分式方程定参数 根的情况明方向

［摘 要］对于含有参数（字母系数）的分式方程，确定其中字母的值或取值范围是常考点。不难发现，根据分式方程根的情况，可以建立关于字母的方程或不等式，从而确定字母的值或取值范围。文章结合典例，从七个方面对含参的分式方程进行分析探讨，以助力学生求解分式方程问题。

［关键词］分式方程；根；参数；初中数学

［中图分类号］" " G633.6" " " " " " " " ［文献标识码］" " A" " " " " " " " ［文章编号］" " 1674-6058（2024）35-0035-04

分式方程是初中数学的重要知识点。对于含参数的分式方程，如何确定其中字母的值呢？分式方程的根为我们指明了方向。分式方程的根有三种情况：一是有实根；二是无根，即无解；三是有增根。根据分式方程根的情况，我们可以建立关于字母的方程或不等式，从而确定字母的值或取值范围。本文将对分式方程根的情况分类例析，以期对学生求解分式方程问题有所帮助。

一、已知分式方程的根，直接代入求值

代入法是一种重要的数学方法。如果已知分式方程的根，就可以直接将其代入分式方程，建立关于未知字母的方程，然后通过求解方程，得出字母的值。

［例1］已知关于[x]的方程[2axa-x=23]的根为[x=1]，求[a]的值。

分析：将[x=1]代入方程[2axa-x=23]得到关于[a]的分式方程，解该分式方程求出[a]的值，再检验a的值与[x]的值是否使最简公分母为0。

解：将[x=1]代入方程[2axa-x=23]，得[2aa-1=23]，等式两边同时乘以[3（a-1）]得[3×2a=2（a-1）]，解得[a=-12]。检验：当[a=-12]时，[3（a-1）=3×-12-1=-92≠0]，∴[a=-12]是分式方程[2aa-1=23]的根，∴[a]的值为[-12]。

评注：把分式方程的根代入方程求出字母的值后，须检验字母的值是否使最简公分母为0。若最简公分母为0，则方程出现增根，此时原方程无解。

二、已知分式方程根的取值范围，先解分式方程

若已知分式方程根的取值范围，则应先解分式方程，用含字母的代数式表示分式方程的解。然后，根据根的取值范围以及最简公分母不为0的条件，建立关于字母的不等式组。最后，解这个不等式组，从而求得字母的取值范围。

［例2］已知关于[x]的分式方程[m-2x-1+31-x=1]的解是非负数，求[m]的取值范围。

分析：解出分式方程，根据解是非负数求出[m]的取值范围，再根据最简公分母不为0，令[x≠1]，求出[m]的值。

解：在分式方程[m-2x-1+31-x=1]两边同时乘以[x-1]，得[m-2-3=x-1]，解得[x=m-4]。∵关于[x]的分式方程[m-2x-1+31-x=1]的解是非负数，且[x-1≠0]，∴[m-4≥0]，且[m-4-1≠0]，解得[m≥4]，且[m≠5]。综上，[m]的取值范围为[m≥4]且[m≠5]。

评注：特别注意的是，由分式方程根的取值范围求字母的取值范围时，需考虑所求得的字母值取值范围内是否使最简公分母等于0。若求出字母的值使最简公分母为0，这样与方程有非负解矛盾。

三、规律型分式方程，方程的形式要统一

规律型分式方程描述的是一类方程，将待求解方程变形为规律型分式方程，可以根据此类方程解的特征求出所求方程的解。下面探究的就是一类规律型分式方程的解。这类分式方程的特点是左边是一个未知数和一个分式的和，且分式的分母是未知数，分子是两个常数的积；右边则是这两个常数的和。这类分式方程的解往往是这两个常数。

［例3］阅读：对于两个不等的非零实数[a]，[b]，若分式[（x-a）（x-b）x]的值为零，则[x=a]或[x=b]。又因为[（x-a）（x-b）x=x2-（a+b）x+abx=x+abx-（a+b）]，所以关于[x]的方程[x+abx=a+b]有两个解，分别为[x1=a]，[x2=b]。应用上面的结论解答下列问题：

（1）方程[x+8x=6]有两个解，分别为[x1=2]，[x2=]" " " " " " " " 。

（2）关于[x]的方程[x+m-nmnx=m+4mn-n2mn]的两个解分别为[x1=2]，[x2=]" " " " " " "。

（3）关于[x]的方程[2x+n2-n2x-1=2n]的两个解分别为[x1]，[x2（x1lt;x2）]，求[2x1-12x2]的值。

分析：（1）将方程变形为[x+abx=a+b]的形式，利用阅读材料中的结论确定方程的解；（2）将方程变形为[x+abx=a+b]的形式，利用题中[x1]的值及特殊方程的结论确定[x2]的值；（3）方程变形后，利用题中的结论表示出[x1]与[x2]，再代入原式计算。

解：（1）∵[2×4=8]，[2+4=6]，∴将方程[x+8x=6]改写成[x+2×4x=2+4]，可以看出原方程的两个解分别为[x1=2]，[x2=4]。

（2）由题中的结论知，方程有一根为2，故将方程变形为[x+m-n2mn×2x=m-n2mn+2]，得方程另一个根为[m-n2mn]，则[x1=2]，[x2=m-n2mn]。

（3）方程整理得[2x-1+n（n-1）2x-1=n+n-1]，得[2x-1=n-1]或[2x-1=n]，可得[x1=n2]，[x2=n+12]，则[2x1-12x2]的值为[n-1n+1]。

评注：为求出所求方程的解，需将所求方程变形为与示例方程相同的结构形式，即分式的分子为两个数之积，且方程的右边恰是这两个数的和。本题采用观察法与转化法解题。在第（3）小题中，将[2x-1]视为一个整体（未知数），先求得关于[2x-1]的方程，再求出[x]的值。

四、有整数解的分式方程要分类讨论

要求含参分式方程的整数解，需先解出分式方程，然后对分式方程的解进行讨论，看字母取何值时，分式方程的解才能为整数。当字母满足某个不等式组时，还要解不等式组求得字母的取值范围，最后结合这两个方面来确定字母的值。

［例4］若数[m]使关于[y]的不等式组[2y+1gt;0，2（y+2m）≤5m，]至少有三个整数解，且使关于[x]的分式方程[8-mx2-x-2=xx-2]有整数解，求所有满足条件的整数[m]的值的和。

分析：先解一元一次不等式组，确定[y]的取值范围，由不等式组至少有三个整数解得[m]的取值范围；再解分式方程得到[x]的值，根据分式方程有整数解及[m]的取值范围，进一步讨论[m]的具体取值。

解：不等式组[2y+1gt;0，2（y+2m）≤5m]的解集为[-12lt;y≤12m]，∵关于[x]的不等式组[2y+1gt;0，2（y+2m）≤5m，]至少有三个整数解，∴[12m≥2]，∴[m≥4]。关于[x]的分式方程[8-mx2-x-2=xx-2]的解为[x=4m-3]，∵要使分式方程[8-mx2-x-2=xx-2]有意义，令[2-x≠0]，即[4m-3≠2]，∴[m≠5]。∵关于[x]的分式方程[8-mx2-x-2=xx-2]有整数解，∴[4m-3]为整数，且[m≥4]，∴[m=4]或7，∴所有满足条件的整数[m]的值的和为[4+7=11]。

评注：实际上，当[x=4m-3]为整数时，[m-3]可取±1，±4，±2，但是结合[m≥4]的结论，[m]只能取4或7。当分式方程的解为整数时，分子一般为常数，分母一般为含字母的代数式。对此可先确定分母的可能取值，再根据字母的取值范围进行取舍。

五、分式方程有增根，增根代入整式方程

分式方程的增根是指使分式方程的最简公分母为0的[x]的值。增根不是分式方程的解，但却是去分母后得到的整式方程的解。因此，我们可将分式方程的增根代入去分母后得到的整式方程中，以求得未知字母的值。由此可见，增根也有“用武之地”。

［例5］关于[x]的分式方程[2x-2+mx（x+1）（x-2）=3x+1]。（1）若方程的增根为[x=2]，求[m]的值；（2）若方程有增根，求[m]的值。

分析：（1）根据分式方程的性质先去分母，再移项并合并同类项，得一元一次方程，然后把[x=2]代入即可求得[m]的值；（2）根据分式方程增根的定义，首先确定方程的增根为[x=-1]或[x=2]，再分别代入整式方程求得m的值。

解：（1）在分式方程[2x-2+mx（x+1）（x-2）=3x+1]两边同时乘[（x+1）（x-2）]，去分母得[2（x+1）+mx=3（x-2）]，移项、并合并同类项，得[（m-1）x+8=0]，当方程的增根为[x=2]时，[（m-1）×2+8=0]，解得[m=-3]。

（2）当方程有增根时，方程的增根为[x=-1]或[x=2]，由（1）可得当[x=2]时，[m=-3]，当[x=-1]时，[（m-1）×（-1）+8=0]，解得[m=9]，∴[m=9]或[m=-3]。

评注：方程有特定增根[x=2]与方程有增根是不一样的。通过上述例题的解析，可以看到，当方程有增根时，要全面分析能使最简公分母[（x+1）（x-2）]为0的[x]的值，并分类讨论，从得出[m]的两个可能值。

六、分式方程无解要分类讨论

已知分式方程无解，求未知字母的值时，需要分类讨论。第一种情况是分式方程有增根，把分式方程的增根代入去分母后的整式方程求得未知字母的值；第二种情况是整式方程无解。造成整式方程无解的因是自变量的系数为0而常数项不为0所致。

［例6］已知关于[x]的分式方程[mx+1-2m-x-1x2+x=0]无解，求[m]的值。

分析：去分母，得[mx-2m+x+1=0]，方程无解有两种情况：分式方程有增根和去分母后的整式方程无解，据此解答；分式方程有增根时，结合增根的定义可得[x]的值，将其代入方程可得[m]的值。

解：原分式方程的左右两边同乘[x（x+1）]去分母，得[mx-2m+x+1=0]，∵分式方程无解，故分为两种情况：①分式方程有增根，得[x=0]或[x=-1]，将[x=0]，[x=-1]分别代入，得[m=12]或[m=0]。②方程[mx-2m+x+1=0]，即[（m+1）x=2m-1]无解，∴[m+1=0]且[2m-1≠0]，∴[m=-1]。综上所述，[m=12]或[m=0]或[m=-1]。

评注：上述分类讨论分式方程无解的两种情况，都是在分式方程去分母后化为整式方程的基础上展开的。增根不适合分式方程，但是适合整式方程。值得注意的是，当去分母后的整式方程无解时，也会造成分式方程无解。

七、新定义分式方程，注意转化

新定义的分式方程需转化为易于理解的旧知识，再迁移已学知识进行求解。例如，“相似方程”指的是有一个相同解的两个方程；“相伴方程”是指有相同整数解的两个方程。

［例7］对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”；②若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”。（1）判断一元一次方程[3-2（1-x）=4x]与分式方程[2x+12x-1-1=44x2-1]是否是“相似方程”，并说明理由；（2）已知关于[x]，[y]的二元一次方程[y=mx+6]与[y=x+4m]是“相伴方程”，求正整数[m]的值。

分析：（1）先求出两个方程的解，再根据“相似方程”的定义即可判断；（2）根据题意用[m]表示出[x]的值，再根据“相伴方程”的定义及[m]为正整数即可求出[m]的值。

解：（1）一元一次方程[3-2（1-x）=4x]与分式方程[2x+12x-1-1=44x2-1]不是“相似方程”，理由如下：解一元一次方程[3-2（1-x）=4x]，得[x=12]，解分式方程[2x+12x-1-1=44x2-1]，得[x=12]，检验：当[x=12]时，[（2x+1）（2x-1）=0]，∴原分式方程无解，∴一元一次方程[3-2（1-x）=4x]与分式方程[2x+12x-1-1=44x2-1]不是“相似方程”。

（2）∵关于[x]，[y]的二元一次方程[y=mx+6]与[y=x+4m]是“相伴方程”，所以两个方程有相同的整数解，∴[mx+6=x+4m]，∴[（m-1）x=4m-6]，①当[m-1=0]时，方程无解，②当[m-1≠0]，即[m≠1]时，[x=4m-6m-1]，即[x=4-2m-1]，∵[x]，[y]均为整数，∴[m-1=1]，2，-1，-2，又∵[m]取正整数，∴[m=2]或3。

评注：本题通过新定义，综合考查了一元一次方程、分式方程及二元一次方程组等知识。理解新定义并将其转化为旧知识是解题的关键。

通过上述的分析与解答，我们发现，根据分式方程的根确定参数时，需考虑分母不为零的情况。若分式方程有实根，则直接代入即可求得字母的值；若分式方程有增根，则需把增根代入去分母后的整式方程求解；若分式方程无解，则需分类讨论分式方程有增根与去分母后的整式方程无解的情况。

［" "参" "考" "文" "献" "］

[1]" 刘家良.由分式方程解的正、负求系数的取值范围（初二）[J].数理天地（初中版），2018（10）：12.

[2]" 汤建明.例析与增根有关的分式方程解的问题[J].初中生世界，2016（22）：49-50.

（责任编辑" " 黄春香）