参考。

1 基于RMT可重复运载火箭的稳态可用度解析模型设计

1.1 可重复运载火箭发射与维修过程解析

可重复运载火箭发射过程与维修过程以第一次发射为例进行解析。

(1)发射任务的可靠度变化解析

假设可重复运载火箭一次发射前可靠度为R1.0，发射任务过程中，失效率为λ1.0，由于运载火箭发射过程无法进行维修，得到发射后可靠度R1.1与发射前可靠度关系如式(1)所示

R1.1=R1.0(1-λ1.0t)R

(1)

其中t为任务时间。

(2)发射回收后的维修过程解析

可重复运载火箭第一次发射任务结束，返回并回收后，将进行故障检测与维修，然后再发射。假设综合故障检测率为D*.0检测综，综合检测率D*.0检测综是由关键故障检测率D*.0关键和非关键故障检测率D*.0非关键串联得到，其中关键故障的检测率为1-1×10-7(参考飞机等相关复杂装备的指标要求，并考虑可重复运载火箭的实际情况)，非关键故障检测率为0.99(理由同D*.0关键暂取指标)(见图1)，其公式如式(2)所示

D*.0检测综=D*.0关键×D*.0非关键

(2)

根据关键故障检测率和非关键故障检测率可以得到综合检测率为

D*.0检测综=D*.0关键×D*.0非关键

=(1-1×10-7)×0.99

=0.989 999 901

≈0.99

(3)

根据每次发射后维修的任务性质，对维修度参数M1.0维修综进行设计，根据检测率D1.0检修综与维修度M1.0维修在保证火箭可用性A过程中递进的串联逻辑关系(见图2)，构建综合维修度M1.0维修综=D1.0检测综×M1.0维修，根据维修率与维修度的关系可以求出综合维修率μ1.0维修综。

可重复运载火箭之后的发射过程与第一次发射过程类似，其中维修度以及维修率会根据每次发射后维修程度(如大修和小修)等有所不同，其余基本相同，如图3所示。

图3 可重复运载火箭发射与维修关系示意图Fig.3 Schematic diagram of the relationship between launch and maintenance of reusable launch vehicle

1.2 可重复运载火箭一次发射任务过程RMT模型设计

图4 可重复运载火箭失效率要素结构关系示意图Fig.4 Schematic diagram of structural relationship of failure rate factors of repeatable launch vehicle

根据重复发射与维修之间的相互关系，由失效率可推导出相关指标要素，它们之间的结构关系(以第一次发射过程为例)如图5所示。发射与维修过程的指标如下。

图5 可重复运载火箭失效率与相关指标结构关系示意图Fig.5 Schematic diagram of structural relationship between failure rate and related index of repeatable launch vehicle

(1)发射前可靠度R1.0

以第一次发射为例，发射前可靠度R1.0由其任务飞行过程失效率λ1.0和飞行任务时间t1.0决定，关系如式(4)所示

R1.0=e-λ1.0t1.0

(4)

(2)发射后维修前的可靠度R1.1

以第一次发射为例，在发射任务要求可靠度为R1.0的情况下，经过t1.0时间后，发射后维修前的可靠度下降到R1.1，如公式(5)所示

R1.1=R1.0×(1-λ1.0t1.0)

(5)

(3)发射后维修后的可用度A1.0

以第一次发射为例，发射回收并维修后的可用度与失效率的关系如公式(6)所示

(6)

即可用度A1.0是由维修综合维修率μ1.0维修综和失效率λ1.0共同决定的，表明经过维修后，其可用度达到A1.0，该可用度即为第二次发射前的任务可靠度R2.0，即R2.0=A1.0。

(4)综合维修率

发射结束、回收后进行故障检测，其故障检测率为D检测综，并对检测到的故障进行维修，其综合维修度为M维修综，根据综合维修度公式(7)

M维修综=D检测综×M维修=1-e-μ维修综t综

(7)

其中，t综为综合维修时间，μ维修综为综合维修率μ维修综。

1.3 一次发射过程可靠性状态马尔可夫稳态分析

假设：表示发射前的初始可靠性状态，初始状态概率矩阵为

(8)

其中，*代表是第*次发射，R*.0为第*次发射前的可靠度，1-R*.0为不可靠度。

由状态转移可以得到状态转移概率矩阵P，如图6所示。矩阵P表示一次发射后的马尔可夫状态转移矩阵，飞行过程中没有维修过程，所以在该矩阵中，不考虑维修，即状态2为吸收状态，状态转移到2状态(待维修状态)后，将不再转移到1状态(正常工作状态)，所以此时维修部分应取维修率为0。

图6 发射过程(维修前)可靠性状态转移图Fig.6 Reliability state transition diagram during launch (before maintenance)

(9)

火箭发射一次后，即由初始状态经过状态转化计算得到发射后状态转移概率矩阵

P(1)=Q(0)P

=(R*.0(1-λΔt)R*.0λΔt+1-R)

(10)

式(10)的矩阵中，R*.0(1-λΔt)表示一步转移后(一次发射完成后，未维修时)火箭的可靠度。R*.0λΔt表示可靠度的降低值，即一次发射完成后，可靠度降低了R*.0λΔt。

发射一次后火箭的可靠度降低为

R*.1=R*.0(1-λΔt)

(11)

其中，R*.1为第*次发射后维修前的可靠度。

1.4 一次发射回收经过维修后能够达到的稳态可用度模型构建

一次发射回收后，马尔可夫状态转移表示为

(12)

其中，“1”状态表示运载火箭的正常工作状态，“2”状态表示运载火箭的待维修状态，以X(t)表示t时刻系统状态。

图7是状态转移图，也称马尔可夫图或夏农图。由状态转移图得状态转移矩阵

图7 发射过程(考虑综合维修情况)马尔可夫状态转移图Fig.7 Markov state transition diagram of launch process (considering comprehensive maintenance)

(13)

1.4.1 瞬态可用度推导

设在t时刻，系统处于正常工作状态的概率为P1(t)，处于待维修状态的概率为P2(t)，则系统在t+Δt处于1态(正常工作状态)的可能状态转移概率是由两个可能事件的概率组成的：

1)系统在t时刻保持在1态，即正常工作状态，经Δt时间后，若失效率为λ，则故障概率为λΔt，保持正常工作的概率为1-λΔt。

2)系统在t时刻处于2态，即待维修状态，经过时间Δt后，修复为1态，若维修率为μ，则转移到正常工作的概率为μΔt。此时可得方程式

P11(Δt)=P{X(t+Δt)

=1|X(t)=1}

=1-λΔt+0(Δt)

(14)

P21(Δt)=P{X(t+Δt)=1|X(t)=2}

=μΔt+0(Δt)

(15)

所以有

P1(t+Δt)=P1(t)P11(Δt)+P2(t)P21(Δt)

(16)

取极限令Δt→0后，整理可得

(17)

同样可得2状态的方程为

(18)

利用拉氏变换可以解微分方程

(19)

1.4.2 稳态可用度推导

(20)

2 基于期望任务寿命的可重复运载火箭RMT指标规划

2.1 基于RMT的可重复运载火箭发射规划与参数设计

2.1.1 发射规划

可重复运载火箭(特指运载火箭中的一级回收火箭(下同))执行任务过程可分为点火发射过程、正常运行过程、回收过程、测试诊断过程、维修过程、后进入再发射过程。本文暂假设期望发射次数(寿命)为10次。

若可重复运载火箭发射与回收的目标任务按照10次的期望次数(寿命)进行设计，考虑执行任务轮数可以分为3轮，每次回收后均需要进行检测与维修后再发射，具体发射次数与维修过程初步安排见图8。

图8 期望发射次数(寿命)为10次的发射过程分析示意图Fig.8 Schematic diagram of launch process analysis with expected launch times (lifetime)of 10

每一轮第一次发射后(第二次发射前)将会有一次小修，第二次发射后(第三次发射前)仍将会有一次小修，第三次发射后累积可靠度降低较多，需要进行一次大修提升运载火箭可靠度水平。修复后进行下一轮执行任务的第一次发射任务，依次执行任务到第三轮的最后一次发射前将进行最后一次大修，之后即使进行维修也可能无法达到任务可靠度的要求。

2.1.2 参数设计

通过参考飞机、卫星等的RMT指标参数，设计本文可重复使用运载火箭的RMT指标参数，具体见表1。涉及的基本参数为：可靠性R、维修性M、测试性Te以及可用度A。

表1 可重复运载火箭维修性、可靠性、可用度、可测试性指标参数设计Tab.1 Parameter design of maintainability，reliability，availability and testability of repeatable launch vehicle

2.2 基于期望任务寿命的可重复运载火箭RMT指标的分配

2.2.1 以第二次发射前可用度为基准反推第一次发射过程的可靠性、失效率指标

以第二次发射前可用度为基准反推第一次发射过程的可靠性、失效率指标思路，如图9所示。

图9 以第二次发射前可用度为基准反推第一次发射过程可靠性、失效率指标思路示意图Fig.9 Schematic diagram of the idea of calculating the reliability and failure rate index of the first launch process based on the availability before the second launch

(1)第一次发射过程失效率推算

首先给定第二次发射前的可靠度R2.0=0.98，可理解为：由第一次发射、回收、测试、维修后求得的稳态解A1.0得到，其中稳态解是由第一次发射过程的失效率与回收后的维修率求得，即

(21)

其中，μ1.0小综为第一次发射后小修的维修率，根据式(11)中结果μ1.0小综=0.807，又已知R2.0=0.98，所以第一次发射过程的失效率为

(22)

(2)第一次发射前可靠度推算

已知任务时间为200 s，将其作为第一次发射过程的1个有效单位时间，根据第一次发射过程的失效率与其第一次发射前可靠度关系R1.0=e-λ1.0t1.0，以及式(22)得到的第一次发射过程的失效率λ1.0=0.017，可以得到第一次发射前的可靠度为

R1.0=e-λ1.0t1.0=e-0.017=0.984

(23)

(3)第一次发射后可靠度推算

第一次发射后的可靠度是由第一次发射前的可靠度与失效率的马尔可夫状态转移矩阵求得，过程如下：

假设：Q1.0表示第一次发射前的可靠性状态，

Q1.0=

(24)

其中，R1.0为第一次发射前的可靠度，根据式(23)得R1.0=0.984。

P1.0表示第一次发射任务过程的马尔可夫状态转移矩阵，在该矩阵中，状态2为吸收状态，状态转移到2状态(待维修状态)后，将不再转移到1状态(正常工作状态)，所以此时维修部分应取维修率为0，见图10。

图10 第一次发射过程(维修前)的马尔可夫状态转移过程Fig.10 Markov state transition during the first launch (before maintenance)

(25)

第一次发射过程的一次可靠性状态转移矩阵为

PR1.1=Q1.0P1.0

(26)

其中，R1.1为第一次发射完成后，且维修之前的可靠度；PR1.1是第一次发射过程的一次可靠性状态转移矩阵。根据矩阵的运算可得

PR1.1=

(27)

其中，R1.0为第一次发射前的可靠度，根据式(23)得R1.0=0.984。λ1为第一次发射过程的失效率，根据式(22)得λ1.0=0.017。Δt为1个有效单位时间，所以有

(28)

此时，第一次发射后的可靠性为

R1.1=R1.0(1-λ1.0Δt)=0.967

(29)

(4)第一次发射完成，维修前可靠度下降程度

经过第一次发射后，可靠度下降了(已知R1.0=0.984，R1.1=0.967)

ΔR1=R1.0-R1.1=0.984-0.967=0.017

(30)

2.2.2 基于马尔可夫过程的可重复运载火箭第二次发射过程解析

(1)第二次发射过程失效率的计算

第二次发射前的任务可靠度为R2.0=0.98。

假设：Q2.0表示第二次发射前的可靠性状态，

Q2.0=

(31)

根据可靠度的计算公式

R2.0=e-λ2.0t2.0

(32)

当t2.0为第二次发射过程的1个有效单位时间时

(33)

与第一次发射的失效率λ1.0=0.017比，第二次发射的失效率λ2.0比λ1.0高了

Δλ1=λ2.0-λ1.0=0.02-0.017=0.003

(34)

(2)第二次发射过程可靠性状态马尔可夫稳态分析(不考虑维修)

第二次发射任务过程的状态转移矩阵P2.0，其中2状态为吸收状态，如图11所示。

图11 第二次发射过程(维修前)的马尔可夫状态转移过程Fig.11 Markov state transition during the second launch (before maintenance)

(35)

(3)第二次发射过程可靠性状态转移求解

第二次发射过程的一次可靠性状态转移矩阵PR2.1为

PR2.1=Q2.0P2.0

(36)

其中，R2.1为第二次发射完成后，且维修之前的可靠度；PR2.1是第二次发射过程的一次可靠性状态转移矩阵。根据矩阵的运算可得

PR2.1=

(37)

其中，R2.0为第二次发射前的可靠度，已知R2.0=0.98。λ2.0为第二次发射过程的失效率，根据公式(33)得λ2.0=0.02。Δt为1个有效单位时间，所以有

(38)

此时，第二次发射后的可靠性为

R2.1=R2.0(1-λ2.0Δt)=0.96

(39)

(4)第二次发射过程可靠性降低程度

经过第二次发射后，的可靠度下降了(已知R2.0=0.98，R2.1=0.96)

ΔR2=R2.0-R2.1=0.98-0.96=0.02

(40)

(5)第二次发射后，考虑维修的稳态可用度求解

第二次发射状态转移图如图12所示。

图12 第二次发射过程(考虑综合维修情况)的马尔可夫状态转移过程Fig.12 Markov state transition process of the second launch process (considering comprehensive maintenance)

该图表示发射过程包括发射、维修两种状态，所以由状态转移图得状态转移矩阵

(41)

由式(7)可知小修维修率μ2.0小综=0.807，由式(33)得到的第二次发射过程失效率λ2.0=0.02时，则稳态时的可用度状态矩阵A2.0为

(42)

与第一次发射后回收并小修后的可用度A1.0(第二次发射前可靠度)相比，第二次发射后回收并小修后的可用度A2.0比A1.0=R2.0=0.98低

ΔA1=A1.0-A2.0

=0.98-0.976=0.004

(43)

注：第二次发射前的可靠度R2.0=0.98，可理解为：由第一次发射、回收、测试、维修后求得的稳态解A1.0，两者值相等，其中稳态解是可通过第一次发射过程的失效率与回收后的维修率求得。

2.2.3 基于马尔可夫过程的可重复运载火箭第三次发射过程解析

(1)第三次发射过程失效率的计算

第三次发射前的任务可靠度是由第二次发射后回收并小修的可用度A2.0得到，即

R3.0=A2.0=0.976

(44)

其中，Q3.0表示第三次发射前的可靠性状态

(45)

根据可靠度的计算公式

R3.0=e-λ3.0t3.0

(46)

当t3.0为第二次发射过程1个有效单位时间时

(47)

与第二次发射的失效率λ2.0=0.02比，第三次发射的失效率λ3.0比λ2.0高了

Δλ2=λ3.0-λ2.0=0.025-0.02=0.005

(48)

(2)第三次发射过程可靠性状态马尔可夫稳态分析(不考虑维修)

第三次发射任务过程的状态转移矩阵P3.0，其中2状态为吸收状态，如图13所示。

图13 第三次发射过程(维修前)的马尔可夫状态转移过程Fig.13 Markov state transition process during the third launch (before maintenance)

(49)

(3)第三次发射过程可靠性状态转移求解

第三次发射过程的一次可靠性状态转移矩阵PR3.1为

PR3.1=Q3.0P3.0

(50)

其中，R3.1为第三次发射完成后，且维修之前的可靠度；PR3.1是第三次发射过程的一次可靠性状态转移矩阵。根据矩阵的运算可得

PR3.1=

(51)

其中，R3.0为第三次发射前的可靠度，已知R3.0=0.976。λ3.0为第三次发射过程的失效率，根据式(47)得λ3.0=0.025。Δt为1个有效单位时间，所以有

(52)

此时，第三次发射后的可靠性为

R3.1=R3.0(1-λ3.0Δt)=0.951

(53)

(4)第三次发射过程可靠性降低程度

此时经过第三次发射后的可靠度下降了(已知R3.0=0.976，R3.1=0.951)

ΔR3=R3.0-R3.1

=0.976-0.951=0.025

(54)

(5)第三次发射后，考虑维修的稳态可用度求解

第三次发射状态转移图如图14所示。

图14 第三次发射过程(考虑综合维修情况)的马尔可夫状态转移过程Fig.14 Markov state transition process of the third launch process (considering comprehensive maintenance)

图14表示发射过程包括发射、维修两种状态，所以由状态转移图得状态转移矩阵

(55)

由式(7)可知大修维修率μ3.0大综=0.979，以及式(47)得到的第三次发射过程失效率λ3.0=0.025，则稳态时的可用度状态A3.0为

(56)

与第二次发射后回收并小修后的可用度A2.0=R3.0=0.976(第三次发射前可靠度)相比，第三次发射后回收并大修后的可用度A3.0比A2.0低

ΔA2=A2.0-A3.0

=0.976-0.975=0.001

(57)

2.2.4 基于期望寿命周期的可重复运载火箭RMT指标的计算分析

根据如上过程，总任务期望发射次数为10次，其中3次发射为一个任务轮次，每个任务轮次的维修水平分别设为小修、小修、大修，其中第二个任务轮次与第一次任务轮次计算过程相同，则结果如表2所示。

表2 基于期望寿命周期的可重复运载火箭RMT指标的数据分析表Tab.2 Data analysis table of RMT index of repeatable launch vehicle based on expected life cycle

3 结束语

本文综合运用了可靠性工程理论、可用度、马尔柯夫状态转移过程理论等等，设计了基于RMT的可重复运载火箭的稳态可用度解析模型，对可重复运载火箭的发射过程进行了解析。明确可重复运载火箭发射过程中的可靠性、维修性等参数，针对复杂装备的指标要求进行研究，建立了基于期望任务寿命的可重复运载火箭RMT指标参数规划模型，供可重复运载火箭参考。