基于新型自适应滑模观测器的PMSM无传感器控制*

王淑旺,杨 光,王 强

(合肥工业大学机械工程学院,合肥 230009)

0 引言

永磁同步电机(permanent magnet synchronous motor,PMSM)具有小体积、高功率密度和高效率等优点,现已被广泛用作高动态、高精度应用中的伺服电机。PMSM在应用中需要准确了解转子的实时位置和速度,机械传感器通常被用于传统PMSM中测量各种电机参数,例如在转轴上安装光电编码器测量转子位置,以及旋转变压器监控转子转速等。但值得注意的是,电机整体的尺寸、转动惯量会在传感器的安装中增加,同时还会带来更高的成本,机械传感器在特殊环境中如高湿度、高温度和低温等恶劣环境中可能会发生失真和失效,从而影响PMSM的正常使用。因此,无传感器控制策略已成为PMSM控制系统发展的趋势[1]。

目前,在PMSM的控制系统中加以应用的无位置传感器控制策略主要有两种,一种是高频信号注入法[2],这种方法能够实现PMSM零速和低速的无传感器控制,但当其被运用于高速条件下时,效果可能会不尽如人意。另一种是基于电机模型观测器法,通过算法实现对PMSM状态的观测,现已被提出的控制算法包括扩张状态控制法[3]、神经网络控制[4]、模型参考自适应控制[5]、扩展卡尔曼滤波器[6]和滑模控制(sliding mode control,SMC)[7]等。与其他方法相比,滑模控制方法具有对于参数变化和扰动不敏感和鲁棒性较强的优点[8],因此基于滑模控制的无传感器控制策略现已广泛运用于电机控制。

1 永磁同步电机数学模型

根据永磁体转子的安装位置,三相永磁同步电机(PMSM)包含表贴式和内置式两种转子结构。前者d、q轴上的电感相等,即Ld=Lq=Ls。后者d、q轴上的电感不相等,具有凸极效应。

本文采用表贴式PMSM,在两相静止的坐标系α、β轴下,PMSM可建立如下数学模型:

(1)

反电动势方程为:

(2)

式中:iα、iβ、uα、uβ分别表示的是PMSM在α、β轴上的定子电流和电压,Rs、Ls分别代表的是PMSM定子电阻和电感,eα、eβ分别为PMSM在α、β轴上的反电动势,ψf为转子永磁体磁链,ωe是转子的电角速度,θe为转子的电角速度。

2 滑模观测器的设计

传统滑模观测器(slide mode observer,SMO)采用符号函数使系统切换至滑动模态。该过程对PMSM数学模型进行重新建模,表达式为:

(3)

(4)

(5)

2.1 切换函数的改进

传统滑模观测的切换函数在零点附近存在的不光滑且不连续现象,会导致系统观测值产生幅值跳动现象从而发生抖振。文献[9]采用饱和saturation函数,从一定程度上减少了反电动势中的抖振。本文在此基础上做出了进一步改进,采用sigmoid函数作为切换函数。sigmoid函数在实数域内连续可导,且在零点附近的函数图像为光滑曲线,而saturation函数在零点附近为一条直线,在边界层两侧存在斜率的突变,因此能有效抑制状态切换过程中的抖振问题。sigmoid函数表达式为:

(6)

式中:Δ为边界层厚度,a为控制系数,是一个恒为正的常数。

如图1所示,a的值越大,函数收敛于±1的速度越快,即系统响应速度更快,但抖振更大;a的值越小,函数收敛于±1的速度越慢,即系统响应速度更慢,但抖振更小。因此要选取合适的a、Δ值才能满足系统的控制精度和响应速度的要求。权衡收敛速度以及避免抖振,本文选取a=5;由图1可见sigmoid函数基本在s=±2左右使得F(s)收敛于±1,故取Δ=2。

图1 取不同a值的sigmoid函数示意图

2.2 自适应滑模观测器的设计

定义滑模面函数为:

(7)

设计自适应SMO为:

(8)

式(1)与式(9)做差可得电流偏差方程:

(9)

对式(2)进行微分计算结果为:

(10)

根据式(10)可设计滑模观测器的自适应律为:

(11)

将式(11)与式(10)做差可得观测电动势的偏差方程为:

(12)

稳定性是SMO设计过程中的重要指标,定义自适应SMO的李雅普诺夫函数为:

(13)

由机械时间常数远大于电气时间常数,所以转子在一个估算周期内可近似认为是定速转动的,则式(12)带入式(13)并在一个估算周期内微分得:

(14)

因此,式(14)满足李雅普诺夫稳定性定理,说明该算法是稳定的。

在工程实践中,PMSM在低速范围内观测到的反电动势幅值与中高速范围内观测到的值相比非常的小,无法准确测量。此外反电动势的大小将跟随转子电角速度ωe变化,在低速时观测值可能会有噪声的存在[10]。

因此,为了克服上述问题并充分利用sigmiod函数的优点,在改进的自适应SMO中改进了自适应反馈增益:

η=|ωe|+ζ

(15)

式中:ζ是一个相对较小的常量,其作用是避免在零速时增益η为零。改进后系统示意图如图2所示。

图2 改进系统控制图

式(8)可改写为:

(16)

反电动势的观测值为:

(17)

在此引入一个新的中间变量:

(18)

系统进入滑动模态后,反电动势观测值与实际值相等,则联立式(2)、式(17)可得:

(19)

由此可见Eα,Eβ的引入可弱化转速对于观测值的影响。

3 锁相环的设计

根据滑模控制理论,由于传统SMO采用符号函数作为系统估测反电动势的切换函数,符号函数中第一类间断点的存在将导致高频抖振现象。这种抖振现象会使反正切函数运算出的结果中出现较大的角度估计误差。针对此种现象,本文在传统SMO基础上做出改进,采用锁相环(phase-locked loop,PLL)取代反正切函数,来估算电机的位置和速度信息。基于锁相环的SMO控制实现框图如图3所示。

图3 锁相环示意图 图4 锁相环闭环控制图

(20)

由图3可进一步作出系统闭环控制图,如图4所示。

则系统的闭环传递函数为:

(21)

4 仿真分析

4.1 仿真模型搭建

Simulink仿真所用永磁同步电机参数如表1所示。

表1 永磁同步电机参数

系统采用ode23变步长算法,以式(3)为例,对系统采用后向欧拉法进行离散化处理可得:

(22)

式中:

(23)

对exp(ATs)取麦克劳林公式可得:

(24)

则将式(21)带入式(20)可得:

(25)

其余各式均采用后向欧拉法进行离散化处理,原理相同,并按图5所示框图搭建系统。

图5 永磁同步电机改进型自适应SMO系统框图

4.2 改进SMO与传统SMO的对比

首先,让系统以空载启动,给定转速为1000 r/min,仿真时间设为t=0.16 s。观测这段时间内,传统SMO与改进型自适应SMO在α轴上的估测反电动势,其结果如图6所示,改进型滑模观测器与传统滑模观测器相比,用反电动势的自适应律替代了滤波器的使用,从而避免了相位延迟以及幅值减小。

图6 两种SMO的观测反电动势Ealpha 图7 观测反电动势Ealpha放大图

图7是传统SMO与改进型自适应SMO在一个变化周期内的观测反电动势放大图,可见改进型自适应SMO的曲线更为平滑,因此系统的抖振更小。

图8和图9分别是系统在空载状态下,给定转速为1000 r/min的传统SMO与改进型自适应SMO转子位置估测以及位置估计误差图。由图8a和图9a中的转子位置图可知改进型自适应SMO转子位置估测延迟相对于传统SMO较低,其反应在两个估测误差图图8b和图9b中的信息是当转子由初始位置转过2π后,改进型自适应SMO能迅速识别,并即刻进入下一个估测周期,而传统SMO由于滤波器延迟和反正切函数的存在,会在周期末端产生抖振,且传统SMO最大位置观测误差约为0.25 rad,而改进型自适应SMO最大位置观测误差为0.18 rad,观测效果由于传统SMO。

(a) 位置观测 (b) 位置观测误差图8 传统SMO位置观测及误差

图10a和图10b分别为传统SMO和改进型自适应SMO在空载的状态下,给定转速为1000 r/min的转速估测图。可见改进型自适应SMO的转速估测精度较高,转子速度的跟随效果也优于传统SMO。

5 实验分析

为了进一步验证改进型自适应SMO的可行性,基于本文离散模型在TMS320F28377控制板中搭建的试验平台如图11所示,分别针对传统SMO和改进型自适应SMO。其中,为控制器与CAN总线供电的低压电源为12 V,转子信息由旋转变压器读取,其余参数如表1所示。

图11 物理实验平台

图12为空载状态下给定转速600 r/min的电机转速示意图,可见改进型自适应SMO的动态性能较好,能迅速跟随转子变化,且拥有较强的鲁棒性,曲线更加平滑。

图12 空载转速示意图 图13 加入负载转速示意图

图13为给定转速600 r/min,0.12 s时加入25 N负载的转速示意图,可见加入负载后,传统SMO观测值波动较大,且拥有较大的动态误差,由此可见改进型自适应SMO拥有更强的鲁棒性。

6 结论

本文提出了一种基于锁相环的改进型自适应滑模观测器的永磁同步电机无位置传感器控制策略,该改进型自适应滑模观测器使用sigmoid函数取代了传统的符号函数,同时加入了自适应反馈增益,以增强系统在低速范围内测量的准确性,最后通过锁相环提取转子转速信息以及位置信息。由仿真结果与实验论证可以得出,所改进的方法中反电动势相位提前于传统SMO,且幅值大于传统SMO,因此能较好地解决传统SMO中低通滤波器造成的延迟与抖振,避免了因角度估测延迟造成的抖振,从而提高了系统的位置估测精度以及转速估测精度,同时加入负载的仿真与实验验证了改进型自适应SMO在转子转速突变点附近震荡幅度较小且能较快的恢复稳态,具有较强的鲁棒性。