基于“四个理解”的数学教学设计与反思——以“勾股定理逆定理”为例

高凯亮

(南京市江北新区浦口外国语学校,江苏 南京 210031)

勾股定理与勾股定理逆定理是初中阶段体会“数形结合”思想的经典教学素材.笔者查阅文献后发现,一线教师对勾股定理的教学研究较为深入,课堂上能够从不同视角启发学生进行证明,但是,对于勾股定理逆定理的教学研究较少.不同版本教材通常采用“同一法”证明勾股定理逆定理,学生理解起来比较困难.因此,课堂上勾股定理逆定理的证明环节常出现“教师证明,学生模仿”的现象,这便引发了笔者思考:证明勾股定理逆定理的方法如何能够让学生想得到?如何体会“同一法”的本质?如何让学生感受勾股定理与勾股定理逆定理是建立“数”与“形”的纽带?下文基于“四个理解”(理解数学、理解学生、理解教学、理解技术)的视角谈谈笔者的思考,与各位同仁交流、研讨.

1 基于“四个理解”视角下“勾股定理逆定理”的教学思考

章建跃博士认为,数学教师需要在理解数学、理解学生、理解教学、理解技术上狠下功夫,这是教学质量达标的基本要求,也是课程改革中以不变应万变的“法宝”[1].

1.1 理解数学

理解数学是指教师需要从不同视角明确“新知”的发生与发展,了解“新知”的来龙去脉,这也是教学成功的前提条件.

从数学内部来看,勾股定理逆定理是对勾股定理逆向思考的结果,是勾股定理的延伸.从数学外部来看,古埃及人将一根长绳打上等距的13个结,然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长,用木桩钉成一个三角形,其中一个角便是直角;我国古代大禹治水也通过该方法确定直角,这是一种生活经验的积累.因此,现行不同版本教材中主要也是这两种引入方式,第一种引入方式是通过数学外部进行引入,如人教版、华东师大版教材.但是,教材直接告知“如果围成的三角形3条边长分别为3,4,5,满足32+42=52,那么这个三角形是直角三角形”.从知识的发生与发展来看,这种引入方式似乎有些突兀:为何三角形3条边的平方满足该数量关系时就是直角三角形?为何不是3次方关系?4次方关系?这样的引入缺乏发现规律的过程.第二种引入方式直接让学生写出勾股定理的逆命题,并举例告知命题真假后再证明,如苏科版、北师大版、湘教版、北京版等教材.逆向思考也是研究数学问题常用的思维方式.因此,不妨开门见山,判断勾股定理逆命题真假的这种引入方式显得更为自然.

综观不同版本教材,证明勾股定理逆定理时都采用了“同一法”.以苏科版教材为例,这是学生首次接触“同一法”,后续还会应用该方法证明“三角形的3条中线交于一点”,可见初中阶段对“同一法”的应用相对较少.用“同一法”证明一个对象A满足某个结论C时,要先构造一个满足结论C的对象B,并使B和A有某些共同点,再证明B和A是同一个对象(“同一法”证明的关键),从而得出A满足C.“同一法”是一种间接证明的方法,当直接证明难以入手时,不妨尝试用“同一法”“反证法”间接证明[2].

1.2 理解学生

理解学生的关键是了解学生的心理特征与认知发展规律,包括了解学生已有的认知,定位学生学习的困难点.理解学生后才能够依据学生的最近发展区进行教学设计,在课堂上对学生进行有的放矢的指导.学生是首次接触“同一法”,但是教材中并没有出现“同一法”这个专有名词.由上文可知,用“同一法”证明最关键的一步是“证明B和A是同一个对象”,那么,如何先构造一个合适的“对象”也尤为重要,这也就是学生证明勾股定理逆定理的困难点.教材中的证明过程如下:

已知:如图1,△ABC的3条边长分别为a,b,c,且满足a2+b2=c2,求证:△ABC是直角三角形.

图1

证明先作Rt△A′B′C′,使∠C′=90°,B′C′=a,A′C′=b(如图2).根据勾股定理,可得

A′B′2=A′C′2+B′C′2=a2+b2,

由a2+b2=c2,知A′B′2=c2,即A′B′=c.在△ABC与△A′B′C′中,因为BC=B′C′=a,AC=A′C′=b,AB=A′B′=c,所以

△ABC≌△A′B′C′,

故

∠C=∠C′=90°,

即△ABC是直角三角形.

证明过程的第一步需要先构造一个“合适”的三角形,并且作出的三角形与已知三角形不在同一个图形中,这个构造三角形的过程难度很大,那么如何启发学生思考呢?学生在学习“勾股定理逆定理”之前已经学习了“全等三角形”“轴对称图形”,积累了一定的几何学习经验.以往教学中,在教师没有任何提示的情况下,学生大致会有以下3种思路:

第1种思路是取边AB上的中点D(如图3),联结CD,尝试应用“斜中定理”的逆命题得到直角,由于条件不足,无法证明;

图3

第2种思路是延长BC至点D,使DC=BC(如图4),联结AD,欲证△ACB≌△ACD,但是使这两个三角形全等的条件不够,无法证明;

第3种思路是作点D使BD=CA且CD=BA(如图5),直接构造出△ACB≌△DBC,但是不能证明∠ACB=90°,此时,学生的思考进入“瓶颈期”.

图5

综合分析上述3种思路,学生在第1种思路尝试直接求证∠ACB=90°无果时,形成构造全等三角形解决问题的意识,这便为教师引导学生构造一个“合适”的三角形提供了抓手.于是,笔者对学生出现的问题进行归因,并在课堂上进行如下引导.

学生陷入这种困境的原因是没有仔细分析已知条件,已知条件中只有△ABC的三边数量关系(a2+b2=c2).上述3种思路中都没有用到“a2+b2=c2”,教师要引导学生思考如何用这个关系,课堂上追问“由这个关系式你能联想到什么呢?”由“a2+b2=c2”能够联想到勾股定理,又由于思路3直接构造全等三角形无法证明,不妨先引导学生构造一个直角三角形(作∠DBC=90°,BD=CA=b,如图6所示),再尝试证明△ACB≌△DBC,进而得到∠ACB=90°.

图6

事实上,教师引导学生证明的思路是在思路3的基础上改进,将思路3中构造的△DBC改成直角三角形.这种证明方法与教材的证明方法本质上是一致的,但是这种方法是在原图的基础上构造出直角三角形,是在学生尝试、教师引导的过程中“悟”出的方法,学生更容易理解,也更容易想到.获得该证明方法后,再投影教材中的证明方法,让学生感悟两种证明方法本质上是相同的.由于部分版本教材在七年级学习过反证法,如苏科版教材七年级用反证法证明“两直线平行,同位角相等”,教师根据班级学生的学习能力,考虑是否继续探究其他的证明方法.

1.3 理解教学

理解教学是指对教学规律、特点的理解.数学是思维的科学,在形成人的理性精神、科学精神和促进个人智力发展中发挥着不可替代的作用.例如,“勾股定理逆定理”的证明环节不可出现“教师证明,学生模仿”的现象,这样的教学过程只是教师单方面“教”的过程,学生“模仿”是一个“伪思考”的过程,不利于学生思维的生长.教学中不妨先让学生尝试证明,教师帮助学生分析问题出现在哪,再“对症下药”引发学生思考,让学生感受数学思维的自然性与合理性,形成学生学和教师教的完美统一,让学生在证明过程中得到享受与表现,体会数学思维之美、数学创作之美,感悟数学学科的内在力量,发挥数学学习的育人精神.

1.4 理解技术

理解技术是指运用信息技术手段辅助教学,使教学如虎添翼.勾股定理逆定理是余弦定理(a2=b2+c2-2bccosA)的特殊形式,当cosA=0时,∠A=90°(△ABC为直角三角形);当cosA>0时,0°<∠A<90°(△ABC为锐角三角形);当cosA<0时,90°<∠A<180°(△ABC为钝角三角形).当然,学生还没有余弦定理的知识储备,教师在课堂上可以借助几何画板软件让学生直观感受当a2≠b2+c2时,对应的三角形具有什么特征.教学中教师要不断将信息技术手段与数学课程相融合,开阔学生的视野,激发学生的想象力,提高学生的信息素养.

2 教学过程

2.1 情境引入,操作验证

核心问题1回顾勾股定理的文字语言及符号语言,并写出逆命题,判断逆命题的真假.

追问1如何判断该逆命题的真假呢?

不妨举一些例子进行验证.

操作验证下列各数中两数的平方等于第3个数的平方,分别以这些数为边长(单位:cm)画出三角形:

1)3,4,5;

2)5,12,13.

用量角器验证由这些数为边长组成的三角形是不是直角三角形.

设计意图核心问题1“开门见山”地提出验证勾股定理逆命题的正确性,逆向思考是研究数学问题的常用方法.上面提供了两组数据,教学中可以让学生多验证几组,在合情推理的过程中感悟命题的正确性.

2.2 探索定理证明方法

核心问题2如何证明勾股定理逆命题是真命题呢?

2.2.1 证明定理初体验——尝试

追问2写出勾股定理逆命题的已知、求证.

已知:如图7,在△ABC中,a2+b2=c2,求证:△ABC是直角三角形.

图7

追问3请同学们尝试证明.

2.2.2 复盘证明思路——归因

追问4请同学们复盘展示出的3种思路(图3～5),都没有证明成功,问题出现在哪呢?

(教师可以请学生自主分析,发现证明过程中都没有用到三边关系“a2+b2=c2”.)

设计意图由上文可知,根据学生已有认知,大致会出现3种思路.教师要引导学生仔细分析这3种思路为何都没有证出∠C=90°,分析后得到思路2(图4)与思路3(图5)的共同之处,即构造全等三角形,但是证明过程中都没有用到三边关系“a2+b2=c2”,由此,展开追问引发学生继续思考.

2.2.3 另寻证明思路——再探

追问5如何使用三边关系“a2+b2=c2”这个已知条件呢?若三边关系满足“a2+b2=c2”,你能联想到什么呢?(勾股定理.)

追问6勾股定理成立的前提条件是直角三角形,由此,请另寻证明思路.

设计意图根据刚才复盘3种思路的过程,引发学生关注到有可能要构造全等三角形进行解决,但是三边关系“a2+b2=c2”成立的前提是直角三角形,因此不妨先尝试构造出一个直角三角形(作∠DBC=90°,BD=CA=b,如图6所示),尝试证明△ACB≌△DBC.

2.2.4 规范表达证明过程——明理

此环节教师让学生先进行证明步骤的书写,养成言出有据的习惯,特别要注意引导学生关注如何证明DC=AB=c的过程,进而得到△ACB≌△DBC,渗透用代数方法解决几何问题的思想.

2.2.5 证明过程一般化——悟本

该环节教师将教材中的证明方法直接投影,学生在对比中感悟教材中的证明方法与前面环节在同一个图形中构造直角三角形的方法本质上是一致的,都是构造直角三角形之后,证明构造出来的直角三角形与已知三角形全等;感悟应用“同一法”证明几何问题时,只需要证明所作图形与命题中要证明的图形是同一的,即重合.教材中没有给出“同一法”的名称,学生能够感悟“同一法”的内涵即可,不必补充新名词增加学生的学习负担.

2.3 再探多元证明方法

追问7七年级学习过用反证法证明“两直线平行,同位角相等”,你能用反证法证明勾股定理逆定理吗?

分析假设∠C≠90°,那么∠C可能是锐角,也可能是钝角.

1)若∠C是锐角,作AD⊥CB于点D,AD在△ABC内部,如图8所示.设CD=x(其中x>0),则

图8

BD=a-x.

在Rt△ACD中,

AD2=AC2-CD2=b2-x2,

在Rt△ADB中,

AD2=AB2-BD2=c2-(a-x)2,

从而

b2-x2=c2-(a-x)2,

化简得

a2+b2-c2-2ax=0,

又

a2+b2=c2,

故

2ax=0,

即

x=0.

因为CD=0与CD>0矛盾,所以假设不成立,即∠C不是锐角.

2)若∠C是钝角,作AD′⊥CB,AD′在△ABC外部(下略).

设计意图该环节教师引导学生应用反证法,先回顾反证法证明“两直线平行,同位角相等”的过程,熟悉反证法的步骤,后续讨论当∠C是钝角时,可以让学生自己完成.值得注意的是,完成证明后,应引导学生进一步体会“x=0”具有何种含义.“x=0”意味着点C与点D是同一个点.因此,也可以用“同一法”进行证明,直接假设∠C是锐角或∠C是钝角,作AD⊥CB,由于推导出“x=0”,即点C与点D是同一个点,再次感悟用代数方法解决几何问题的思想,同时也明确用“同一法”证明几何问题的目标.

2.4 对逆定理的“再探究”

核心问题3若a2+b2≠c2,则三角形具有怎样的特征呢?

设计说明该环节先引导学生尝试分两种情况探讨:1)若a2+b2c2,则三角形具有怎样的特征?教师用几何画板软件进行动画演示,初步感受“式结构”与“形结构”之间的对应关系.

3 教学反思

3.1 基于四个理解,教会学生思考

理解学生是教学成功的关键.理解学生往往能够迅速精准地定位学生的“最近发展区”,理解学生首先需要与学生产生情绪共情[3].证明勾股定理逆定理对于八年级的学生来说难度较大,教材中的证明方法是在任意位置构造一个“合适”的直角三角形,再证明与已知的三角形全等.该证明方法难度较大,因此笔者并未直接呈现证明方法,而是先让学生尝试证明,发现学生证明过程中的“痛点”.在没有任何提示的情况下学生有3种思路,虽然没有证明成功,但是发现学生有尝试构造全等三角形的意识.笔者便顺藤摸瓜,帮助学生找到没有证明成功的根源,带领学生分析已知条件“a2+b2=c2”如何使用.如果想不到如何使用,那么就应激发学生对“a2+b2=c2”进行联想,给学生指引尝试的方向.教师通过分析学生的思维过程,快速与学生的情绪状态产生共鸣,从而帮助学生搭建思维的跳板,让学生“跳一跳,够得到”,证明定理的过程中经历了“尝试—归因—再探”,教会学生如何思考.

3.2 基于四个理解,开启用代数方法解决几何问题的“大门”

理解数学是数学教学之根,只有对教材有精准的理解才能够帮助学生对知识有高位的认识.勾股定理与勾股定理逆定理是建立“数”与“形”的纽带,勾股定理逆定理的证明是学生初中阶段首次用代数方法证明几何问题,这也正是学生不知道如何应用已知条件“a2+b2=c2”进行证明的原因.笔者后续在反证法中应用方程思想让学生经历用代数方法解决几何问题的过程,这便为学生开启了初中阶段用方程解决几何问题的新视角.通过方程的解“x=0”进一步体会该结果对应到“形”上时点D具有怎样的特征,“x=0”意味着点D与点C重合,进而感悟也可以通过直接作△ABC边BC上的高AD,证明点D与点C重合,从而获得第2种用“同一法”证明的方法.

3.3 基于四个理解,培养质疑能力

古人云:“学起于思,思源于疑.”具备质疑能力是学生能够主动思考的源泉,在质疑中寻求解决问题的方法能够提高学生的课堂参与度,形成教师主导、学生主体的课堂氛围,有助于提升课堂效率.该课的情境引入有不少版本教材是通过判断勾股定理逆定理进行的.这种情境引入方式能够开门见山,直接进入研究主题,但是,也存在一定的局限性:若a2+b2≠c2,则能构成直角三角形吗?探究过程中没有进行讨论,学生心中也存在困惑.综观不同版本教材,该课的课后习题都有根据三角形三边长度来判断是否能构成直角三角形.例如,人教版教材有这样一道例题:已知三角形的三边长分别为13,14,15,由这3条边能组成直角三角形吗?因为132+142≠152,所以由这3条边不能组成直角三角形.若该节课时间充足,笔者建议引导学生进一步探究:当a2+b2≠c2时,会构成直角三角形吗?如果不能,那么三角形会有怎样的特征?教师可以引导学生举一些例子,用尺规作出三角形,进行合情推理,最后应用几何画板软件让学生感受:当a2+b2>c2时,对应的是锐角三角形;当a2+b2