借助“一题多解”,进行“一题多变”——以2023年高考数学新高考Ⅱ卷第5题为例

于 丹

⦿ 辽宁省大连经济技术开发区第八高级中学

平面解析几何众多元素的交汇与融合问题,契合新高考考查的基本特征,是新高考命题的一大热土,创新点多,交汇性强,在注重数学基础知识、思想方法和基本能力的基础上,展示数学学科价值,合理调控综合程度,考查考生各方面的基本素质,具有较强的选拔性与区分度,备受各方关注.

1 真题呈现

此题以椭圆为问题场景,结合定斜率的含参直线与椭圆交于不同的两点,通过这两个交点与两个焦点所构成的两个不同三角形的面积之比来确定参数值.

实际解题时,可以从解析几何本质入手,利用解析几何法来分析与运算;也可以从平面几何直观入手,利用平面几何法来分析与数形结合;而定比分点公式法是一个课外拓展与提升的机会.

2 真题破解

方法1：解析几何法.

4x2+6mx+3m2-3=0.

由于直线y=x+m与椭圆C交于A,B两点,则判别式Δ=36m2-16(3m2-3)>0,解得-2

故选择答案:C.

解后反思：根据解析几何中直线与椭圆的位置关系,联立方程,通过消参转化为对应的方程问题,合理确定参数的取值范围,为问题的进一步求解限定条件.而同底的两个三角形面积的比值问题可转化为对应顶点到同底所在直线的距离的比值问题,借助点到直线的距离公式加以转化与应用.

方法2：平面几何法.

设直线y=x+m交x轴于点M,则M(-m,0).

图1

解后反思：根据平面几何图形的直观性质,同底的两个三角形的面积的比值问题可以转化为对应线段的比例问题,结合坐标轴上的线段的长度计算公式来转化与应用.借助平面几何图形的几何性质与结构特征加以数形结合,处理问题更加直观简捷,减少数学运算,优化解题过程.

方法3：定比分点公式法.

而△F1AB的面积是△F2AB的面积的2倍,且两三角形同底,可知点M分线段F1F2的比为2.

解后反思：借助同底的两个三角形面积的比值,转化对应线段的比例关系问题,在x轴上借助定比分点公式来分析与求解.定比分点公式是平面向量的坐标表示与运算的一个深入与拓展,在现行高中数学教材中并没有涉及,只是作为一个课外知识加以补充与拓展,供学有余力的同学参考.

3 变式拓展

3.1 一般性拓展

基于高考真题,可以由一类定斜率的直线拓展到一般直线,也可以将两个三角形的面积之比拓展为其他倍数关系,合理变式应用.

(答案:C.)

3.2 规律性拓展

基于高考真题与变式1,抓住满足条件的一般性直线的共同特征——过定点,合理变式应用.

以上变式1～3的解析过程,可以直接参考原高考真题的解析,这里不多加以展开与叙述.

3.3 结论性拓展

将问题进一步深化,化具体的椭圆问题为一般性的椭圆问题,可以得到更具一般性的结论,合理归纳总结.

结论1与结论2的证明,大体思维过程与原高考真题类似,留给有兴趣的读者独立完成.这里要注意的是,在双曲线问题中,直线l恒过的x轴上的定点可以在两焦点之间,也可以在两焦点外侧(具体位置与λ的取值有关).

4 教学启示

4.1 掌握“通性通法”,守住知识“底线”

解析几何思维与方法是解决直线与圆锥曲线的位置关系问题最常用的思维方法,也是破解此类问题的“通性通法”之一.其基本思路是联立直线与圆锥曲线的方程,结合函数与方程思想,借助韦达定理以及相应的公式等来构建对应的关系式,进而合理转化与应用.

解析几何思维与方法是破解此类问题的常规思维,是该模块知识的“底线”,但数学运算量往往比较大,因此要认真仔细.掌握相应题型与常见的技巧方法,也是解题经验的积累与知识的巩固.

4.2 开拓数学思维,变式拓展提升

直线与圆锥曲线的位置关系问题,要充分挖掘条件的内涵与本质,深入理解题意条件与所求,从题设条件与所求结论等不同层面合理整合,从不同思维视角“一题多变”与拓展,发散数学思维,达到“一题多得”,真正达到融会贯通,从数学知识、数学能力、数学思维等层面融合,形成数学知识体系,转变为数学能力,得以创新拓展.