例谈求线段长问题的四种方法

［摘 要］求线段长是初中几何常见的题型。文章结合例题，从四个方面探讨求线段长的四种方法，旨在提升学生的解题能力和思维品质。

［关键词］线段长；勾股定理；全等三角形；相似三角形；三角函数

［中图分类号］" " G633.6" " " " " " " " ［文献标识码］" " A" " " " " " " " ［文章编号］" " 1674-6058（2024）35-0031-04

求线段长是初中几何常见的题型。在学习“全等三角形”时，可通过求线段长来考查学生对全等三角形判定与性质的掌握情况；学习“勾股定理”时，可通过求线段长来检验学生对勾股定理的理解程度；在学习“相似三角形”时，求线段长也是考查学生相似三角形判定与性质掌握情况的有效手段；在学习“锐角三角形函数”时，求线段长则能帮助学生巩固对锐角三角函数定义的理解及掌握特殊角的三角函数值。基于这些学习内容，笔者总结了求线段长的四种方法，现举例说明。

一、利用勾股定理求线段长

利用勾股定理求线段长是求线段长最常用的方法。勾股定理是人类最伟大的发现之一，它揭示了直角三角形中三边之间的数量关系。在直角三角形中，只要已知两边长度，即可利用勾股定理求得第三边。而构造直角三角形的一个常用技巧就是作垂线。

［例1］如图1，在Rt[△ACB]中，[∠ACB=90°]，[AC=BC=3]，点[D]在直线[AC]上，[AD=1]，过点[D]作[DE]∥[AB]交[BC]于点[E]，连接[BD]，点[F]是线段[BD]的中点，连接[EF]，则[EF]的长为 " " " " 。

解：如图2，延长[EF]交[AB]于点[G]，连接[DG]。∵[DE]∥[AB]，∴[∠EDF=∠GBF]，[∠DEF=∠BGF]。∵点[F]是线段[BD]的中点，∴[DF=BF]，∴[△DEF ]≌[△BGF]（AAS），∴[FE=FG]，[DE=BG]，∴四边形[BEDG]为平行四边形，∴[DG]∥[BE]。∵[AC=BC=3]，[AD=1]，[DE]∥[AB]，∴[AD=BE=DG=1]，∴[∠AGD=∠ABC=45°=∠A]，∴[△ADG]为等腰直角三角形。①当点[D]在线段[AC]上时，如图3，[CE=CD=AC-AD=3-1=2]，∴[DE=2CD=22]，过点[G]作[GH⊥DE]于点[H]，∴[△DGH]为等腰直角三角形，∴[GH=DH=22DG=22]，∴[HE=DE-DH=22-22=322]，在Rt[△GHE]中，由勾股定理得[GE=GH2+HE2=222+3222=5]，∴[EF=12GE=52]；②当点[D]在[CA]的延长线上时，如图4，[CE=CD=AC+AD=4]，∴[DE=2CD=42]，过点[G]作[GH⊥DE]交[ED]的延长线于点[H]，则[△DGH]为等腰直角三角形，∴[GH=DH=22DG=22]，∴[HE=DE+DH=42+22=922]，在Rt[△GHE]中，由勾股定理得[GE=GH2+HE2=222+9222=41]，∴[EF=12GE=412]，综上所述，[EF]的长为[52]或[412]。

评注：本题以等腰直角三角形为背景，设计了一个求线段长的问题。由于点[D]在直线[AC]上，且[AD=1]，因此存在两种情况：点[D]在线段[AC]上和点[D]在线段[CA]的延长线上。针对这两种情况，需分别进行讨论。在每种情况下，均可证明四边形[BEDG]为平行四边形，且[△ADG]为等腰直角三角形。为了求线段长，每种情况下都需要作垂线构造直角三角形，最后利用勾股定理求得所需线段的长。

二、利用全等三角形求线段长

利用全等三角形求线段长是求解线段长度问题的第二种方法。全等三角形不仅是证明线段相等或角相等的常用工具，通过构造三角形可以发现图形中隐藏的特殊几何形状，如等腰三角形、平行四边形等。这些发现为后续问题的解决奠定坚实基础。

［例2］如图5，在正方形[ABCD]中，点[M]为[CD]边上一点，连接[AM]，将[△ADM]绕点[A]顺时针旋转90°得到[△ABN]，在[AM]，[AN]上分别截取[AE]，[AF]，使[AE=AF=BC]，连接[MF]，交对角线[BD]于点[G]，连接[AG]并延长交[BC]于点[H]。若[AM=253]，[CH=2]，则[AG]的长为 " " 。

解：∵如图5，将[△ADM]绕点[A]顺时针旋90°得到[△ABN]，∴[AM=AN]，[DM=BN]，[∠MAN=90°]，[∠DAM=∠BAN]，[∠AMD=∠ANB]，如图6，连接[DE]，[BF]，∵[AE=AF=BC]，[FN=AN-AF]，[EM=AM-AE]，∴[FN=EM]，在[△BFN]和[△DEM]中，[BN=DM，∠FNB=∠EMDFN=EM，]，∴[△BFN ]≌[△DEM]（SAS），∴[BF=DE]，∵四边形[ABCD]是正方形，∴[∠ADB=∠ABD=45°]，[AB=AD=BC]，∴[AF=AB]，[AE=AD]，∴[△ABF]和[△AED]都是等腰三角形，∴[∠ABF=∠AFB=12（180°-∠BAF）]，[∠ADE=∠AED=12（180°-∠DAE）]，∵[∠DAE=∠BAF]，∴[∠ABF=∠AFB=∠ADE=∠AED]，∵[AF=AE]，[∠MAN=90°]，∴[△AFE]为等腰直角三角形，∴[∠AEG=∠AFG=45°]，∵[∠GDE=∠ADE-∠ADB=∠ADE-45°]，[∠GFB=∠AFB-∠AFG=∠AFB-45°]，∴[∠GFB=∠GDE]，在[△GFB]和[△GDE]中，[∠BGF=∠EGD，∠GFB=∠GDE，BF=DE，]∴[△GFB ]≌[△GDE]（AAS），∴[FG=DG]，[BG=EG]，在[△AFG]和[△ADG]中，[AF=AD，FG=DGAG=AG，]，∴[△AFG ]≌[△ADG]（SSS），∴[∠FAG=∠DAG]，即[∠DAH=∠NAH]，∵[AD]∥[BC]，∴[∠DAH=∠AHN]，∴[∠AHN=∠NAH]，∴[AN=NH=AM=253]，设[BH=x]，则[AB=BC=BH+CH=x+2]，[BN=NH-BH=253-x]，在Rt[△ABN]中，[AN2=BN2+AB2]，∴[2532=253-x2+（x+2）2]，解得[x1=6]，[x2=13]，∴[BH=6]或[13]，如图7，过点[G]作[PG]∥[BC]，交[AB]于点[P]，∴[△APG ]∽[△ABH]，∴[APAB=PGBH]，即[APPG=ABBH]，∵[PG]∥[BC]，∴[∠GPB=180°-∠PBH=180°-90°=90°]，∵[∠PBG=45°]，∴[∠PGB=90°-∠PBG=45°-∠PBG]，∴[PG=PB]，①当[BH=6]时，[AD=CD=AB=BH+CH=8]，∴[APPG=ABBH=86=43]，∴设[AP=4a]，[PG=3a=PB]，∵[AB=AP+PB=8]，∴[4a+3a=8]，解得[a=87]，在Rt[△APG]中，[AG=AP2+PG2=（4a）2+（3a）2=5a=407]；②当[BH=13]时，[AB=CD=BC=BH+CH=73]，在Rt[△ADM]中，[DM=AM2-AD2=2532-732=8]，∵[DM=8gt;CD=73]，∴点[M]在[CD]的延长线上，与题意不符。综上，[AG]的长为[407]。

评注：本题在求解线段[AG]的过程中，利用了三次全等三角形，即[△BFN ]≌[△DEM]（SAS），[△GFB ]≌[△GDE]（AAS），[△AFG ]≌[△ADG]（SSS）。通过这些全等关系，可推导出[AD=AE=AF=AB]，[∠DAH=∠NAH]，从而得到等腰[△ANH]。这为后续利用相似三角形与勾股定理进行求解奠定了坚实的基础。

三、利用相似三角形求线段长

利用相似三角形求线段长是第三种求解线段长的方法。相似三角形的模型有多种，包括“A型”“X型”“旋转型”“K型”“母子型”等。可以利用相似三角形对应边成比例的性质来求解线段长或确定线段之间的数量关系，有时为了求得某条线段的长度，可能需要多次运用相似三角形的性质。

［例3］如图8，在等腰直角[△ABC]中，[AC=2]，[M]为边[BC]上任意一点，连接[AM]，将[△ACM]沿[AM]翻折得到[△AC′M]，连接[BC′]并延长交[AC]于点[N]，若点[N]为[AC]的中点，则[CM]的长为 " " " 。

解法1：如图9，过[C']作[C'D⊥BC]于[D]，作[C'E⊥AC]于[E]，又∵[∠C=90°]，∴四边形[DCEC']是矩形。设[C'D=x]，则[CE=x]，[AE=2-x]，∵[C'D]∥[CN]，∴[△BDC' ]∽[△BCN]，∴[C'DBD=NCBC=12]，即[BD=2C'D=2x]，∴[CD=2-2x=C'E]。Rt[△AC'E]中，[AE2+C'E2=C'A2]，即[（2-x）2+（2-2x）2=22]，解得[x1=2]（不合题意），[x2=25]，∴[C'D=25]，[C'E=65]。∵[∠DC'E=∠MC'A=90°]，∴[∠DC'M=∠EC'A]，又∵[∠C'DM=∠C'EA=90°]，∴[△DC'M ]∽[△EC'A]，∴[C'DC'E=C'MC'A]，即[2565=C'M2]，∴[C'M=23]，由折叠可得，[CM=C'M=23]。故答案为[23]。

解法2：如图10，过[C']作[C'D⊥ ] [BC]于[D]，过[A]作[AE⊥C'D]，交[DC']的延长线于[E]，又∵[∠C=90°]，∴四边形[DCAE]是矩形。设[C'D=x]，[CM=y]，则[C'E=2-x]，[C'M=y]，∵[C'D]∥[CN]，∴[△BDC' ]∽[△BCN]，∴[C'DBD=NCBC=12]，即[BD=2C'D=2x]，∴[CD=2-2x=AE]，[DM=2-2x-y]。∵[∠AC'M=∠E=∠C'DM=90°]，∴[∠AC'E+∠EAC'=90°=∠AC'E+∠DC'M]，∴[∠EAC'=∠DC'M]，∴[△AEC' ]∽[△C'DM]，∴[C'MAC'=C△DMC'C△AEC']，即[y2=x+2-2x-y+y2-2x+2-x+2=2-x6-3x=13]，∴[y=23]，∴[CM=23]。故答案为[23]。

评注：本题的两种解法均利用了相似三角形求边长而且这两种解法都利用了“A型”相似三角形[△BDC' ]∽[△BCN]，得到[BD=2C'D]。解法1进一步通过旋转相似的方法求得[C'M]的长，而解法2则利用了“K型”相似三角形求得[CM]的长。值得注意的是，解法2创新性地运用了相似三角形的周长比等于相似比的性质，通过建立方程来求解，为问题的解决提供了新的思路。

四、利用三角函数求线段长

利用三角函数求线段长是求线段长的第四种方法。锐角三角函数实质上反映的是直角三角形中边与边之间的比例关系，因此，只有将锐角三角函数放在直角三角形中才能发挥其作用。当然，构造直角三角形的方法多种多样，比如作垂线、在圆中作直径、作矩形或正方形等。

［例4］如图11，点[A]，[C]，[D]，[B]在[⊙O]上，[AC=BC]，[∠ACB=90°]。若[CD=a]，[tan∠CBD=13]，则[AD]的长是 " " " 。

解：如图12，连接[AB]，作直径[CE]。连接[DE]，设[AD]交[BC]于点[T]。∵[∠ACB=90°]，∴[AB]是直径，∵[EC]是直径，∴[∠CDE=90°]，∵[∠CBD=∠E]，∴[tanE=tan∠CBD=13]，∴[CDED=13]，∴[DE=3a]，∴[EC=AB=CD2+DE2=a2+（3a）2=10a]，∴[AC=BC=22AB=5a]，∵[∠CAT=∠CBD]，∴[tan∠CAT=tan∠CBD=13]，∴[CT=53a]，[BT=253a]，∴[AT=AC2+CT2=（5a）2+53a2=523a]，∵[AB]是直径，∴[∠ADB=90°]，∵[tan∠DBT=DTDB=13]，∴[DT=1010BT=23a]，∴[AD=AT+DT=22a]。

评注：本次求[AD]长度的过程中，三次运用了锐角三角函数。第一次，通过[tanE=tan∠CBD=13]，求得圆[O]的直径是[10a]；第二次，利用[tan∠CAT=tan∠CBD=13]，求得[AD]上另一段[AT]的长；第三次，[tan∠DBT=DTDB=13]，求得[AD]上另一段[DT]的长。锐角三函数的值只有在直角三角形中才能转化为边与边的比例关系，从而发挥作用。本题通过作直径的方式将锐角三角函数置于直角三角形中。

上述例题利用了勾股定理、全等三角形、相似三角形、三角函数四种方法求线段长。实际上，还可以利用特殊图形的性质、图形的面积以及方程思想来求线段长。但不论采用何种方法求线段长，都需要根据题目的具体特点灵活选择策略。有时，甚至需要结合多种方法，共同求解线段长度。

［" "参" "考" "文" "献" "］

[1]" 邓传锋，陈谦，秦旭东.求线段长勿忘常规方法[J].数理化学习（初中版），2023（1）：28-30.

[2]" 郑泉水.构造相似三角形求线段长一例[J].数理化学习（初中版），2022（2）：9-10.

[3]" 王宇铄，刘家良.构造直角三角形求线段长[J].数理天地（初中版），2019（12）：47.

（责任编辑" " 黄春香）