水化-冻融耦合条件下大理岩蠕变损伤本构模型

赵越 司运航 张译丹 赵京禹

摘要：為描述岩石在水化-冻融耦合条件下的蠕变特性，以大理岩为试验对象，分别开展酸性、碱性、中性溶液与不同冻融循环条件下的单轴压缩蠕变及核磁共振试验，分析T₂（弛豫时间）谱分布和蠕变试验结果，并进行耦合损伤演化，得到一个新的考虑水化-冻融与应力耦合的蠕变损伤本构模型。结果表明：1）大理岩T₂谱表现为三个谱峰，岩石以大孔径孔隙为主。2）冻融循环作用促进大理岩孔隙发育，不同溶液环境对孔隙发育影响从大到小的关系为酸性、碱性、中性。3）分别构建水化-冻融和受荷损伤变量，从而建立耦合损伤变量。基于大理岩蠕变特性，确定蠕变基础模型，进行耦合损伤演化，得到新的水化-冻融耦合条件下的大理岩蠕变损伤本构模型。4）新建模型模拟大理岩三种溶液冻融循环50次的的平均R²达0.985 4，远高于基础模型平均R²（0.919 4），说明本文新建模型对三种岩石蠕变数据辨识效果更好。

关键词：水化-冻融；大理岩；核磁共振；蠕变；损伤；本构模型

doi：10.13278/j.cnki.jjuese.20230153

中图分类号：TU452

文献标志码：A

收稿日期：2023-06-23

作者简介：赵越（1995-），男，副教授，博士，主要从事地质资源与地质工程方面的研究，E-mail： zhaoyue9501@163.com

基金项目：国家自然科学基金项目（51774165）；中国科协青年托举工程项目（2023QNRC001）；2023年度辽宁省教育厅基本科研项目（青年项目）（JYTQN2023212））；辽宁省经济社会发展研究课题（2024lslqnrckt-017，2024lslybwzzkt-002）

Supported by the National Natural Science Foundation of China （51774165）， the Young Elite Scientists Sponsorship Program by CAST （2023QNRC001），the Basic Scientific Research Project of Liaoning Provincial Department of Education in 2023 （Youth Project） （JYTQN2023212） and the Economic and Social Development Research Project of Liaoning Province （2024lslqnrckt-017， 2024lslybwzzkt-002）

Creep Damage Constitutive Model of Marble Under

Hydration Freeze-Thaw CouplingZhao Yue^1，2，Si Yunhang¹，Zhang Yidan³，Zhao Jingyu³

1.  Mining Institute， Liaoning Technical University， Fuxin 123000， Liaoning， China

2. College of Innovation and Practice， Liaoning Technical University，Fuxin 123000， Liaoning， China

3. Chemical Geological Prospecting Institute of Liaoning Province Co. Ltd.， Jinzhou 121000， Liaoning， China

Abstract： To describe the creep characteristics of rocks under hydration freeze-thaw coupling conditions， uniaxial compression creep and nuclear magnetic resonance tests were conducted on marble under acidic， alkaline， neutral solutions and different freeze-thaw cycle conditions. T₂spectrum distribution and creep test results were analyzed， and coupled damage evolution was carried out. Finally， a new creep damage constitutive model considering the coupling of hydration freeze-thaw and stress was obtained. The results show that： 1） The T₂spectrum of marble exhibits three peaks， and pore in the rock is mainly composed of large size pores. 2） The freeze-thaw cycle promotes the development of pores in marble， and the influence degree of different solution environments on pore development from high to lower is acidic， alkaline， and neutral. 3） The hydration freeze-thaw and load damage variables were constructed to establish a new creep damage constitutive model of marble under the coupling conditions of hydration freeze-thaw. 4） The average R²of 50 freeze-thaw cycles of three different solutions of marble simulated by a new model is 0.985 4， while the average R²of the basic model is only 0.919 4.

Key words： hydration freezing-thaw; marble; nuclear magnetic resonance; creep; injury; constitutive model

0 引言

随着我国基建开发速度的提升，实际工作中越来越多地涉及到寒区岩体的工程建设问题^[1]。寒区岩石受地下水、化学、冻融、应力等因素的综合作用，蠕变现象明显，影响到工程建设安全，严重时可导致质量事故^[2-4]。蠕变本构模型是描述岩石蠕变特征的重要途径之一，若能建立考虑多因素的蠕变本构模型，可为多因素耦合作用下岩石蠕变研究提供必要参考。

目前前人针对水化学、冻融、应力因素的岩石蠕变特性试验已有一定的研究成果，如：丁梧秀等^[5]、吴洋^[6]、张峰瑞等^[7]、冯学志等^[8]分别开展了岩石在水化学、冻融及应力综合作用下的蠕变特性研究，得到了不同水化学、冻融作用下的蠕变规律；童庆闯^[9]、Li等^[10]、陈国庆等^[11]、宋勇军等^[12]、万亿等^[13]分别针对不同冻融、应力条件构建了岩石蠕变本构模型。目前针对水化学、冻融、应力因素已有相关岩石蠕变试验研究，但三者耦合蠕变模型研究则少见报道。

鉴于此，本文以大理岩为试验对象，进行水化-冻融耦合条件下蠕变损伤本构模型研究。首先开展酸性、碱性、中性溶液与不同冻融循环条件下的单轴压缩蠕变及核磁共振试验，分析T₂（弛豫时间）谱分布和蠕变试验结果，建立水化-冻融与受荷耦合损伤变量；然后基于大理岩蠕变特性，择取蠕变基础模型，进行耦合损伤演化，得到一个新的考虑水化-冻融与应力耦合的蠕变损伤本构模型；最后给出模型参数求取方法，分析损伤参数敏感性及损伤演化，并引入相关文献中石英岩和黄砂岩蠕变数据，采用所建模型辨识三种岩石蠕变曲线，对比验证所建模型的可行性和适用性，以期为水化-冻融耦合条件下大理岩蠕变本构模型研究提供有益参考。

1 试验设置与结果

1.1 试验工况设置

以鄂西北地区某露天边坡大理岩作为试验对象，现场凿取岩样，运回试验室后制作直径50 mm×高100 mm规格的岩石试样。在开展水化-冻融作用下的单轴蠕变试验前，水化学条件设为酸性、中性、碱性溶液（pH分别为3、7、11），冻融循环，循环次数分别为0、25、50和75次，冻结—融化温度设为-20～20 ℃，具体试验设置见文献[2]。

1.2 蠕变试验结果

蠕变试验结果如图1所示，限于篇幅，以酸性溶液为例^[2]。

由图1可看出，大理岩在不同工况下均表现出明显的三阶段特征，即初始受荷和增量加载的瞬间产生瞬时变形（阶段Ⅰ），然后经历衰减、稳定蠕变阶段（阶段Ⅱ），最后一级加载表现出加速蠕变阶段（阶段Ⅲ），大理巖样发生破坏，应变量规律分析见文献[2]。

1.3 核磁共振试验

图2为采用核磁共振技术得到的大理岩在不同工况下的T₂谱分布图。

由图2可看出，大理岩T₂谱分为三个谱峰，但不同工况下的T₂谱分布均不同，主要差异体现在T₂值和峰面积。由于T₂谱峰值与孔径大小成正比，峰面积与孔隙数量成正比^[14]；由此认为弛豫时间从小到大的三个谱峰分别对应小孔径、中孔径、大孔径的孔隙，且大理岩孔隙空间结构以大孔径孔隙为主。

在同一种溶液环境下，随着冻融循环次数的增大，T₂谱三个谱峰的面积均递增，由此说明冻融循环作用对大理岩内部结构的孔隙发育起一定的促进作用。在同一冻融循环次数下，三种溶液环境下的第一峰、第二峰的峰面积差距不大，第三峰的峰面积从大到小为酸性、碱性、中性，这说明酸性溶液对孔隙发育的促进作用最强，碱性次之，中性最弱。

综合分析认为，大理岩在不同溶液环境、冻融循环次数下，孔隙发育表现出一定规律性，岩石内部结构发生损伤，导致岩石力学性能发生变化。

2 岩石蠕变损伤模型

2.1 损伤变量

大理岩是碳酸盐类岩石经变质而成的岩石，受温度、水、自然风化等外界影响，在荷载作用下致使岩石材料力学性能衰退，这种导致性能衰退的岩石内部变化即为损伤发展的过程^[15]。本研究中的大理岩首先经历了不同程度的水化-冻融作用，接着经受了不同应力作用，在水化-冻融及应力作用下，大理岩的内部微结构发生变化，损伤不断累积，蠕变效应增强，岩石力学性能衰减。利用蠕变损伤模型来描述大理岩的损伤和蠕变发展无疑是一条有效途径，在此之前，应先定义损伤变量，对大理岩损伤发展进行量化。

由于大理岩受水化-冻融及应力作用影响，岩石内部均产生了损伤，故应考虑不同因素共同作用下的耦合损伤。令岩石微单元总数量为A，A的组成为

A=A₁+A₂+A₃。    （1）

式中：A₁为未受损单元数量；A₂为受应力作用影响的受损单元数量；A₃为受水化-冻融作用影响的受损单元数量。由于大理岩是先在水化学溶液浸泡，接着再进行冻融循环，受这两种作用影响的受损单元会有共同损伤部分，无法单独定义，故本文将水化-冻融简化为一种附加在岩石上的整体作用。

按照损伤单元数量占比，将不同因素作用下的耦合损伤变量D定义为

假设岩石在水化-冻融作用下受损部位已损坏，该部位在应力作用下不再发生损伤，根据不同受损单元占总单元数量的比例，将A₃与A的比值定义为水化-冻融损伤变量D_w，将A₂与（A-A₃）的比值定义为受荷损伤变量D_s，即

联合式（2）（3）得

D=D_w+D_s-D_wD_s。     （4）

式（4）即为本文建立的反映水化-冻融和应力共同作用的耦合损伤变量。水化-冻融和应力对岩石的损伤机理是不一样的，前者更偏向于“物理化学”范畴，后者偏向于“时效力学”范畴。由于本文已假定岩石内部已损部位不再重复受损，水化-冻融损伤和受荷损伤在未损区域持续反馈调整，使得岩石内部结构不断劣化，造成力学性质衰减。

根据文献[16-17]，岩石在水化-冻融作用下，弹性模量衰减较明显，而损伤力学理论中亦有基于弹性模量变化的损伤定义方式，故将D_w定义为

D_w=1-E_w/E₀。    （5）

式中，E₀、E_w分别为岩石水化-冻融前后的弹性模量，通过单轴压缩试验确定。

根据文献[18]，弹性模量随时间增长表现出指数型衰减规律，故将式（5）改写为

D_w=（E₀-E_w）（1-e^-δt）/E₀。    （6）

式中：δ为时效损伤相关参数；t为时间。令E₀=15 GPa，E_w=3 GPa，代入式（6）得到D_w演化曲线，如图3所示。

由图3可看出：随着时间推移，D_w先逐渐（或迅速）增长再趋于稳定；δ决定D_w的增长速率，δ值越小，损伤累积速率越慢。综合来看，式（6）较为灵活，D_w取决于岩石水化-冻融前后的弹性模量，δ控制损伤累积速率，利用式（6）描述水化-冻融损伤是可行的。

岩石在长期外界应力作用下，内部颗粒错位，裂隙发育甚至贯通，微结构在一定时间段内发生随机性变化，岩石内受荷损伤区域随机分布。基于这种时效损伤的随机性，引入概率分布的思路，假定岩石受荷损伤遵从Weibull概率密度分布，则时效损伤概率密度函数φ（t）为

φ（t）=（m/α）（t/α）^m-1exp-（t/α）^m。    （7）

式中，α和m为与岩石性质有关的随机变量。对式（7）积分可得

式（8）即为D_s的损伤演化表达式。

将式（6）（8）代入式（4）變形可得

D=1-（2E₀-E₀e^-δt-E_w-E_we^-δt）·（1/E₀）exp-（t/α）^m。    （9）

式（9）即为耦合损伤变量D的损伤演化表达式。

2.2 蠕变模型建立

在图1对每一级加载0.1～60.0 h的过程中，其中第0.1 h时刻对应的是0 h的瞬时加载点，择取7个数据点绘制等时应力-应变曲线，通过取拐点确定长期强度σ_p，如图4所示，以酸性环境冻融循环50次为例^[2]。

由图4可看出，第0.1 h时刻的曲线呈线性，10.0～60.0 h的曲线簇呈非线性，且随着时间推移，曲线的非线性“偏转”增大；这说明大理岩在加载瞬间，应变对应力的瞬时响应是弹性的。根据蠕变元件模型理论^[19-20]，可通过一个弹簧体（H体）来描述岩石瞬时弹性变形。通过图4中10.0～60.0 h呈非线性状态的曲线簇，可认为岩石蠕变三阶段均具有非线性特征：当岩石发生衰减蠕变行为，应变率ε·>0（ε为应变，上标圆点表示ε对t的一阶导数）；进入稳定蠕变阶段后ε·=0，此时岩石应变表现出黏性和黏弹性，其中黏性性质可用一个牛顿体（N体）描述，黏弹性可用H和N体并联的结构（H/N）来表征。通过取拐点的方法得到大理岩在酸性环境冻融循环50次下的长期强度为38.34 MPa，低于第三级加载应力40.75 MPa；这说明当应力超过长期强度后，存在岩石并未发生屈服的情况，此时岩石仍处于稳定蠕变阶段，但应变表现为黏塑性，故可采用具有开关功能的黏塑性体（N/S）。当岩石应力超过长期强度σ_p且达到一定水平时，岩石会发生加速蠕变，短时间内岩石屈服，这里仍用黏塑性体进行描述。总结以上分析，得到大理岩蠕变模型选用示意图，如图5所示。

由图5可看出，应变由三部分组成，其中：区域①中瞬时弹性应变ε_e服从Hooke定律；区域中②中黏性和黏弹性应变之和记为ε_ve，以H-H/N结构模型描述；区域③中黏塑性应变ε_vp通过N/S结构模型表征。值得注意的是，文献[4，15]中σ_p均低于倒数第二级加载应力，本文大理岩的σ_p亦低于倒数第二级加载应力，但大理岩属于硬岩，其倒数第二级稳态蠕变曲线的ε·近乎于0，而一般软岩存在倒数第二级稳态蠕变曲线ε·>0的情况，其蠕变曲线处于区域③内，这可能由于硬岩和软岩的结构性质差异，导致硬岩蠕变变形的黏塑性行为弱于软岩。

串联图5中元件，得到H-N-H/N-N/S结构，将其作为大理岩的基础蠕变模型，如图6所示。

为方便计算，在图6中将区域①—③分解为4个部分，根据元件模型理论，图6模型的状态方程为：

式中，E为弹性模量。

解析式（10）得

式（11）即为蠕变基础模型的一维本构方程，当σ≥σ_p时，〈σ-σ_p〉变为（σ-σ_p）；当σ<σ_p时，〈σ-σ_p〉为0。

假设大理岩经历各向同性损伤，其初始力学参数M经历发生损伤劣化，表示为

M（X）=M（δ，α，m，t）=M（1-D）。    （12）

式中，M（X）为损伤后的力学参数。式（9）中，影响D的参数为δ、α、m和t，为方便描述，由X表示损伤相关变量。

将式（12）和（9）同时代入式（11）得：

式（13）即为本文水化-冻融耦合条件下的岩石一维蠕变损伤本构方程。

3 模型验证

3.1 参数求解

1）参数E₁

根据Hooke定律，结合蠕变曲线，计算应力与瞬时应变的比值即可得E₁。

2）参数E₀、E_w

E₀、E_w通过单轴压缩试验确定。统计E₀、E_w绘制曲线，以酸性溶液工况为例，结果如图7所示。

由图7可看出，在同样溶液环境下，弹性模量随着冻融循环次数n的增加而递减，在同一n值情况下，弹性模量从小到大关系为酸性、碱性、中性。取n=0时的弹性模量作为E₀，根据循环次数可确定E_w。当n=0时，E_w=E₀，D_w=0，参数δ无解，不影响损伤计算，此时D=D_s。

3）长期强度σ_p

通过图4中等时应力-应变曲线，通过取拐点确定长期强度σ_p，当σ≥σ_p时，岩石黏塑性应变累积，最后一级加载下发生加速蠕变。

4）参数η₂、η₃、η₄、E₃、δ、α和m

当加载应力低于σ_p时，式（13）中开关无效。当加载应力超过σ_p时，式（13）中开关生效，采用数学软件1stOpt，基于BGFS（Broyden Fletcher Goldfarb Shanno）算法进行非线性拟合，得到模型参数。值得注意的是，参数δ、α和m是耦合损伤变量的参数，由于损伤发展是一个持续过程，每一级加载均会导致损伤累加，故取不同应力水平下δ、α和m的平均值作为参数计算。

3.2 模型辨识

采用式（13）辨识大理岩不同工况下的蠕变曲线，同时选取图6基础模型作为验证对比，得到辨识对比曲线如图8所示，基础模型参数见表1，新建模型参数见表2。

限于篇幅，图8和表1仅以酸性、碱性和中性溶液环境下冻融循环50次为例。

根据数学软件1stOpt计算结果可知：基础模型对未发生加速蠕变的曲线辨识能力尚可，三种溶液冻融循环50次未发生加速蠕变的平均R²为0.959 3；基础模型对最后一级蠕变曲线辨识效果较差，平均R²仅有0.786 4；基础模型对三种溶液冻融循环50次全部蠕变曲线的平均R²为0.919 4（表1）。由图8可看出，在三种溶液下，基础模型模拟应变值大多数情况下低于本文新建模型模拟值。本文新建模型对不同工况下大理岩蠕变曲线的辨识能力较强，由表2计算得知三种溶液冻融循环50次平均R²达0.985 4；说明新建模型克服了传统模型难以精确模拟加速蠕变行为的困难，能较为准确地描述大理岩在不同水化-冻融工况下的蠕变特性。

3.3 损伤参数敏感性

损伤参数δ、α和m决定了大理岩耦合损伤累积，分别取不同的δ、α和m值，将表1中除该值以外其余参数代入式（13），可绘制不同δ、α和m值的蠕变曲线，如图9所示，以酸性溶液冻融循环50次的最后一级加载为例。

由图9a可看出，参数δ主要影响蠕变曲线的衰减、稳定阶段的曲线形态，不影响加速蠕变阶段的应变率和应变值。δ值越大，衰减蠕变阶段的应变率越高。

由图9b可看出，参数α主要影响进入稳定蠕变阶段的持续时间和加速蠕变阶段的时间及应变率，不影响衰减蠕变阶段。α值越大，稳定蠕变阶段持续时间越长，岩石越慢地进入加速蠕变阶段，该阶段应变率递减越小。

由图9c可看出，参数m同时影响蠕变三阶段，不同的m值对应不同的曲线形态，m值越大，曲线逐渐向应变轴靠拢，应变值越小。

综合图9可看出，损伤参数δ、α和m的取值对岩石蠕变三阶段曲线模拟影响明显，使得蠕变曲线更为灵活，对于描述岩石蠕变曲线这种非线性曲线具有一定优越性。

3.4 损伤演化分析

取t为某一种工况的试验总历时（图1），同时将表1中损伤参数δ、α和m代入式（9），得到耦合损伤变量D随t的累积曲线，如图10所示。以不同溶液冻融循环50次為例。

由图10可看出，D随t的增长而递增，当t增长到某一阈值点t_e时，D趋于平衡，大致判断酸性、碱性和中性溶液的t_e分别为140、155和235 h。同样时刻点下，不同溶液下的D值从大到小表现为酸性、碱性、中性，t_e值从小到大表现为酸性、碱性、中性；这说明酸性溶液环境下岩石损伤累积更快，碱性次之，中性最慢。值得一提的是，t_e在岩石倒数第二级加载时间范围内，该级加载的应力刚好超过长期强度σ_p；这表明此时岩石内部微缺陷大量发育、扩展甚至局部贯通，接着在最后一级加载下便发生屈服破坏。

3.5 模型适用性

为验证本文模型适用性，引用文献[7-8]中石英岩、黄砂岩在不同溶液环境不同冻融循环条件下的蠕变数据，采用本文新建及图6中模型进行对比辨识，得到模拟曲线，如图11所示，由于文献[7-8]为三轴压缩蠕变试验，模型辨识时，将偏应力替换式（13）中的σ。

由图11中的模型值与试验数据吻合程度来看，图6模型难以描述岩石不同工况下的加速蠕变行为，平均R²仅有0.735 2，而本文新建模型能较精准辨识不同形态的蠕变曲线，平均R²达0.891 4；这说明本文新建模型对不同水化-冻融条件下的岩石蠕变模拟具有一定的适用性。

4 结论

1）大理岩T₂谱表现为三个谱峰，岩石以大孔径孔隙为主。冻融循环作用的增强促进孔隙发育，化学溶液对孔隙发育影响从大到小为酸性、碱性、中性。

2）分别构建水化-冻融和受荷损伤变量，从而建立耦合损伤变量。基于大理岩蠕变特性，确定蠕变基础模型，进行耦合损伤演化，得到新的水化-冻融耦合条件下的大理岩蠕变损伤本构模型。

3）给出模型参数求取方法，进行损伤参数敏感性及损伤演化分析，采用所建模型辨识三种岩石蠕变曲线，发现所建模型模拟值与试验数据吻合较好，证明所建模型的可行性。

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