基于自回归EIV模型的高铁桥墩沉降预测方法研究

王 鹏

(中国铁路设计集团有限公司,天津 300308)

引言

高速铁路以其运行速度快、安全性能好、舒适度高、运输能力大等特点,已成为当前中远途出行的主要交通工具之一[1]。截止2022年底,我国高速铁路运营总里程已超过4.2万km,在建和拟建高速铁路达数千公里,如何确保这些高铁线路的施工建设和运营管理安全,是当前高速铁路基础研究的重要课题。国内外高速铁路建设和运营维护的实践经验表明,要保证高速列车快速、安全、舒适运行,必须确保铁路轨道的高平顺性和高稳定性[2-3]。前者是以高精度的轨道控制网为基准,并通过轨道精调来实现;后者则要求对线下工程进行定期沉降监测和沉降控制,以此确定科学、合理的轨道板及轨道铺设时间,并为运维方案、决策的制定提供数据支持[4-6],是前者的前提和基础。由此可见,高速铁路线下工程的沉降监测工作,对高速铁路施工建设和运营管理至关重要。

桥梁是高速铁路线下工程的重要结构形式,目前我国已建成高铁工程中,桥梁总里程占高铁线路总里程的50%以上,通过开展高铁桥墩沉降测量和监测数据处理分析,及时掌握高铁桥梁的变形情况并准确、有效预测后续可能的形变趋势,对保障铁路桥梁自身结构安全、线上工程稳定性、铁路轨道平顺性,进而确保高速列车行驶安全以及高速铁路网运营安全具有重大意义[7-9]。在沉降监测数据分析的基础上对桥墩变形趋势进行预报,是高铁桥墩沉降监测工作的重要环节,也是施工建设、运营维护决策制定的重要依据。目前,国内外有关沉降监测预报分析研究成果很多,有双曲线法、指数曲线法[10]、三点法[11]等静态预测方法,以及时间序列法[12-13]、人工神经网络法[14]、灰色系统分析法[15]等动态预测方法。已有研究表明,受施工、运营等复杂因素影响,采用动态预测方法进行高铁线下工程沉降预测较静态方法更为合理。在众多动态预测方法中,时间序列分析方法中的自回归(AutoRegressive, AR)模型是其中最为常用的经典模型,具有理论严密、原理简单、易于被测量技术人员理解和掌握等特点。将其用于高铁桥墩沉降预报分析时,建立科学合理、符合桥墩沉降变形实际的AR模型,是保证预测结果准确、可靠的关键。为此,在建立顾及模型变量误差的自回归EIV模型基础上,提出一种高铁桥墩沉降预测模型选择方法,并通过实际案例验证了该方法的可行性和有效性。

1 基于自回归EIV模型的高铁桥墩沉降预报

1.1 经典AR模型

高速铁路桥墩沉降预报分析,是基于时间序列的桥墩监测点累积沉降量进行的,对应的经典p阶AR模型为

Ht=φ1Ht-1+φ2Ht-2+…+φpHt-p+εt

(1)

式中,Ht、Ht-1、…、Ht-p为同一桥墩沉降监测点(p+1)次相同时间间隔监测得到的累积沉降量;φ1、φ2、…、φp为回归系数;εt为模型的随机误差;p为模型的阶数。

设某桥墩沉降监测点连续n期沉降监测得到的累积沉降量为H1、H2、…、Hn,则其p阶自回归模型为

Y=Hφ+εY

(2)

采用最小二乘平差方法[16],可得回归系数估值为

(3)

据此,可求得第n+1、n+2、n+3期桥墩沉降监测点累积沉降量预测值分别为

(4)

由式(1)～式(4)可以看出,p阶自回归模型的系数矩阵H由n期桥墩监测点累积沉降量组成,不可避免地会受到测量误差的影响。因此,基于以上经典线性回归模型,并采用最小二乘求解自回归系数,得到的解具有偏性[17-18]。

1.2 顾及模型变量误差的自回归EIV模型

在经典的AR(p)模型基础上,为模型变量引入误差向量,式(2)可表示为

(5)

式(5)可视为非线性高斯赫尔默特模型。将EH中元素作为待估参数,有

(6)

式(6)为非线性模型,将其线性化并采用高斯-牛顿法迭代求解。设第i次迭代后,参数φ的估值为φ(i),εHs的估值为εHs(i),将式(6)右端在(φ(i),εHs(i))处用泰勒级数展开并取至一阶项

(7)

式中,δφ为φ(i)的微小改正值;M为与φ(i)及EH有关的(n-p)×(n-1)矩阵,满足MεHs=EHφ(i)。

构造目标函数

(8)

对式(8)中各变量求偏导,并令导数为0,可得

(9)

(10)

实际应用中,要建立科学合理、符合高铁桥墩沉降实际的最佳AR模型,建模时除了要顾及模型变量误差之外,还应选用合适的模型参数,即要合理确定模型的阶数,所建模型才能准确表达桥墩沉降变形的动态特征。

2 高铁桥墩沉降预测模型选择

自回归模型定阶可归结为最佳线性回归模型的选择问题。在众多模型优选方法中,线性假设法是目前国内外公认的有效方法,且其原理简单,易于测量技术人员掌握和运用。因此,在此采用线性假设法进行高铁桥墩沉降预测模型的优选分析。

设有n期连续时间序列的桥墩沉降监测高程值。假设其自回归模型阶数为p,则式(5)即为建立的p阶自回归EIV模型。再考虑p-1阶情况,其可通过在式(5)基础上增加一个约束方程φp=0得到,即

(11)

式中,G=(0,…,0,1)为1×p向量。

以温室内营养钵的方式来替代传统的冷床育苗，其不仅能为幼苗的生长过程创造更加有利的环境，且能促使幼苗生长得更加健壮。与此同时，绝大多数蔬菜种类，其本身在低温与弱光的环境下将更有助于自身生长，且同时基于高垄栽培、膜下暗灌等技术，对于病虫害亦能起到良好的控制作用[2]。

首先,采用1.2节的方法对式(5)进行求解,设在第m次迭代后参数向量满足收敛条件,由此可得p阶自回归EIV模型的回归系数估值的总体最小二乘解φ(m)及观测值残差v(m),记残差平方和为Sp。再对式(11)进行求解,以得到(p-1)模型的回归系数估值的总体最小二乘解φ(m+1)、观测值残差v(m+1)及残差平方和Sp-1,具体过程如下。

结合式(7),将式(11)在(φ(m),εHs(m))处采用泰勒级数展开并取至一阶项,有

(12)

按求条件极值法构造目标函数

(13)

式中,K为对应约束条件的拉格朗日算子。

对各变量求偏导并令导数为0,得

(14)

(15)

需要说明的是,预设的拟合最高阶数p可首先选择[n/3]～[2n/3]之间的整数,若在后续分析中接近预设最高阶数仍未得到最佳模型,则再作调整。大量高速铁路桥墩沉降监测工程实践统计分析表明,其最佳自回归EIV模型阶数往往小于n/3,因此,本文预设的拟合最高阶数p=n/3。

要判断(p-1)阶自回归EIV模型是否成立,需对线性约束φp=0是否成立进行检验和显著性分析。为此,提出原假设和备选假设分别为

(16)

式中,H0为原假设;H1为备选假设。当参数约束φp=0对回归模型影响不显著时,接受H0,p、(p-1)阶模型之间无显著差异;反之则拒绝。在H0成立时,可构造F分布的假设检验统计量[20],有

(17)

测量中常取2倍中误差为极限误差,在此显著水平α取为4.55%。若F

当接受H0时,为了得到最佳的自回归EIV模型,需要采用上述方法进一步对p-2阶、p-3阶…等低阶模型作检验分析,直至i+1阶、i阶模型间存在显著差异。

3 高铁桥墩沉降预测方法

进行高铁桥墩的沉降预报分析,关键是要确保所建模型能够准确反映桥墩变形的动态特征。综合前文分析,对有n期沉降监测高程值的高铁桥墩沉降预测分析问题,给出一种基于自回归EIV模型的高铁桥墩沉降预测方法,具体步骤如下。

(1)取拟构建的自回归EIV模型的预设拟合最高阶数p=n/3。

(2)结合式(5)、式(6)建立p阶自回归EIV模型,并利用1.2节提出的方法,求得回归系数的总体最小二乘解φp以及残差平方和Sp。

(3)根据式(11)、式(12)建立(p-1)模型,并利用式(13)～(15)求得其回归系数的总体最小二乘解φp-1及残差平方和Sp-1。

(4)据式(17)构造假设检验统计量并进行F检验,若F

(5)在(p-1)阶模型基础上附加参数约束(φp-1=0)得到(p-2)阶模型,利用式(13)～式(15)求得(p-2)阶模型的回归系数总体最小二乘解φp-2及残差平方和Sp-2。根据式(17),由Sp-1和Sp-2构造假设检验统计量进行(p-1)、(p-2)阶模型的差异性检验,若FFα,取(p-1)阶模型为最佳高铁桥墩沉降预测模型。

(6)基于步骤5得到的最佳高铁桥墩沉降预测自回归EIV模型,结合式(4),计算得到第n+1期、n+2期…桥墩沉降监测点的高程预测值。

为叙述方便,以下将基于自回归EIV模型的高铁桥墩沉降预测方法(prediction method of high-speed railway pier settlement based on autoregressive EIV model)简称为PMPS-AR-EIV法。

4 实例分析

某高速铁路特大桥全长约9.2 km,桩基均位于W2泥岩弱风化层内,共有桥墩261个,目前正处于“等待架梁”阶段。为了验证PMPS-AR-EIV方法的应用效果,对261个桥墩的沉降监测数据进行实验分析。考虑篇幅限制,以0009356G6墩身观测标的沉降监测为例进行说明。该桥墩为岸上简支梁墩,墩高11.5 m,其在“等待架梁”阶段的25期沉降监测数据见表1。

表1 0009356G6墩身观测标沉降实测数据

采用PMPS-AR-EIV方法,以前18期的数据进行桥墩沉降预测建模分析,并用后7期数据对所建模型的效果进行检验。建模分析结果见表2。

表2 最佳自回归EIV模型分析结果

由表2可知,进行1阶、2阶自回归EIV模型差异性检验时,检验值超出临界值,说明2个模型间差异显著;其他模型间的差异性检验F检验值均小于临界值,模型间差异不显著。由此可以得出,最佳的桥墩沉降预测模型为2阶自回归EIV模型

Hi=1.7957Hi-1-0.7853Hi-2

(18)

结合桥墩沉降监测点累积沉降量预测值计算式(式(4)),利用第19～25期数据进一步分析建立的2阶自回归EIV模型的检验效果。对所建模型的预测效果,可以依据桥墩预测累积沉降量与实测累积沉降量之间的差异大小来判断,若预测值与实测值的差异较小,则说明模型的预测效果较好,反之则预测效果较差。

以预测期数为横坐标,对应的桥墩累积沉降量为纵坐标,绘制第19～25期桥墩累积沉降量的观测值和预测值的对比结果,见图1。

图1 19～25期桥墩累积沉降量观测值与预测值比较Fig.1 Comparison between observed and predicted cumulative settlement values of bridge piers in phases 19-25

由图1可知,采用PMPS-AR-EIV算法得到的桥墩累积沉降量预测值与实测值之间差异较小,且预测周期较短时预测值十分接近实测值,如第19～22期,其最大差异为0.1 mm;随着预测周期的变长,预测值和实测值之间的差异呈增大的趋势,最大差异出现在第25期,为0.39 mm。由此可见,提出的PMPS-AR-EIV算法用于高铁桥墩沉降监测的预报分析是可行和有效的,基于其建立沉降预测自回归EIV模型可以准确反映出时间序列的桥墩累积沉降量间的相关关系,能够对高铁桥墩的沉降变形趋势作出准确预测,且其原理简单,易于编程实现。

5 结论

(1)在顾及模型变量误差的高阶自回归EIV模型基础上,通过附加约束条件得到低阶自回归EIV模型,从而实现将各待选模型统一为附有参数约束的线性回归模型,该观点是基于线性假设法获得,符合桥墩沉降变形动态特征的最佳自回归EIV模型的依据。

(2)PMPS-AR-EIV算法能够建立符合高铁桥墩沉降变形实际的最佳自回归EIV模型,从而可以客观、准确地对桥墩的沉降变形趋势作出预判,为施工建设和运营维护决策的制定提供依据。