立足高考要求,再谈数学阅读能力的培养——以2023年全国数学新高考Ⅰ卷为例

吕增锋

(象山县教育局教科研中心,浙江 象山 315731)

一方面,阅读是数学学习的一项基本技能,数学阅读能力对学生未来的可持续发展具有重要的影响;另一方面,《中国高考评价体系》指出,高考着重考查数学学科的“关键能力”,而“数学阅读能力”是关键能力的重要组成部分,且居于首位.对数学阅读能力的考查不仅包括阅读数学材料,理解其中的数学语言,而且还包括阅读应用问题的材料,理解生活语言,从中抽象数量关系,利用数学语言进行描述,进而应用数学方法进行解决[1].由于数学材料的特殊性,数学阅读能力的结构中必然包含着一些不同于一般阅读能力构成要素的独特成分,了解这些成分在高考中的考查状况,可以为数学阅读能力的培养提供更具针对性的方向和建议[2].下面,笔者结合2023年全国数学新高考Ⅰ卷进行具体阐述.

1 数学阅读及数学阅读能力的内涵

数学阅读是从背景、数据等材料中获取信息的心理活动过程,不仅包括对数学文字语言、符号语言、图表语言的理解、记忆、认知等过程,还包括对材料的逻辑结构进行分析、综合、归纳、推理、猜想等一系列思维过程[3].相比其他阅读,数学阅读具有自己的特点,不仅要求阅读者具备深入和细致的心态、逻辑条理清晰,而且还要求在阅读过程中能够灵活地把难以理解的学术表达转换为易于理解的语言.虽然从本质上看,数学阅读与一般阅读并没有太大的区别,但由于数学材料往往含有大量的符号且表达较为抽象,因此,数学阅读需要借助一些特殊的技能,即数学阅读能力.数学阅读能力是学生在阅读过程中逐步形成和发展起来,并且从阅读的效果和速度中表现出来的一种独立获取数学知识、信息、问题的能力.数学阅读能力通常包含数学语言转换能力、数学概括能力、数学阅读推理能力等三大能力.

1.1 数学语言转换能力

数学语言转换能力是指能够理解数学领域的术语和符号,将其转换为数学知识和规则,并进行推理和解释,从而帮助我们理解和解决数学问题的能力.数学阅读与一般阅读不同,一般阅读中阅读和理解通常融为一体,但由于数学语言具有高度的形式化和抽象性,不容易被人所理解,这就需要运用数学语言转换能力,对数学语言中的文字、符号与图形进行正确编码和转译.

例1已知函数f(x)的定义域为R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则

( )

A.f(0)=0 B.f(1)=0

C.f(x)是偶函数 D.x=0为f(x)的极小值点

(2023年全国数学新高考Ⅰ卷第11题)

分析要解决此题,需要在建立条件与结论联系的基础上,读懂并理解问题中的抽象函数解析式f(xy)=y2f(x)+x2f(y)所隐含的关键信息.一方面,可以用赋值法将特殊的数字代入,获得相应的函数值,从而实现抽象符号具体化;另一方面,也可以利用消元思想,通过减少参数的个数,从而实现复杂表达简洁化.例如,为了验证f(x)的奇偶性,要把f(xy)=y2f(x)+x2f(y)这个学生难以理解的表达式转化为学生所熟悉的f(x)=±f(-x).先令x=y=-1,代入函数表达式得

f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1),

令x=y=1,得

f(1)=f(1)+f(1),

从而

f(1)=0,f(-1)=0.

再令y=-1,得

f(-x)=f(x)+x2f(-1),

即

f(-x)=f(x),

可知f(x)是偶函数.

数学语言转换能力确保学生能够“读懂”,即理解题目每一句话的意思,内化局部信息,包括对题目引入概念的解释、题目中各个数量的关系、题目的要求等,从而为后续的解题活动奠定必要的基础.因此,数学语言转换能力处于数学阅读能力的首位并贯穿于整个数学阅读过程.

1.2 数学概括能力

数学概括能力是指在阅读过程中,将阅读材料中的规律、模式、性质等抽象概念提取出来,并进行总结和概括的能力.数学阅读不是全盘吸收阅读材料所呈现的信息,而是要经历“信息筛选”与“信息整合”的过程,从而达到从纷繁的材料中概括出有用信息的目的.概括后的信息排除了非本质属性的干扰,达到对数学材料的真正领悟,有利于建立知识间的联系,形成知识组块,并可以利用这些知识剖析问题之间的逻辑关系来促进问题的快速解决.

例2甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.

1)求第2次投篮的人是乙的概率.

2)求第i次投篮的人是甲的概率.

(2023年全国数学新高考Ⅰ卷第21题)

分析此题考查的是学生在阅读中的数学概括能力,即通过思考甲、乙两人轮流投篮命中率之间的逻辑关系,概括出其中所蕴含的数学原理与数量关系.由于问题中的逻辑关系相对复杂,一方面,需要学生反复研读材料;另一方面,需要在明确问题的现实背景的基础上,经历从特殊到一般的归纳过程.即先分别写出当n=2,3,4,…时,球在甲手中的概率;再思考当经过n次传球后,球在甲手中需要具备怎样的条件?能否把这种条件用数量关系表示出来?最后发现可以用递推公式Pn+1=0.4Pn+0.2来表示随机事件概率之间的关系.

数学概括能力确保学生能够“厘清”,即能够找出题目中的重点、难点等关键信息,可以促使现实问题数学化、复杂问题简单化,有助于揭示问题的本质,深化对数学领域的认识,并发展更高层次的数学思维.

1.3 阅读推理能力

阅读推理能力是指通过阅读数学文本、问题或定理,能够进行逻辑推理和推导的能力.推理的重要作用是在理解数学语言的逻辑结构和规则的基础上,借助数学定理和数学规则,通过归纳和演绎推理,获得合理清晰的数学知识,推导出新的结论,建立证明或解决问题的策略.缺乏推理的数学阅读很容易陷入罗素所说的“我们全然不知道我们在数学里谈论什么,也不知道我们说的是不是真的”那种模棱两可、似是而非的困境[4].

数学阅读推理能力确保学生能够“弄通”,即通览全题,寻找各信息之间的联系,整体加工信息,从总体上把握试题已知条件和结论间的关系.数学阅读推理能力促使学生建立深入的数学思维模式,培养其逻辑推理能力和问题解决能力,并在数学阅读研究中发挥重要的作用.

当然,上述三大能力并不是孤立存在的,而是相互联系、相互补充、相互促进的,在不同的问题情境中整体发挥作用.

2 数学阅读能力的考查情况分析

表1是2023年全国数学新高考Ⅰ卷中针对数学阅读能力的考查情况.

表1 2023年全国数学新高考Ⅰ卷中数学阅读能力的考查情况

不难发现,高考对数学阅读能力的考查是全方位的,内容涉及方方面面,考查形式不仅有常见的图表类型、生活语言文字类型和复杂数学关系类型,而且还出现了数学建模新题型.与2022年相比,虽然2023年试题的阅读量明显减少,题干短小精悍,凸显了数学语言的严谨性及简洁性,体现了考查数学阅读能力更基础、更本质的要求,但对某些题目来说,对学生数学阅读能力的要求反而更高.

1)求W的轨迹方程;

(2023年全国数学新高考Ⅰ卷第22题)

综观整份试卷,对数学语言转换能力的考查贯穿于命题的始终;考查数学概括能力的试题数量占比最高,这就要求学生能基于所学的知识和所积累的解题经验,成功提取所给材料的本质,如数量关系、空间形式等,将陌生的问题转化为熟悉的问题;除此之外,概率统计题背景丰富、数量关系复杂,重新定义了新运算,重在考查对这3种能力的综合运用.

3 数学阅读能力的培养建议

研究发现,一般的阅读理解能力与数学阅读能力之间并没有显著的关系.这是由于数学语言有自己的语域,不同于一般语言或普通语言,因此,数学阅读能力需要针对性地进行培养.

3.1 充分重视对教材的阅读

经过一轮又一轮的教材改革,当前的数学教材日趋丰满,在体现思想性、科学性、时代性、系统性和引领性的同时,融入了大量与生产生活、社会发展、高新科技相关的知识,开辟了大量的数学阅读、数学探究、数学建模等拓展栏目,使得教材成为培养学生阅读能力的最佳材料.不仅如此,高考命题也往往立足于教材,很多试题都能在教材中找到类似的题目,有的甚至是原题.

( )

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

(2023年全国数学新高考Ⅰ卷第7题)

表2 不同声源的声压级

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则

( )

A.p1≥p2B.p2>10p3

C.p3=100p0D.p1≤100p2

(2023年全国数学新高考Ⅰ卷第10题)

此题对应的原题是高中《数学》(必修第一册)第141页习题4.4第10题:

1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为1 W/m2,能听到的最低声强为10-12W/m2,求人的听觉的声强级范围;

2)平时常人交谈时的声强约为10-6W/m2,求其声强级.

两题异曲同工,无非教材中研究的对象是人,而高考试题中研究的对象是汽车.

(2023年全国数学新高考Ⅰ卷第14题)

此题实际上就是考查棱台体积公式的推导,高中《数学》(必修第二册)第154页例6就有详细的推导过程.

阅读教材不仅符合新高考改革的宗旨与目标,而且有助于引发广大师生对教材以及教材中例题、习题的重视,从而促进教师加强对教材的创造性使用及二次开发,有效地避免数学课堂教学中无视教材、脱离教材的现象.

3.2 让学生带着问题去读

数学阅读的过程既是数学思维的过程,也是数学思维能力得到有效锻炼的过程,离开数学思维的阅读是机械、乏味、毫无意义的.因此,数学阅读并不是简单地放手让学生去阅读,而是要让学生带着问题边阅读边思考,在探究问题的过程中不断思考、不断理解、不断深入.同时,在阅读中教师鼓励学生大胆质疑,提出新的问题,然后在新的问题的引领下进行再阅读、再思考,从而打造“提出问题→解决问题→提出问题……”的数学阅读新样态.例如,对于例3,可以从“矩形3个顶点在抛物线上的分布特点”以及“矩形周长表示的方法”两个层面来设计问题,提升学生在阅读中提取关键信息的效率.

3.3 “听说读写”一体化

信息加工理论将作为输入的听与读视为说与写的源泉性起点,而作为输出的说与写则被视为听与读的形成性起点,互为起点的语言信息加工心理模型也就决定了“听说读写”之间的迭兴交替、迭代交融[5].因此,“听说读写”共同构成了语言学习的输入、输出系统,是一个不可分割的有机整体.导致当前数学阅读效果不明显的一个重要原因就是人为地把“阅读”从“听说读写”中孤立开来,只关注“如何读”,却忽视了“听说读写”的整体效应.因此,数学阅读要严格遵循听说读写互载、互为、互动的基本理念,在听说交流中学会读写,在读写中开展听说的活动,从而帮助学生在心理内部构建一个相对完整的语言图式.当然,“听说读写”的形式和载体有很多,要根据不同的教学目标与内容,选择合理的组合方式.例如,与“解题”相关的阅读,精读题目、说题交流、撰写解题笔记是比较好的组合方式;涉及“实际应用”的阅读,研读现实情境、细说实际问题数学化的过程、撰写问题解决的方案是必不可少的环节.