加权分数傅里叶变换信号参数估计方法

马鹏辉，李艳斌

(1.中国电子科技集团公司 第54研究所，石家庄 050081；2.河北省电磁频谱认知与管控重点实验室，石家庄 050011)

0 引言

自Shih提出经典WFRFT理论[1]以来，WFRFT的内涵得到了广泛而深入的研究。文献[2]首先将WFRFT应用到通信系统，提出了基于WFRFT的数字通信系统框架，该系统可以看作是多载波和单载波系统的融合，属于一种混合载波体制，可以兼容当前的通信系统[2-3]，且在抗干扰性能[4-9]和抗拦截能力[8-12]方面优于多载波或单载波系统。

作为一种新型调制信号，WFRFT信号的研究主要集中在正向通信系统的应用及其性能分析上。在通信信道状态相同的情况下，通过选择恰当的参数α，混合载波通信系统可以提高系统性能[13-15]，而且在具有严重码间干扰和载波间干扰的通信信道中，混合载波通信系统仍然具有较好的性能[16]。由于其时频分布和星座的分集特性，混合载波通信系统被应用于许多通信场景，如水声通信、物理层保密通信和双极化卫星通信、加密通信等。文献[17]在水声通信领域提出了一种基于WFRFT的混合载波调制方案，由于WFRFT的时频分布能更好地匹配水声信道的双色散特性，证明了该调制方案在水声信道中的误码率优于多载波和单载波调制。文献[18]提出了一种基于WFRFT的物理层安全用户协作策略，WFRFT信号的类高斯分量可以作为窃听者的人工噪声，而不会对目标用户造成影响。由于星座的模糊特性，文献[19-20]在基于偏振调制的双极化卫星系统中采用了WFRFT处理技术，证明了可以获得满意的安全性能。

针对当前多参数(MP，multiple parameters)WFRFT对于星座的变化缺乏理论研究的问题，文献[21-22]从参数对星座带来的影响出发，分析了MP-WFRFT 星座的变化规律，提出了一种基于 MP-WFRFT 的星座预编码优化模型。为解决卫星通信信号隐蔽性不足的问题，文献[23]提出一种基于MP-WFRFT 的通信方法，该方法可将通信信号调制特征改变为其他类型，以提高卫星通信信号的安全性能。

考虑到混合载波体制在通信系统中的种种优势，对于非协作通信场景，在未知WFRFT信号参数的情况下，只有对其进行精确的估计，才能进行后续的调制识别和解调，因此，对WFRFT信号的参数估计方法进行研究对现代通信对抗有至关重要的意义。目前针对WFRFT信号的参数估计问题研究较少，文献[24]提出了一种基于高阶累积量的WFRFT信号参数估计方法。首先，通过理论推导，得出最小化四阶累积量C42可得到最优的WFRFT接收阶，然后，设计了一种组合搜索算法来对C42最小值进行搜索，从而实现参数估计。

本文通过理论推导建立Shintaro_K特征量[25]与WFRFT信号调制阶数的对应关系，绘制出关系曲线，根据曲线特点对抛物线算法进行改进，利用改进算法对曲线进行搜索，获得最优的WFRFT信号接收阶，从而实现参数估计。与文献[24]所提的参数估计方法进行对比，证明了本文所提方法具有相同的参数估计准确度，但具有更小的计算复杂度和更少的最优值搜索次数。

1 WFRFT基本原理

1.1 WFRFT定义及通信机理

对于任意复数序列X0，定义X0的WFRFT为：

WαX0=w0(α)X0+w1(α)X1+w2(α)X2+w3(α)X3

(1)

其中：{X0，X1，X2，X3}分别是X0的0～3倍DFT。DFT和IDFT的定义为：

(2)

其中：wl(α)(l=0，1，2，3)为加权系数且定义为：

(3)

根据公式(3)，可以看出，wl(α)(l=0，1，2，3)随α呈周期性变化，且周期为4，因此，α通常在[-2，2]或[0，4]区间内取值。在区间[0，4]内，wl(α)(l=0，1，2，3)的模长随参数α的变化规律如图1所示。

图1 加权系数的模长随参数α的变化曲线

在[0，1]区间内，加权系数wl(α)(l=0，1，2，3)各自随α在复平面上的变化规律如图2所示，从图中可以看出，随着参数α的增大，曲线上的点沿着顺时针方向运动，加权系数wl(α)(l=0，1，2，3)的曲线组合在一起形成了一条闭合的光滑曲线，同时，对于wl(α)(l=0，1，2，3)中的任意一个系数，其在α全周期内的运行轨迹为此曲线，变化的具体顺序为：→w0→w3→w2→w1→w0→。

图2 加权系数随α在区间[0，1]的变化规律

根据公式(1)，WFRFT在通信中的物理意义[2]可理解为：信息数据X0经过串并转换后分别进入4个支路进行处理，其中0支路和2支路的数据在加权处理之前没有经过离散傅里叶变换(DFT)模块，输出为原始时域信号，对应于单载波的通信模型；1支路和3支路的数据在加权处理之前都经过了DFT模块，则对应于以正交频分多路复用为代表的多载波通信模型。在4个支路的共同作用下，WFRFT 是一种同时具有单载波和多载波的混合载波通信模型，如图3所示。

图3 WFRFT通信模型

由公式(3)可见，4个支路的加权系数wl(α)(l=0，1，2，3)满足：

|w0|2+|w1|2+|w2|2+|w3|2=1

(4)

由此可见，WFRFT通信信号中单、多载波占比由参数α决定，当α为0时，w0=1，w1=w2=w3=0，WFRFT的通信模型等价于传统单载波通信模型；当α为1时，w1=1，w0=w2=w3=0，WFRFT的通信模型等价于以正交频分多路复用为代表的多载波通信模型。

1.2 WFRFT信号特性

参数α决定了每个加权系数wl(α)(l=0，1，2，3)的数值，即决定了4个支路分量对最终信号特征的贡献程度。随着参数α的增减，被加权信号的星座在复平面上将呈现旋转、扩散或压缩的变化。每个加权系数wl(α)(l=0，1，2，3)的旋转角度为：

(5)

这一角度决定了信号的每个分量在复平面上图形的旋转趋势，这4个分量共同决定了被加权信号在复平面上最终呈现出的样式。

设被加权序列可以表示成为以下形式：

Xl(n)=cl(n)+idl(n)，l=0，1，2，3

(6)

X0(n)经过WFRFT的结果S0(n)可以表示为：

(7)

则S0(n)的相位为：

(8)

图4(a)～(d)为在参数α分别等于0、0.1、0.3和1时，对QPSK信号进行WFRFT后在复平面上的分布。从图中可以看出，随着参数α的增大，原始信号的星座点逐渐旋转、扩散，星座点之间的界限逐渐模糊，最终星座混叠在一起无法区分，呈现出一种类高斯的分布状况。WFRFT对原始信号在复平面上带来的这种变化，将对变换后信号的检测、调制方式识别和解调造成很大困难，进而提供了一种有效抗检测抗识别的信号加密手段。

图4 信号分布

在接收端，只有得到变换参数α，然后经过相应的逆变换才能恢复出正确的星座图，才能进行后续的调制识别和解调。

2 WFRFT信号参数估计方法

2.1 WFRFT信号Shintaro_K值的计算

Shintaro_K参数实际上是信号包络四次方的均值与包络平方的均值平方的二倍之差，定义如下：

Shintaro_K=E[u2(t)]-2{E[u(t)]}2

(9)

式中，u(t)为信号包络的平方。

对于随机序列X，X的Shintaro_K值可表示为：

Shintaro_K(X0)=E[(XX*)2]-2[E(XX*)]2

(10)

假设发送方对信息数据X0进行参数为αt的WFRFT，在理想无噪环境下进行传输，接收方接收到的信号为WαtX0，对其进行参数为αr的逆WFRFT，根据WFRFT的可加性，可得：

Wαr[Wαt(X0)]=Wαt+αr+X0=WΔαX0

(11)

当Δα=0时，WΔαX0=X0，即接收方对接收到的WFRFT信号进行参数αr=-αt的逆变换，方可得到原始的信息数据。对上式求其Shintaro_K值，得到：

Shintaro_K(WΔαX0)=Shintaro_K(w0(Δα)X0+

w1(Δα)X1+w2(Δα)X2+w3(Δα)X3)

(12)

当序列长度足够大时，Xl(l=0，1，2，3)可看作4个不相关的随机序列，因此：

Shintaro_K(WΔαX0)=|w0(Δα)|4Shintaro_K(X0)+

|w1(Δα)|4Shintaro_K(X1)+|w2(Δα)|4

Shintaro_K(X2)+|w3(Δα)|4Shintaro_K(X3)

(13)

由于X1和X3分别是X0和X2的归一化DFT，当序列长度足够大时，X1和X3是渐进高斯分布。由于Shintaro_K参数完全不受加性高斯白噪声的影响[25]，因此Shintaro_K(X1)和Shintaro_K(X3)趋近于零。将|w0(Δα)|4简记为|w0|4，|w2(Δα)|4简记为|w2|4，Shintaro_K(X0)记为S。由于X0和X2具有相同的分布性质，可以得到Shintaro_K(X0)=Shintaro_K(X2)=S，则上式(13)可以改写为：

Shintaro_K(WΔαX0)=(|w0|4+|w2|4)·S=

(14)

通过求导法，可以很容易地得到|w0|4+|w2|4在Δα=0处(参数准确估计处)取得最大值，又因为常规信号的Shintaro_K值为负值，如表1所示，因此可以通过最小化接收信号Shintaro_K(WΔαX0)来得到参数估计值αr。

表1 常规信号Shintaro_K特征参数理论值

2.2 最优解搜索算法

假设发送方参数αt取值范围为[0，1]，那么接收方参数αr的取值范围为[-1，0]，则参数估计误差Δα范围为[-1，1]。为了找到获得最优αr的最佳方法，根据公式(14)绘制图5，纵轴表示|w0|4+|w2|4的值，横轴表示Δα的值。从图5可以看出，|w0|4+|w2|4与Δα之间的函数为单峰函数。在一维优化理论中，对于单峰函数来说，抛物线算法是一个很好的选择，其收敛速度较快，但需要一定的前提条件，中间的值要严格小于左右两端点的值。因此，本文将结合曲线的特点，对抛物线算法进行改进，提出一种计算更稳定、收敛速度更快的搜索算法。

图5 |w0|4+|w2|4随Δα的变化曲线

图6 水平割线法原理图

图7 改进抛物线算法流程图

对初始点进行预处理后，再转入抛物线搜索算法，整个算法步骤如下。

初始点预处理算法如下。

Step1：令k=k+1，当f(x1)

Step3：若f(x1)>f(x2)且f(x2)>f(x3)，转入抛物线算法；否则，转入Step4。

Step6：若f(x1)>f(x2)且f(x2)>f(x3)，转入抛物线算法；否则，转入Step7。

抛物线算法：

Step8：计算抛物线的中间值如下：

Step10：将x1，x2，x3，xx按升序排列，定义r1，r2，r3，r4为排序后的元素。如果|r2-r3|≤δ，则输出xx，算法结束；否则，转入Step11。

Step11：如果f(r1)≤f(r4)，将x1，x2，x3更新为x1=r2，x2=r3，x3=r4；否则，将x1，x2，x3更新为x1=r1，x2=r2，x3=r3。令k=k+1，转入Step1。

3 实验

基于以上分析，将发送方αt约束在[0，1]范围内，则接收方搜索区间αr设置为[-1，0]，那么参数估计误差Δα范围为[-1，1]。下面以QPSK信号为例，通过仿真实验，分析本文参数估计方法的性能。

生成QPSK信号，采样点数为2 048，仿真次数为100次，Shintaro_K值随Δα的变化趋势如图8所示。

图8 Shintaro_K值随Δα的变化趋势图

由图8可以看出，仿真结果与理论推导结果一致，可通过最小化接收信号Shintaro_K(WΔαX0)进行参数估计。

生成QPSK信号，采样点数为2 048，对其进行参数αt=0.05：0.05：0.95的WFRFT，不添加噪声，搜索区间设置为αr=-1：0.002：0，对每个αt值在搜索区间内进行扫描，求其Shintaro_K值并进行曲线拟合，然后采用本文的最小值搜索算法估计参数，从而得到参数估计误差|Δα|，仿真次数为100次，每个αt下的估计误差|Δα|如图9所示。

图9 估计误差|Δα|随αt的变化

由图9可知，无噪条件下，在αt取不同值时，均能得到较小的估计误差|Δα|，可认为本文方法可实现参数的准确估计。

生成QPSK信号，采样点数为2 048，在噪声条件下，信噪比SNR=0：1：20(dB)，αt=[0.1 0.3 0.6 0.9]，搜索区间设置为αr=-1：0.002：0，仿真次数为100次，估计误差|Δα|随αt的变化如图10所示。

图10 不同αt下估计误差|Δα|的变化

由图10可知，在有噪条件下，估计误差|Δα|与αt的取值无关。通过文献[24]可知，在保证1‰误比特率的前提下，当参数估计误差|Δα|≤0.03时，参数估计误差对误比特率的影响可忽略不计。因此，只需保证参数估计误差|Δα|≤0.03，将|Δα|≤0.03的估计记为有效估计。

在对αt的扫描步进和搜索算法的精度δ进行设置时，设置的越小，参数估计误差越小，但计算复杂度也会越大。根据上面提到的有效估计的概念，在不影响有效估计次数的前提下，为了减少计算复杂度，对αt的扫描步进和搜索算法的精度δ进行合理的设置，本文将αt的扫描步进设置为0.01，搜索算法的精度δ设置为0.02，文献[24]的方法精度δ的值仍为原文设置的0.000 1。为了对比本文和文献[24]的参数估计方法的性能，下面将进行对比实验，实验设置如表2所示。

表2 实验参数设置

在无噪条件下，生成QPSK信号，采样点数为2 048，αt=[0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9]，采用两种方法进行参数估计，仿真100次，将总的有效估计次数与总仿真次数的比值定义为成功识别概率，两种方法的成功识别概率和平均搜索次数如图11所示。

图11 无噪条件下两种方法的对比

由图11可知，在无噪条件下，两种方法均能实现对参数的有效估计，但本文的搜索算法可以达到更少的搜索次数。

在噪声条件下，信噪比SNR=0∶1∶15(dB)，生成QPSK信号，采样点数为2 048，由于估计误差|Δα|与αt的取值无关，令αt=0.87，采用两种方法进行参数估计，仿真100次，两种方法的成功识别概率和平均搜索次数如图12所示。

图12 有噪条件下两种方法的对比

由图12可知，在有噪条件下，两种方法对参数的有效估计性能相似，均在信噪比SNR≤6 dB时，可实现对参数的有效估计，但本文的搜索算法具有更少的搜索次数。

通过上述在无噪和有噪条件下两种参数估计方法的性能对比，可以得到，本文和文献[24]中的参数估计方法性能相近，但本文具有更少的搜索次数，且计算复杂度较低，计算复杂度对比如表3所示。

表3 复杂度对比

4 结束语

本文提出了一种基于Shintaro_K特征量的WFRFT参数估计方法。经过理论推导得到，通过最小化接收信号的Shintaro_K值，可以得到最优的WFRFT接收阶。此外，根据Shintaro_K特征量曲线的特点，对抛物线搜索算法进行改进，以达到更优的搜索效率。仿真结果表明，该参数估计方法是正确有效的，同时，通过对比实验，本文提出的方法相较于文献[24]中的方法具有相同的参数估计准确度，但具有更小的计算复杂度和更少的最优值搜索次数。

在未来的工作中，计划在其他通信信道状态下，如平坦瑞利衰落信道和多径瑞利衰落信道中测试该理论，并设计其他高效算法，以获得尽可能有效和精确的最优解。