不确定需求下铁路集装箱班列开行方案与定价联合优化

李 琳，张小强

(1.上海海事大学 交通运输学院，上海 201306；2.西南交通大学 交通运输与物流学院，四川 成都 611756；3.西南交通大学 综合交通大数据应用技术国家工程实验室，四川 成都 611756；4.西南交通大学 综合交通运输智能化国家地方联合工程实验室，四川 成都 611756)

近年来,铁路集装箱运输以安全、便捷、“公转铁”、“一带一路”政策等优势快速发展,2021年铁路集装箱运量同比增长23%,较2017年增长216%,相比于不断攀升的铁路集装箱运量,其运输收入增幅仍然较低[1],铁路集装箱运输企业需利用更科学的管理方法提升竞争力与盈利能力。早期铁路集装箱班列运输组织研究基于传统的“货流→车流→列流”组织模式,考虑到在技术站多次改编有损运输时效性与安全性,且集装箱具有便于装卸的特点,有关学者提出了我国铁路集装箱旅客化运输组织模式,以实现“箱流→列流”的直接转换,这种转换有利于铁路集装箱运输实施收益管理从而提升运输利润,文献[2-3]针对此新型集装箱运输系统进行列车开行方案优化研究。目前我国已允许铁路集装箱运输企业根据市场供求状况自主确定集装箱货物运价水平,但如何建立灵活的定价机制以提高铁路集装箱运输效率亟待深入研究。

集装箱列车开行方案与运输价格相互影响,有必要对二者进行联合优化。文献[4]针对铁路货运面临的低、中、高价值货物提出联合定价、容量控制、运输组织的双层规划模型,并通过原始对偶最优条件将其转化为单层规划模型求解。文献[5]建立双层规划模型以联合优化铁路货运定价与开行方案,上层以铁路运输利润最大化为目标优化列车开行方案与运价,下层基于用户均衡原理以托运人广义费用最小化为目标实现货流在各运输方式之间的均衡分配。以均衡分配为基础进行定价优化的相关研究通常需要建立双层规划模型,在求解时通过下层模型灵敏度分析获取运价与需求之间的导数关系,进而利用泰勒展开得到运价与需求之间的近似线性关系[6],但这种线性关系实际上仅适用于上层模型所得运价的邻域范围,将此关系再次代入上层求解会导致误差过大从而使双层之间的迭代难以收敛。基于离散选择模型如多项Logit模型建立的单层定价优化模型更便于求解,且文献[7]认为用户均衡原理并不能完全适用于铁路运输。文献[8]基于顾客价值理论构建海铁联运客户需求与价格之间的关系,基于遗传算法求解所建立的利润最大化运营优化模型。在考虑货物积压的情况下,文献[9]使用Logit模型描述托运人运输方式选择行为,并利用李雅普诺夫优化方法与和声搜索算法求解多周期铁路集装箱班列开行方案与定价联合优化问题。

本文在考虑运输需求不确定性的基础上对铁路集装箱班列开行方案与定价联合优化问题进行拓展,考虑不确定运输需求更符合实际[10]。机会约束规划方法在研究随机需求问题方面应用广泛,如文献[11]和文献[12]分别利用机会约束规划方法研究随机需求下集装箱班轮运输与集装箱海铁联运的舱位分配与定价问题,并使用随机变量的概率分布函数将机会约束转化为确定性等价类后求解。为进一步考虑概率分布信息的不确定性,将鲁棒优化与随机优化相结合得到的分布鲁棒优化方法逐渐发展,鲁棒优化通过设置不确定参数的范围来进行最坏场景下的决策,分布鲁棒优化只需构建概率分布的不确定集合,并在最差概率分布下进行决策。文献[13]使用样本均值近似法处理集装箱班轮运输舱位分配与定价问题中的机会约束,此方法利用样本统计量近似随机变量,虽然避免了估计分布函数显示形式的困难,但大量取样会导致求解耗时。文献[14-15]在已知随机变量一阶矩(期望)和二阶矩(协方差)的情况下将分布鲁棒机会约束转化为确定性约束,分别研究新能源汽车车辆调度问题与中欧班列空箱调运问题。

在既有研究的基础上,本文利用Logit模型刻画托运人运输方式选择行为,考虑到直接将Logit模型代入现代智能优化算法求解无法保证解的全局最优性,进而对Logit模型实施增量分段线性化以简化求解;利用分布鲁棒机会约束规划决策不确定集装箱运输需求下铁路集装箱班列开行方案与定价方案,所采用的机会约束确定性转化方法不限定随机变量的概率分布形式,且允许其一阶矩、二阶矩在给定范围内波动,能够表达更一般化的不确定性;对所建立的随机混合整数非线性规划(stochastic mixed-integer nonlinear programming,SMINP)模型目标函数中的双线性项进行凸松弛,结合以上对约束条件的处理,转化后的模型可直接利用求解器高效求解,通过算例分析验证所提方法的有效性。

1 问题描述

问题框架见图1。由图1可知,本文研究对象为直线方向上开行的铁路集装箱班列,运行径路上共有S个铁路集装箱站点,不同班列可以满足不同OD的运输需求,如从站点1发往站点S并途中在站点2停靠的班列可以满足OD(1,2)、OD(1,S)、OD(2,S)的集装箱运输需求,从站点2发往站点S-1且中途不停靠的班列可满足OD(2,S-1)的集装箱运输需求。基于文献[2-3]提出的铁路集装箱旅客化运输组织模式,集装箱班列不需在技术站解编作业。在班列到达铁路集装箱站点之前,需要装运的集装箱提前在装卸线等待,班列到达后直接按预定计划快速装卸,类似于乘客在站台乘降,从而有效控制集装箱运到时限。具有运输某OD集装箱货物以及特定运到时限的托运人在获悉相应运价后考虑是否预订箱位,能够满足此集装箱运输的班列均设置相同运价,本文暂未考虑预售期多级运价以及班列时刻表,集装箱班列开行方案对于托运人而言属于“黑箱”。班列开行方案包括班列开行区段、开行频次、停站方案、箱流分配,是列车运行计划的基础。班列开行区段即列车的始发站、终到站以及列车途经运输弧段;班列开行频次指一定周期内列车的服务频率;班列停站方案指列车在开行区段上选择在哪些途中车站进行停站作业;班列箱流分配指各OD集装箱流如何由各班列承担。本文引入在铁路客运开行方案设计中常用的列车备选集方法,列车备选集指所有可能开行的合理的列车集合,其中具有相同开行区段与停站方案的班列视为同一类班列,列车开行方案需决策备选集中各班列开行频次及箱流分配方案。本文的研究目标是解决集装箱班列开行方案与定价联合优化问题,为深化我国铁路运输市场化改革以及提高铁路集装箱运输盈利能力提供理论与技术支撑。

图1 问题框架

我国铁路一直以“按流开车”的原则组织列车开行,货运需求是确定列车开行方案的基础,但货运需求往往存在不确定性,在制定开行方案与运价阶段并不能精确确定实际装车数量。某OD集装箱运输市场的总集装箱运输需求往往根据历史数据预测得到,通过Logit模型分析托运人运输方式选择行为,进而计算托运人选择铁路集装箱运输的概率,总集装箱运输需求与选择概率的乘积即可视为铁路集装箱运输需求。但影响运输市场中集装箱运输需求的因素众多,如经济发展水平、季节性、国家政策等,即使具备充足的历史数据,运输需求的准确预测也极具挑战性。因此,本文将各OD总集装箱运输需求描述为概率分布类型与矩信息均具有不确定性的随机变量,即不能确定其概率分布函数,仅将预测值视为需求的经验估计,进而以最大化铁路集装箱运输预期利润为目标,建立随机优化模型研究铁路集装箱班列开行方案与定价优化问题,班列开行方案包括具有不同停站方案集装箱班列的开行频次以及箱流(TEU与FEU)在不同班列之间的分配。

为更好地界定本文研究范围,给出如下研究假设:

1)OD间总集装箱运输需求的经验估计已知,铁路集装箱运价可调整范围已知,受到各铁路运输弧段通过能力的制约,各铁路运输弧段能够开行集装箱班列的最大数量已知,铁路集装箱班列备选集已知,备选集中各班列停站次数不超过最大停站次数,以避免因停站过多影响货物送达时效,公路集装箱运价已知且在决策期间保持不变。

2)仅考虑铁路集装箱运输与公路集装箱运输两种运输方式的竞争。

3)仅考虑集装箱直达运输。

2 模型建立

集合、参数、决策变量符号及说明见表1～表3。

表1 集合符号说明

表2 参数符号说明

表3 决策变量符号说明

建立的SMINP模型(记为M1)优化目标为铁路集装箱运输预期利润最大化,即

max(I-C)

(1)

根据铁总财〔2017〕333号《铁路货物运输进款清算办法(试行)》[16],运输收入I为货物运费进款,即

(2)

运输成本C为

(3)

模型约束条件为

(4)

(5)

(6)

(7)

∀(i,j)∈Lh∈Hm∈M

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

∀(i,j)∈L(m,n)∈Lh∈H

(17)

(18)

(19)

3 模型求解

本文所建立的SMINP模型具有3个求解难点:①刻画托运人运输方式选择行为的Logit模型非线性;②总集装箱运输需求为不确定变量;③目标函数中存在双线性项。本节针对这些求解难点分别利用增量分段线性化、分布鲁棒机会约束等价转化、McCormick包络方法进行处理,处理后的模型可调用求解器直接求解。

3.1 Logit模型线性化

(20)

由于式(20)为分段函数,为便于求解,进一步基于分段函数线性化的思想将式(20)转化为

(21)

∀(i,j)∈Lh∈H

(22)

h∈Hw∈{1,2,…,W}

(23)

∀w∈{1,2,…,W-1}

(24)

3.2 分布鲁棒机会约束等价转化

(25)

更贴近实际应用的模糊集需要同时考虑随机变量分布形式与矩信息的不确定性[21],即

D(μ,Σ,γ1,γ2)=

(26)

(27)

通过对随机变量b概率分布不确定性的考虑,将机会约束(13)转化为分布鲁棒机会约束

∀(i,j)∈Lh∈H

(28)

根据文献[14-15],可证明若随机变量b服从概率分布集合D0,则式(28)等价于

∀(i,j)∈Lh∈H

(29)

根据文献[22],可证明若随机变量b服从概率分布集合D且γ1/γ2≤α,则式(28)等价于

∀(i,j)∈Lh∈H

(30)

若随机变量b服从概率分布集合D且γ1/γ2>α,则式(28)等价于

∀(i,j)∈Lh∈H

(31)

证明从略。

3.3 目标函数处理

∀(i,j)∈Lh∈H

(32)

∀(i,j)∈Lh∈H

(33)

∀(i,j)∈Lh∈H

(34)

∀(i,j)∈Lh∈H

(35)

通过对模型M1凸松弛,以及前文对Logit模型的线性化和分布鲁棒机会约束的等价转化,得到如下模型M2,其目标函数与约束条件分别为

目标函数为

(36)

约束条件为式( 4 )～式(12),式(14)～式(19),式(21)～式(24),式(29)或式(30)或式(31),式(32)～式(35)。

模型M2为线性规划模型,可调用求解器直接求解,且模型M2的最优目标函数值提供了模型M1最优目标函数值的上界ZU。模型M2相比模型M1并未减少约束条件,故模型M2的解是模型M1的可行解。将模型M2的最优解代入模型M1的目标函数,即可得到模型M1最优目标函数值的下界ZL。根据(ZU-ZL)/ZL计算模型求解的最优差距,最优差距越小则解的质量越高,输出ZL作为模型M1的最优目标函数值,并输出相应最优解。

4 算例分析

本章通过算例分析验证所提模型与算法的适用性与有效性。所有实验通过Matlab 2018a编程调用Gurobi 9.1.2求解,程序运行环境为Inter Core i7-8550U CPU@1.80 GHz和8.00 GB RAM的计算机。

4.1 输入数据

表4 各OD相关参数取值

表5 Logit模型相关参数值

图2 铁路集装箱班列运输路线

4.2 计算结果

设置α=0.1,γ1=0.1,γ2=1.1,为验证铁路集装箱运输动态定价对提升铁路集装箱运输利润的有效性,设计以下2种情景进行对比,输出结果见表6。

表6 情景1、2输出结果

情景2:集装箱班列开行方案与定价联合优化。

从表6可知,本文提出的求解算法可在短时间内获得质量良好的解。由于情景1中铁路集装箱运价为固定的已知值,则优化问题的目标函数不存在双线性项,且不需对Logit模型进行线性化,将分布鲁棒机会约束等价转化后即可直接利用求解器求解,求解结果为全局最优解。情景2的最终求解结果具有极小的最优差距,得到了近似全局最优解。对比情景1、2可见实施动态定价后铁路集装箱运输预期利润增加了9.01%,证明了联合优化班列定价与开行方案的有效性。情景2对描述托运人运输方式选择行为的Logit模型进行了分段线性化处理,大朗—大红门20英尺箱Logit模型曲线见图3。由图3可知,托运人选择铁路集装箱运输的概率随铁路集装箱运价变化曲线,在铁路集装箱运价可变动范围内,大朗—大红门20英尺箱Logit模型分段线性化见图4。由图4可知,随着分段数的增加,线性化所得分段直线几乎与原曲线重合,因此可通过调整价格分段数自主降低Logit模型线性化误差。

图3 OD大朗—大红门20英尺箱Logit模型曲线

图4 OD大朗—大红门20英尺箱Logit模型分段线性化

情景1的铁路集装箱班列最优运量决策以及情景2的铁路集装箱班列最优运价及运量决策见表7,情景1仅通过优化班列开行方案来满足当前运价下的铁路集装箱运输需求,情景2通过联合优化班列开行方案与运价同时调整运输供给侧与需求侧,使得铁路集装箱运输利润最大化。情景2的最优集装箱班列停站方案见图5,具有相同停站方案的班列视为同一类班列,如班列1表示从大朗发至大红门且中途不停靠的集装箱班列,班列2表示从大朗发至大红门且中途在长沙东停靠的集装箱班列,最优停站方案包含8种类型。铁路集装箱箱流在这8种具有不同停站方案的集装箱班列之间的最优分配方案见表8。由表8可知,各班列在途经站点的作业内容,如班列2在大朗站装载大朗—长沙东的20英尺箱18箱、大朗—大红门的40英尺箱27箱,班列停靠长沙东站后卸载大朗—长沙东的集装箱,装载长沙东—大红门的40英尺箱21箱,班列到达大红门站后卸载大朗—大红门与长沙东—大红门的集装箱。情景2铁路集装箱班列最优开行频次见表9,如班列2在运输弧段长沙东—武汉北上装载大朗—大红门的40英尺箱27箱、长沙东—大红门的40英尺箱21箱,共占用车数48辆,根据前文所设置的班列开行编组辆数要求:最小编组36辆、最大编组60辆,模型决策得到各班列最优开行频次,其中班列1与班列4各需开行2列,其余班列各开行1列。

表7 情景1铁路集装箱班列最优运量与情景2铁路集装箱班列最优运价及最优运量

表8 情景2铁路集装箱班列最优箱流分配方案 箱

表9 情景2铁路集装箱班列最优开行频次

图5 情景2铁路集装箱班列最优停站方案

4.3 灵敏度分析

本节分别在以下3种情景联合优化集装箱班列开行方案与运价,以对随机变量概率分布模糊集的限制参数γ1与γ2、分布鲁棒机会约束的风险水平α进行灵敏度分析。

情景5:设置γ1=0.1,γ2=1.1,改变α的值分别为[0.05,0.1,0.15,0.2,0.25]。

图6 铁路集装箱运输预期利润随γ1和γ2值变化曲线

机会约束中的风险水平反映了决策者的风险承受能力,情景5通过设置不同的风险水平取值得到铁路集装箱运输预期利润随α值变化曲线见图7,可见随着风险水平的增加,铁路集装箱运输预期利润逐渐增加,原因之一是风险水平的增加表明运输供给高于需求的概率变大,意味着模型机会约束对应的可行域扩大,决策者可以在更大的可行域内寻求更为经济的开行方案与定价策略,原因之二是决策者能够承受的风险水平提升说明决策者愿意承担较大风险来获取更为经济的方案,从而运输利润增加。

图7 铁路集装箱运输预期利润随α值变化曲线

5 结论

本文将集装箱总运输需求处理为概率分布类型、一阶矩、二阶矩均不确定的随机变量,以最大化铁路集装箱运输预期利润为目标联合优化集装箱班列开行方案与运价,以大朗至大红门铁路集装箱班列为背景进行了算例分析。结果表明:①本文所建立的模型是NP难问题,基于分布鲁棒优化、增量分段线性化、McCormick包络相关方法对模型进行转化后利用Gurobi优化软件求解,所得结果为原问题的一个下界,但与最优结果差距很小(误差在1.01%之内);②若铁路集装箱运价无法动态调整,则铁路集装箱运输不能吸引到最优货运需求,从而导致运输利润降低,在运输价格可调整范围为降价10%至涨价15%等条件下,联合优化开行方案与运价比单独优化开行方案可提升运输利润9.01%;③若随机变量概率分布模糊集的限制参数γ1与γ2增大,则铁路集装箱运输预期利润呈下降趋势,此时运输需求预测准确性变低,分布鲁棒下的铁路集装箱运输开行方案设计与定价倾向于采取更为保守的决策,尽可能准确的预测需求对于提升货运收益是必要的;④随着决策者风险承受能力α的增大,即随着允许运输供给大于运输需求的概率的增大,铁路集装箱运输预期利润增加,但是更高的利润也意味着更高的风险。

本文探讨的集装箱班列开行方案与定价优化基于运输需求预测值,在未来研究中,需要进一步探讨实时运输需求下铁路集装箱班列开行方案的动态调整策略,并可考虑将收益管理引入铁路集装箱运输,研究集装箱箱位预订过程中的箱位控制策略。本文以铁路集装箱运输为主体进行讨论,暂未考虑公路集装箱运输在铁路集装箱运价发生变化后对自身运价的调整。在进一步研究中可考虑二者之间关于定价的完全信息动态博弈,构建公路集装箱运价决策模型,铁路集装箱运输企业与公路集装箱运输企业能够根据自身拥有的运输资源不断调整定价策略使自身运输利润最大化,经过多轮博弈后二者的定价达到均衡状态。虽然本文受篇幅限制而暂未考虑两种运输方式的博弈,但本研究可为二者每一轮博弈提供完整的求解方法,为后续研究奠定基础。