煤矿倾斜地层瞬变电磁加权横向约束反演

高小伟 苏超 庞少东

摘要：傳统的单点一维反演是煤矿瞬变电磁数据处理与解释应用最广泛的技术方法，然而，实际地层往往存在一定倾角，当地层倾角较大时，基于单点水平层状模型的一维反演方法将不再适用，无法准确还原倾斜地层的电性分布特征。为此，针对煤矿瞬变电磁探测点距小、沉积地层地下电性结构相对连续的特点，本文采用加权横向约束反演（weighted laterally-constrained inversion， WLCI）方法，将相邻测点地电参数的差异作为约束项加入目标函数，对层界面的深度进行约束，同时引入加权因子控制约束强度，反演过程尽可能使相邻测点反演剖面具有横向的连续性以及纵向的光滑性。首先，阐述了瞬变电磁一维正、反演原理，并对WLCI计算过程进行了详细介绍。然后，建立了2组不同倾斜角度的H型与K型模型进行测试，分析加权因子对反演结果的影响。与传统的一维反演结果相比，WLCI通过建立层参数和深度加权约束方程并合成总的反演方程，是一种拟二维的反演方法，反演的电阻率剖面横向及纵向连续性好，与实际模型的吻合度较高，验证了反演方法的有效性。最后，实测数据的反演结果显示，WLCI可以准确还原倾斜地层的电性分布，反演结果与实际地质资料吻合。

关键词：倾斜地层；瞬变电磁；一维反演；加权横向约束反演；拟二维反演

doi：10.13278/j.cnki.jjuese.20230025

中图分类号：P631

文献标志码：A

收稿日期：2023-02-15

作者简介：高小伟（1977-），男，高级工程师，硕士，主要从事煤田电磁勘探研究工作，E-mail：gaoxiaowei@cctegxian.com

通信作者：苏超（1991-），男，博士研究生，主要从事电磁法正反演理论研究，E-mail：suchao21@jlu.edu.cn

基金项目：陕西省自然科学基础研究计划重点项目（2022JZ-16）

Supported by Shaanxi Provincial Natural Science Basic Research Program （2022JZ-16）

Transient Electromagnetic Weighted Laterally-Constrained

Inversion of Inclined Strata in Coal MineGao Xiaowei¹， Su Chao²， Pang Shaodong¹

1. Xian Research Institute Co.， Ltd.， China Coal Technology and Engineering Group Corp.， Xian 710077， China

2. College of GeoExploration Science and Technology， Jilin University， Changchun 130026， China

Abstract： The traditional single-set one-dimensional（1D） inversion is the most widely used technique for the processing and interpretation of transient electromagnetic data in coal mines. However， this approach becomes inadequate when the stratum exhibits a significant dip， as the single-set horizontal layered model fails to accurately represent the electrical distribution characteristics. To address this limitation， we employ the weighted laterally-constrained inversion method to constrain the layer interface depth and incorporate the difference in geoelectric parameters between adjacent measurement points into the objective function as a constraint term. We describe the transient electromagnetic 1D forward and inversion theory， and detail the inversion method with weighted lateral constraints. The influence of the weighting factor on inversion results is analyzed using the H-type and K-type models with varying inclinations. Compared with  the traditional 1D inversion， the weighted laterally-constrained inversion is a pseudo-2D inversion method by establishing   layer parameters and  depth-weighted constraint equations  and synthesizing total inversion equations. The obtained resistivity profiles exhibit strong agreement with actual models and demonstrate good longitudinal and transverse continuity. The employed method effectively restores the electrical distribution of inclined strata， and the inversion results match the actual geological data.

Key words： inclined strata；transient electromagnetic；one-dimensional inversion；weighted laterally-constrained inversion；pseudo-2D inversion

0 引言

瞬变电磁法是一种基于电磁感应原理的地球物理勘探方法^[1]，通过在地面布设不接地的发射回线，供以阶跃电磁脉冲信号，形成一次场，激励地下介质及异常体产生随时间变化的感應电磁场（二次场），通过对二次场信号进行处理与解译，探测地下良导矿体或解决地质问题^[2]。该方法工作装置灵活且施工效率高，同时对低阻体的分辨能力强，已广泛应用于金属矿探查^[3]、煤矿隐蔽水害地质体探测^[4]、水文地质调查^[5]以及工程勘察^[6-8]等领域。

早期的瞬变电磁数据解译方法是一种基于“烟圈”理论^[9]的近似方法，通过定义视电阻率并计算“烟圈”的扩散深度（视深度），获得相对近似的视电阻率拟断面图。这种方法反演结果精度低，仅适合初步解释工作，视电阻率定义方法的不同会导致结果存在较大差异，给解释工作带来困难。为获取更加准确的地电模型，目前，最常用且最有效的处理方法仍是基于水平层状模型的一维反演方法，以引入模型约束的正则化阻尼最小二乘^[10]和Occam^[11]反演方法为主，通过在目标函数中添加惩罚函数项，利用不同的算子最小化观测数据和模型响应之间的差异，获得稳定且唯一的解；正则化思想增加了反演参数模型的约束信息^[12]或者先验信息^[13]，降低了反演的多解性，同时增强了反演的稳定性。传统的一维反演方法均是基于水平层状模型，而实际地层往往存在一定倾角。当地层倾角较小时，一维反演仍具有一定的适应性^[14];当地层倾角较大时，水平层状模型将无法模拟实际二、三维的地质体分布，需采用更高维的反演方法，但由于巨大的灵敏度矩阵运算，实际的应用效果并不理想。

为准确、快速地获得地下电阻率分布，Auken等^[15]于2000年提出横向约束反演（lateral constrained inversion， LCI）方法，主要思想是利用横向约束稀疏矩阵将单点反演转变为多测点的集合反演，保证反演剖面的横向连续性，是一种拟二维的反演方法；2004年，Auken等^[16]利用Broyden方法对雅克比矩阵进行更新计算，优化了二维LCI反演；同年，Santos^[17]利用LCI方法获得了高质量的EM34反演剖面；2008年，Auken等^[18]在古河道勘查中利用LCI方法对瞬变电磁数据进行处理，取得了较好的应用效果；2009年，Siemon等^[19]利用LCI方法处理直升机吊舱数据，有效提高了剖面的横向连续性；2014年，蔡晶等^[20]提出了加权横向约束反演（weighted laterally-constrained inversion， WLCI）方法，并用于反演计算频率域航空电磁数据，根据先验信息实现了剖面不同程度的横向连续性；2016年，殷长春等^[21]将WLCI的思想应用于时间域航空瞬变电磁反演，得到了优于单点反演的反演结果；2022年，张继峰等^[22]采用横向约束的思想，有效减少了广域电磁法反演剖面的横向不连续性；2022年，陆俊涛等^[23]基于链式法则求取雅可比矩阵的解析公式，提高了反演计算速度，并利用WLCI方法反演了4个航空瞬变电磁响应中的激电参数。

本文针对煤矿瞬变电磁工程勘探点距小、数据采样相对密集，沉积地层相邻测点地下电性结构相对连续的特点，基于横向约束的思想，采用电阻率和层厚度横向约束以及深度约束，提高反演断面的横向及纵向连续性，实现煤矿倾斜地层瞬变电磁数据的WLCI；与传统反演方法进行对比，证明方法的有效性；通过理论模型测试，确定加权因子的选取原则；随后对黑龙江某矿区的实测数据进行反演，验证方法的应用效果。

1 回线源瞬变电磁一维正反演理论

1.1 一维正演

为获得回线源激发条件下的瞬变电磁时间域响应，需要先求解其频率域响应，再通过傅里叶变换计算得到时间域响应。假设水平层状共有N层，各层的电导率和厚度为σ_i和h_i（i=1，2，…，N），h_N→∞。求解置于地表（h=0）的回线源任意位置的瞬变电磁响应时，首先将回线源剖分成若干个电偶极子，计算各电偶极子产生的频率域响应。然后通过矢量叠加以及求和，即可获得回线源在地表产生的频率域响应。在准静态的柱坐标系中，位于地表任意位置的电磁场B_z分量在频率域中的解析表达式如下：

其中：

式中：C为电偶极子数目；P_Ej为第j个电偶极子的磁矩；μ₀为真空磁导率；φ_j为第j个电偶极子与测点间的夹角；J₁（λr_j）为一阶第一类贝塞尔函数；r_j为测点与第j个电偶极子的距离；λ为积分变量；ω为角频率。最后，将式（1）进行余弦变换^[24]即可获得回线源激发条件下的瞬变电磁时间域响应。

1.2 一维反演

在进行瞬变电磁一维反演计算时，确保观测数据与模型数据之间的拟合差达到极小的同时，需满足反演模型的粗糙度达到极小。根据最小二乘的思想，反演的目标函数可表示为

其中，

R=‖P·m‖²。    （4）

式中：R为反演模型的粗糙度；μ为阻尼因子；W=diag1/ε₁，1/ε₂，…，1/ε_M，为数据的协方差矩阵，ε_k（k=1，2，…，M）为第k个数据的标准差；d_obs为瞬变电磁框内任意测点的实测数据；F为瞬变电磁一维正演算子；m为反演模型参数向量；X²_∞为反演所要求达到的拟合差；P为单位矩阵，其形式为

为计算U_m极小值对应的模型参数修正量Δm，对式（3）中的m求偏导数，并取sU_m=0，即可获得

（WJ）^TWJ+μP^TPΔm=（WJ）^TWΔd。    （6）

式中：Δd为模型响应与实测数据的残差；J为雅可比矩阵，其元素为J_ij=?F_i[m]/?m_j（F_i、m_j分别为F、m中的元素）。

2 WLCI理论

2.1 电阻率和层厚度横向约束

根据1.2节所述，传统的单点一维反演基于水平层状模型，相邻测点容易出现横向不连续的问题，难以适用于倾斜地层的计算，为此引入Auken等^[15]提出的LCI拟二维横向约束反演的思想，将相邻测点地电参数的差异作为约束项加入目标函数。假设

R_pm-e_rp=0。    （7）

式中：e_rp为相邻测点间模型参数的差异；R_p为横向约束的稀疏矩阵，可表示为

其中：

S=（M-1）（2N-1）；T=M（2N-1）。    （9）

式中，M为测点数目。将式（7）两边减去R_pm₀可得

R_pΔm=Δr_p+e_rp。    （10）

其中：

Δr_p=-R_pm₀；Δm=m-m₀。    （11）

式中，m₀为参考模型参数向量。在实际反演中，通过引入加权因子ξ实现WLCI，从而调整各层的横向光滑程度。因此式（10）可改写为

R^′_pΔm=Δr^′_p+e^′_rp。    （12）

其中：

R^′_p=W_pR_p；Δr^′_p=-R^′_pm₀；e^′_rp=W_pe_rp。    （13）

式中，W_p为横向约束加权矩阵，等价于加权因子乘以矩阵（8）相应的行。加权因子的大小决定了反演的光滑程度，需参考参数的光滑度及实际所需而定。

2.2 深度约束

为保证多层模型层界面间的光滑程度及连续性，需对各层界面的深度进行约束。同样，根据Auken等^[15]的理论，可得

R_tm-e_rt=0。    （14）

式中：e_rt为相邻测点层界面的深度差异；R_t为深度约束矩阵，表示为

R_t=0M_t0_S×T。    （15）

其中：

式中，h_k，i、t_k，i为分别第k个测点位置第i层的厚度和下界面深度。

同样，引入加权因子ξ来调整各层界面间的连续性，因此式（14）改写为

R^′_tΔm=Δr^′_t+e^′_rt。    （17）

相应地，

R^′_t=W_tR_t，Δr^′_t=-R^′_tm₀，e^′_rt=W_te_rt。    （18）

式中，W_t為纵向约束加权矩阵。

2.3 反演方程及最小二乘解

综上，WLCI的总体反演方程为

对式（19）进行简化，可得

W^′Δm=Δd+e。    （20）

式中：W^′为系数矩阵；e为简化后相邻测点及层界面之间的差异。结合前述一维反演方法，得到如下反演方程：

（W^′TW^′+μP）Δm=W^′TΔd。 （21）

采用奇异值分解（singular value decomposition， SVD）法对W^′进行分解：

W^′=DΛV^T。    （22）

式中：D和V分别为数据和参数矩阵；Λ为奇异值矩阵。将式（22）代入式（21）可得其解为

Δm=V（Λ²+μP）^-1ΛD^TΔd。    （23）

针对最优的阻尼因子的选取，我们采用蔡晶等^[20]所提到的方法。在实际反演计算时，首先给定初始模型，然后利用式（23）进行迭代计算，直到目标函数U_m满足要求。具体反演流程见图1。在反演计算的过程中，采用相同的加权因子控制电阻率和层厚度的横向约束以及深度约束强度。

3 反演算例

3.1 理论数据反演

为验证WLCI方法的有效性，我们首先建立理论模型对反演方法进行测试，并与传统一维反演（最小二乘与Occam）结果进行对比。构建的理论模型如图2所示。针对倾斜层状地层，设计了2组不同倾角的典型H型与K型模型，地层倾角纵横分别为1∶6与1∶3。背景电阻率均为100 Ω·m，H型倾斜地层模型中的低阻层电阻率为10 Ω·m，K型倾斜地层模型中的高阻层电阻率为1 000 Ω·m。发射采用600 m ×600 m的矩形回线，点距20 m，发射电流均为1 A，最大采样时间为10 ms。采用1.1节所阐述的正演方法计算各测点的瞬变电磁时间域响应以及对应的均匀半空间响应。

图3显示了不同测点位置及均匀半空间的单点电压衰减曲线。在x=40 m处，模型中的高、低阻层埋深浅；在x=560 m处，模型中的高、低阻层埋深大（图2）。对比图3a、b可以看出：相对于均匀半空间，H型倾斜地层模型衰减曲线的中期及晚期幅值较大，显示出明显的低阻特征；随着低阻层埋深的增大，早期幅值与均匀半空间趋于一致，低阻响应明显推后。对比图3c、d可以看出：相对于均匀半空间，K型倾斜地层模型中的高阻层埋深较浅时，单点衰减曲线早期衰减快，反映出高阻的电性特征，晚期幅值与均匀半空间趋于一致，显示出背景地层的电性特征；随着高阻层的埋深增大，单点衰减曲线幅值较小的特征出现在中期，晚期幅值与均匀半空间基本一致，趋于背景地层的响应。

图4为最小二乘、Occam及不同加权因子WLCI的单点反演结果以及拟合差曲线。反演初始模型均为均匀半空间，电阻率为100 Ω·m。Occam反演时，本文采用黄金分割法^[25]选取阻尼因子。对于H型倾斜地层模型：当地层倾角较小时，最小二乘、Occam以及WLCI均能较好地反映出地层的电阻率（图4a）；但当地层倾角较大时，传统一维反演曲线浅部与真实模型电阻率存在明显差异，而WLCI曲线首端和尾端趋近于第一层和最后一层的真实电阻率，与低阻层吻合度较高（图4c）。对于K型倾斜地层模型，传统一维反演效果均较差，反演的高阻层埋深与给定模型偏差较大，浅部与模型电阻率不吻合，而WLCI反演效果较好（图4e、g）。K型倾斜地层模型单点衰减曲线高阻层的幅值特征不明显，且传统一维反演未考虑数据的横向连续性，是造成上述现象的主要原因。而WLCI作为一种拟二维反演，考虑了数据的横、纵向连续性，可以较好地还原倾斜地层的电阻率分布特征（图4a、c、e、g）。最小二乘、Occam及不同加权因子WLCI的单点反演反演拟合差曲线（图4b、d、f、h）表示反演计算过程收敛，可以很好地拟合观测数据，且反演收敛速度快。

对比不同横纵比倾斜地层模型的电阻率反演结果（图5—图8）可以看出：1）传统一维反演以及WLCI均能反映出地下三层电性结构。2）当地层倾角较小时（纵横比1∶6）：传统一维反演对于H型倾斜地层模型中的低阻层反映较好，但层界面粗糙，横向连续性差，Occam反演的电阻率连续性与最小二乘法相比差异不大（图5a、b）；对于K型倾斜地层模型，传统一维反演无法获得连续的高阻层，埋深较大处反演的高阻层变薄，且电阻率减小（图6a、b）。3）当地层倾角较大时（纵横比1∶3），传统一维反演结果与实际模型偏离较大：对于H型倾斜地层模型，浅部出现虚假异常，低阻层埋深较大处，反演的电阻率增大且层变厚（图7a、b）；对于K型倾斜地层模型，高阻层特征不明显，反演结果已不能代表实际地层的电性特征（图8a、b）。4）采用WLCI方法所获得的电阻率横向分布均匀，层界面明显且连续，均能较好地反映出倾斜地层的电性分布特征，但反演的高阻层比实际模型略厚（图5c、d，图6c、d，图7c、d，图8c、d）。对于倾角较小的地层，加权因子的大小对于反演结果影响不大，当增大加权因子，地层横向更为连续（图5c、d，图6c、d）；对于倾角较大的地层，增大加权因子时，虽然反演的电阻横向更加连续、光滑，但反演的目标层深部与实际模型存在一定偏差（图7c、d，图8c、d）。5）WLCI结果受到加权因子的影響，加权因子过大，反演的电阻率横向平均严重，可能消除真实异常；加权因子太小，对反演的约束作用较小。在实际反演时，可根据实际的地质条件来选取加权因子，对于成层性较好的沉积地层：当地层倾角较小时，加权因子可适当增大；当地层倾角较大时，加权因子应适当减小。根据理论模型的反演计算的经验，加权因子不宜过大，合适的选取范围为0～1。

3.2 实测数据反演

为了进一步验证横向约束反演的有效性，我们选择黑龙江地区某煤矿采集的实测数据进行反演。选取26测线0—1200段1—61测点数据进行反演计算，测点距20 m。本区内W2钻孔三侧向电阻率测井曲线如图9所示，其中煤层（4煤、5煤）均反映为高阻的特征。图10为实测数据一维反演以及WLCI结果。初始模型为电阻率为100 Ω·m的21层模型，WLCI加权因子选择为0.5。

从图10可以看出：1）单点最小二乘反演、Occam一维反演以及WLCI均反映出地下4层的电阻率结构，成层性较好，反映出煤系沉积地层的特点。浅部为第四系，平均厚度约45 m，岩性以电阻率较低的砂、砾黏土为主。第四系下部为下白垩统穆棱组，岩性以深灰色粉砂岩、浅灰色细砂岩以及中粒砂岩为主，夹薄层泥岩及凝灰岩，底部发育一层厚度不等的中—粗粒砂岩，电阻率较高，厚度随地层倾角变化，在煤层埋深较大处变厚。向下进入城子河组，由灰—灰白色的砂岩与深灰色或黑色的粉砂岩、薄层泥岩以及凝灰岩等组成。城子河组上部为灰黑色砂质页岩及薄层灰白色细砂岩，电阻率较低；城子河组下部为本区的主要含煤地层，岩性以煤层及凝灰岩为主，电阻率较高。因此，测区内地层由浅至深表现为“低-高-低-高”共4层的电性变化规律，与24号测点附近的W2钻孔三侧向电阻率测井结果一致。2）图10a与图10b的反演结果基本一致，其中Occam一维反演电阻率分布更为连续，但反演结果仍近似水平，与实际地层倾角不吻合，严重影响资料解释的可靠性。3）采用WLCI方法进行反演计算，反演过程中同时加入了电阻率层界面以及深度约束，使得相邻测点反演剖面具有横向及纵向的连续性，反演的电阻率剖面可以反映出地层的实际倾角（图10c），且与已知的电阻率测井资料吻合。由此得出结论：WLCI作为一种拟二维的反演方法，可以改善反演断面的连续性，较好地还原倾斜地层的电性分布。

4 结论

1）本文系统阐述了回线源激发条件下瞬变电磁的正演及加权横向约束反演理论，通过理论模型及实测数据测试，实现了适用于倾斜地层的瞬变电磁数据加权横向约束反演方法。与传统的单点一维反演相比，该方法反演的电阻率分布连续，界面光滑，可有效压制虚假异常。

2）煤矿瞬变电磁勘探点距小、数据采样相对密集，且沉积地层相邻测点地下电性结构相对连续，可充分发挥WLCI提高反演连续性的特点。理论和实测数据表明，WLCI处理倾斜地层瞬变电磁数据效果较好。

3）反演结果受加权因子影响：加权因子过大，反演的电阻率横向平均严重，可能消除真实异常；加权因子太小，对反演的约束作用较小。对于煤矿等沉积地区近层状的倾斜地层，选取的加权因子一般不大于1。在实际反演中，可参考钻孔或其他相关地质资料确定合适的加权因子。

4）WLCI作为一种拟二维反演方法可处理倾斜地层等地电模型，为三维反演提供更合理的初始模型。

参考文献（References）：

[1]蒋邦远．实用近区磁源瞬变电磁法勘探[M]．北京：地质出版社，1998．

Jiang Bangyuan．Applid Near Zone Magnetic Source Transient Electromagnetic Exploration[M]．Beijing：Geological Publishing House，1998．

[2]薛国强，李貅，底青云．瞬变电磁法理论与应用研究进展[J]．地球物理学进展，2007，22（4）： 1195-1200．

Xue Guoqiang，Li Xiu，Di Qingyun．The Progress of TEM in Theory and Application[J]．Progress in Geophysics，2007，22（4）： 1195-1200．

[3]蒋富鹏．金属矿勘探中的瞬变电磁应用研究[D]．成都：成都理工大学，2014．

Jiang Fupeng．The Study About Transient Electromagnetic Method in Metallic Ore Exploration[D]．Chengdu：Chengdu University of Technology，2014．

[4]刘最亮，王鹤宇．大定源瞬变电磁法在含水断层构造探测中的应用[J]．煤田地质与勘探，2012，40（5）： 67-70．

Liu Zuiliang，Wang Heyu．Application of Transient Electromagnetic Method in the Detection of Water-Bearing Fault Structure[J]．Coal Geology & Exploration，2012，40（5）： 67-70．

[5]张胤彬，张華，杨海燕，等．瞬变电磁法在煤矿水文地质灾害调查中的应用[J]．物探与化探，2012， 36（2）： 283-286．

Zhang Yinbin，Zhang Hua，Yang Haiyan，et al．The Application of Transient Electromagnetic Method to the Investigation of Hydrogeological Disaster in the Coal Mine[J]．Geophysical ＆ Geochemical Exploration，2012， 36（2）： 283-286．

[6]郭润平，张康，田江环，等．瞬变电磁法大电流多匝重叠小回线装置在岩土工程勘察的应用效果[J]．工程地球物理学报，2021，18（4）： 503-512．

Guo Runping， Zhang Kang， Tian Jianghuan， et al． Small Multi-Turn Coincident with Large Current Transient Electromagnetics Method Application Effect in Geotechnical Engineering Investigation[J]．Chinese Journal of Engineering Geophysics，2021，18（4）： 503-512．

[7]马国庆，王君楠，孟庆发，等. 航空重（磁）多参量梯度探测与反演技术研究进展[J]. 吉林大学学报（地球科学版），2023，53（6）：1928-1949.

Ma Guoqing， Wang Junnan， Meng Qingfa， et al.Research Development of Airborne Gravity （Magnetic） Multi-Components Gradient Detection and Inversion Technology[J]. Journal of Jilin University （Earth Science Edition）， 2023， 53 （3）： 1928-1949.

[8]李洪麗，刘财，田有，等. 中国东北地壳结构的地震层析成像[J]. 吉林大学学报（地球科学版），2022，52（1）： 270-280.

Li Hongli， Liu Cai， Tian You， et al. Seismic Tomography of the Crustal Structure in Northeast China[J]. Journal of Jilin University （Earth Science Edition）， 2022，52（1）： 270-280.

[9]彭仲秋，段新力，毕武，等．瞬变电磁“烟圈”反演实现[J]．物探化探计算技术，2012，34（5）： 573-575．

Peng Zhongqiu，Duan Xinli，Bi Wu，et al．TEM “Smoking Rings” Inversion Software Development[J]．Computing Techniques for Geophysical and Geochemical Exploration，2012，34（5）： 573-575．

[10]侯彦威，姚伟华．定源回线TEM数据的约束反演方法及应用效果[J]．煤田地质与勘探，2019，47（4）： 172-177．

Hou Yanwei，Yao Weihua．Constrained Inversion Method and Application Effect of TEM Data of Fixed Source Loop Device[J]．Coal Geology & Exploration，2019，47（4）： 172-177．

[11]邢涛，袁伟，李建慧．回线源瞬变电磁法的一维Occam反演[J]．物探与化探，2021，45（5）： 1320-1328．

Xing Tao，Yuan Wei，Li Jianhui．One-Dimensional Occams Inversion for Transient Electromagnetic Data Excited by a Loop Source[J]．Geophysical and Geochemical Exploration，2021，45（5）： 1320-1328．

[12]徐玉聪，赵宁，秦策，等．大定源瞬变电磁一维自适应正则化反演[J]．地质与勘探，2015，51（2）： 360-365．

Xu Yucong， Zhao Ning，Qin Ce，et al．One-Dimensional Adaptive Regularization Inversion of Transient Electromagnetic Sounding with a Large Fixed Source[J]．Geology and Exploration，2015，51（2）： 360-365．

[13]姚伟华．大回线源瞬变电磁一维自适应反演方法及应用[J]．物探与化探，2019，43（3）： 584-588．

Yao Weihua． The One-Dimensional Adaptive Inversion Method for Large Loop Source TEM and Its Application[J]．Geophysical and Geochemical Exploration，2019，43（3）： 584-588．

[14]姚伟华，庞少东．倾斜地层条件下瞬变电磁一维反演的适应性研究[J]．物探化探计算技术，2020，42（6）： 758-765．

Yao Weihua，Pang Shaodong．Study on the Adaptability of One-Dimensional Transient Electromagnetic Inversion in Inclined Strata[J]．Computing Techniques for Geophysical and Geochemical Exploration，2020，42（6）： 758-765．

[15]Auken E，Sorensen K I，Thomsen P．Lateral Constrained Inversion （LCI） of Profile Oriented Data：The Resistivity Case[C]// Proceedings of the EEGS-ES. Bochum：[s. n.]， 2000：EL06．

[16]Auken E，Christiansen A V．Layered and Laterally Constrained 2-D Inversion of Resistivity Data[J]．Geophysics，2004，69（3）： 752-761．

[17]Santos F A M．1-D Laterally Constrained Inversion of EM34 Profiling Data[J]．Journal of Applied Geophysics，2004，56（2）： 123-134．

[18]Auken E，Christiansen A V，Jacobsen L H，et al．A Resolution Study of Buried Valleys Using Laterally Constrained Inversion of TEM Data[J]．Journal of Applied Geophysics，2008，65（1）： 10-20．

[19]Siemon B，Auken E，Christiansen A V．Laterally Constrained Inversion of Helicopter-Borne Frequency-Domain Electromagnetic Data[J]．Journal of Applied Geophysics，2009，67（3）： 259-268．

[20]蔡晶，齊彦福，殷长春．频率域航空电磁数据的加权横向约束反演[J]．地球物理学报，2014，57（3）： 953-960．

Cai Jing，Qi Yanfu，Yin Changchun．Weighted Laterally-Constrained Inversion of Frequency-Domain Airborne EM Data[J]．Chinese Journal of Geophysics，2014，57（3）： 953-960．

[21]殷长春，邱长凯，刘云鹤，等．时间域航空电磁数据加权横向约束反演[J]．吉林大学学报（地球科学版），2016，46（1）： 254-261．

Yin Changchun，Qiu Changkai，Liu Yunhe，et al．Weighted Laterally-Constrained Inversion of Time-Domain Airborne Electromagnetic Data[J]．Journal of Jilin University （Earth Science Edition），2016，46（1）： 254-261．

[22]张继锋，周光裕，刘最亮，等．E-E_x广域电磁法横向约束反演[J]．煤炭学报，2022，47（7）： 2698-2707．

Zhang Jifeng，Zhou Guangyu，Liu Zuiliang，et al．Lateral Constrained Inversion of E-E_xWide Field Data[J]．Journal of China Coal Society，2022，47（7）： 2698-2707．

[23]路俊涛，雷达，任浩．含激电效应的航空瞬变电磁数据横向约束反演[J]．地球物理学进展，2022，37（1）： 220-229．

Lu Juntao，Lei Da，Ren Hao．Laterally Constrained Inversion of Airborne Transient Electromagnetic Data with Induced-Polarization Effects[J]．Progress in Geophysics，2022，37（1）： 220-229．

[24]王华军．正余弦变换的数值滤波算法[J]．工程地球物理学报，2004，1（4）： 329-335．

Wang Huajun． Digital Filter Algorithm of the Sine and Cosine Transform[J]．Chinese Journal of Engineering Geophysics，2004，1（4）： 329-335．

[25]Constable S C，Parker R L，Constable C G．Occams Inversion： A Practical Algorithm for Generating Smooth Models from Electromagnetic Sounding Data[J]．Geophysics，1987，52（3）： 289-300．