基于均匀相位采样提高阻抗谱测量精度的研究

王选择, 蔡玉雄, 尹晋平, 翟中生, 冯维

(1.湖北工业大学机械工程学院, 武汉 430068; 2.湖北省现代制造质量重点实验室, 武汉 430068)

长期以来,阻抗谱是一种为实物对象建立等效电路模型的基本研究方法,在电化学、陶瓷工程、建筑领域等领域存在广泛的应用[1-3],为准确建立被测对象的等效电路模型以及模型参数的精确识别提供了重要的依据。因此,精确的阻抗谱测量变得尤为重要。

在阻抗谱测量中,随着激励频率的增加,满足采样定理的信号采集转换频率也必须随之增加[4-5],导致低成本的常规转换速率的ADC模块无法满足要求。考虑到阻抗谱测量中,用于激励输入与产生响应的输出正弦信号具有周期重复的特点,满足等效时间采样方法中,通过常规的低频采样转换实现等效的高频信号采集的要求,在阻抗谱的高频段测量中选用该方法具有非常实用的价值[5-6]。它的基本思想是通过合理设计采样频率与激励频率的关系,把多个周期内采样的信号重构为一个周期内的采样信号,实现从欠采样过渡到等效过采样的目的。

阻抗谱测量主要是通过不同频率正弦信号的激励,同时求解输出与输入信号的幅值比与相位差,来给出被测系统的幅值谱与相位谱[7-8]。因此阻抗谱的准确测量往往依赖于对采集的正弦信号的幅值与初相位进行准确的估计[9]。在频率已知的条件下,采用基于最小二乘法的三参数正弦曲线拟合,以抑制白噪声的影响,并估计采集信号的幅值与相位信息[10-11]。然而,特别是对于基于直接数字合成(direct digital synthesis, DDS)技术所产生的高频正弦信号,其干扰不仅来自随机的白噪声,也来自窄频的干扰,如谐波或间谐波的影响等[12],它们直接导致正弦信号上局部点的系统误差,决定着拟合估计参数的正确性。因此,抑制局部点系统误差的影响可以显著提高阻抗谱的测量精度。

现以ARM单片机STM32F4为核心,利用其DAC与ADC模块,产生正弦激励信号,并同步采集激励与输出信号。针对相对高频的20～100 kHz,在传统等效时间采样思想的基础上,通过激励与采样时钟触发频率的条件设计,实现等效高频与完整周期信号采样的目的。利用误差分析论证基于等效采样思想的均匀相位采样方法与常规的重复相位采样方法对正弦拟合参数的影响,表明均匀相位采样方法在参数估计中具有更高的误差抑制能力。利用一阶的RC系统模型进行实测与计算,验证所设计的等效采样方法具有更精确的阻抗谱的估计精度。

1 均匀相位采样方法描述

本文提出的均匀相位采样方法,实质是利用等效时间采样的思想,在多个信号周期的采样时间内,实现均匀相位的采样。具体方法是在m个整数正弦信号周期内采样n个点,且满足m、n互质的关系,这样n个点的相位通过圆整等效到(-π,π)之间后,此时n点相位在(-π,π)内均匀分布,称为n点均匀相位采样方法。

图1显示了7个周期内等间隔采样20个点与7个周期内等间隔采样21个点的采样情况,其中横坐标为相位。显然由于7与20互质,因此为均匀相位采样,7与21最大公倍数为7,因此,每个采样相位点被重复7次,属于重复相位采样。

图1 均匀相位采样与重复相位采样Fig.1 Uniform phase sampling and repetitive phase sampling

图2为通过横坐标相位圆整重构后的信号:重构到一个周期后,均匀相位采样的20个点平均分布不同相位上,而重复相位的21个采样点仅仅被分配在3个相位点上,每个相位点上对应有7个采样点。

图2 信号重构Fig.2 Signal reconstruction

对相位的重构采用的方法为

(1)

式(1)中:φ为采样点对应的相位,分布在m个采样周期内,其值对应(0,2mπ)范围内;φc为圆整后的相位,分布在(-π,π)范围内;[]为向下取整运算。

这种周期数与采样点数互质的采样设计既保证了采样信号的周期完整性,又保证一个周期内具有足够不同相位的采样点,为后续数据处理上精度的提高提供了对称性与完备性的保证。

2 均匀相位采样提高精度的理论证明

2.1 整周期三参数正弦拟合简化计算方法

不管是基于等效采样时间思想的均匀相位采样还是常规的重复相位采样方法,对正弦信号等间隔采样获得的n个序列点,均可表达为

x(k)=Asin(φ0+kδ)+c+εk

(2)

式(2)中:A为正弦信号的幅值;φ0为采样初相位;δ为采样间隔相位;c为直流偏置;k为采样序列号,从0到n-1;εk为采样误差;A、φ0与c为待估参数;δ为已知量。

式(2)展开后可写成

x(k)=Asinφ0coskδ+Acosφ0sinkδ+c+εk

(3)

(4)

一旦求得a、b,再通过式(5),可以计算正弦信号的幅值A与初相位φ0。

(5)

2.2 两种采样方法参数估计误差的比较分析

虽然基于等效采样的均匀相位采样方法在信号处理精度上明显优于重复采样方法,特别是在信号存在一定畸变的条件下优势更加明显,但目前没有查阅到对该结论进行完整的理论分析与证明方面的文献,这里从误差假设以及拟合计算所用推导算法的角度上加以分析,进行必要的论证。

前面提及正弦激励信号的干扰既含有随机白噪声,也含有窄频谐波或间谐波的干扰影响,加上DDS技术采用的模/数转换器(digital to analog convertor, DAC)本身非线性的影响导致正弦信号出现的系统畸变。因此,假设任何采样点上都存在畸变系统误差εpk与随机误差εrk,且信号上来自于畸变的系统误差与采样相位点φk相关,那么采样信号去掉畸变系统误差εpk后,有

y(k)=x(k)-εpk

(6)

也就是y(k)为只含随机误差、不含畸变系统误差的采样序列,假设满足的关系为

(7)

式(7)中:A*、φ0*、c*为待求的信号幅值、初相位及直流偏置。

(8)

比较式(4)与式(8),得出有畸变与无畸变情况下的拟合参数之差为

(9)

(10)

假设各相位点之间的系统误差是相互独立的,即不同的相位点上,系统误差具有随机性。因此对于均匀相位采样方法,所有εpk相互独立,受正弦信号畸变的影响,其拟合参数的方差满足

(11)

对于重复相位采样方法,假设有s组相位相同,相互独立的εpk仅有n/s,那么拟合参数的方差计算为

(12)

3 均匀相位采样系统相关参数的设计

3.1 采样系统的硬件方案

阻抗谱测量系统的核心硬件设计,直接采用单片机STM32F4的模块功能完成。如图3所示,利用内部集成的12位DAC与多个12位ADC模块,通过DDS与同步采样技术分别产生正弦激励信号与完成输入与输出信号的采集。

图3 硬件设计示意图Fig.3 Hardware design diagram

DAC模块产生的正弦激励信号直接作为输入信号与输出信号分别送入到采集模块ADC1与ADC2,用于阻抗谱的分析。

由于单片机内部的ADC采样触发时间包含采样与保持两个阶段的时间,真正的AD转换在保持阶段进行。如图4所示,虽然它的采样积分时间T1很短,但由于受到转换时间T2的限制,采样转换频率也受到很大的限制。尽管如此,采样积分时间T1很短的特点为均匀相位采样方式提供了实现的必要条件。

图4 A/D周期间隔Fig.4 A/D cycle interval

3.2 均匀相位采样的激励与采集触发参数的设计

在m、n互质条件下,m个周期内采样n个点的均匀相位采样,要求高频激励信号频率fx与采样频率fs需要满足的关系为

(13)

也就是采样频率满足fs=(n/m)fx,通过重构的周期合成后,n个点合成到一个周期内,那么等效采样频率fse为

fse=nfx=mfs

(14)

显然通过激励信号与采样信号频率的合理设置,保证等效采样频率相对实际采样频率而言,得到显著提高。

考虑到激励信号的频率或周期由DDS的周期数据量NDDS与DAC的触发时间TDAC决定,而触发时钟一般由单片机内部定时器实现。假设DAC触发定时器累加计数器设置为NDAC,单片机的基准时钟周期为TB,那么激励信号的周期为

Tx=NDDSNDACTB

(15)

同样,若ADC转换由另一个具有同样基准时钟的定时器来触发,那么ADC采样周期Ts也由该触发定时器累加计数器NADC决定。

Ts=NADCTB

(16)

结合式(13),相关参数的设置应满足的要求为

mNDDSNDAC=nNADC

(17)

由于m、n互质,则必须存在正整数r满足的条件为

(18)

对于基准时钟频率为168 M的单片机系统,满足式(18)且m、n互质条件的20～100 kHz的激励信号各参数设置如表1所示。这里NDDS、NDAC、NADC的设置充分考虑了单片机DAC与ADC转换所需要的极限时间,因此它们的取值特别是NDAC与NADC受到了限制,不能小于一定的量值。

表1 正弦激励与信号采样频率相关参数设置Table 1 Setting of parameters related to sinusoidal excitation and signal sampling frequency

4 实验验证

为了验证基于等效思想的均匀采样相位方法在提高阻抗谱测量精度上的有效性,采用以下两种不同的模型进行验证:它们以标准电阻R0作为参考,分别组成两种电路模型,其中一种被测对象直接采用最简单的电容模型,一种是电容电阻组合模型,如图5所示。

图5 测量模型Fig.5 Measurement model

根据电容的阻抗特性,图5(a)所示的模型输出与输入之间满足如下的传递函数关系,即

(19)

式(19)中:VI(s) 为输入信号Vi的拉式变换;VO(s)为输出信号Vo的拉式变换。

图5(b)中输出与输入之间满足如下关系,即

(20)

选择电阻R0=10 kΩ,Rx=10 kΩ,Cx=10 nF,Cx1=22 nF,Cx2=10 nF,在同等环境与采样硬件条件下,分别采用均匀相位与重复相位采样处理方式,测试两种模型的输入输出阻抗谱,如图6所示,其中图6(a)和图6(b)显示了G1的幅频与相频的测试特性曲线,图6(c)和图6(d)为G2的幅频与相频特性曲线。

图6 单次测试阻抗谱Fig.6 Single test impedance spectrum

从图6中可以看出,在低频段均匀相位采样与重复相位采样处理结果基本一致,与理论曲线相符;在高频段,重复相位采样的相位结果极大偏离理论结果,而均匀相位采样的幅相谱均与理论曲线符合,最大模值相对误差误差小于0.002 8,最大相位误差不超过0.01 rad,有效抑制了系统误差。

为了验证两种方法测试结果的稳定性,分别对两组模型进行300次测试实验,实验结果分别如图7和图8所示。由图7和图8可知,在频率高于20 kHz后,重复相位采样的300次实验结果的标准差明显高于均匀相位采样标准差,且均匀相位采样的300次实验结果的标准差均在0.000 5以下,因此,均匀相位采样能够更有效地抑制随机误差的影响,测试稳定性更高。

图7 纯电容模型多次阻抗谱测试结果Fig.7 Test results of multiple impedance spectrum of pure capacitance model

图8 复阻抗模型多次阻抗谱测试结果Fig.8 Multiple impedance spectrum test results of complex impedance model

5 结论

针对阻抗谱高频测量段采样频率过低导致采样精度不足的问题,提出了利用等效采样思想设计与激励频率与采样频率有关的参数,使得在低频的A/D转换下,实现高频周期信号的采集,解决欠采样条件下拟合精度过低的问题。

(1)从正弦激励与响应信号本身存在的系统畸变误差角度,分析并证明了相对于常规的重复相位采样方法而言,等效采样所实现均匀相位采样方法能够提高测量精度的原因。

(2)通过所设计的实验对两种常规等效电路模型的验证,表明该方法在所设计的高频段20～100 kHz上阻抗谱精度与稳定性得到了显著的提高,为目前自带A/D转换的现有高性能单片机直接实现相对宽带高频阻抗的测量提供了新思路。