数值分析课程思政教学案例

吴景珠,樊 舸,邢秀芝,朱晓明

(1.周口师范学院 数学与统计学院,河南 周口 466001;2.周口市实验学校 中学部,河南 周口 466001)

无论是从理论层面还是实践层面有关课程思政的成果丰富多彩,研究内容几乎涉及所有学科。当然,数学学科也不例外。众多教师和学者从不同的教育视角给出了课程思政有关成果[1-5]。基于多年来数值分析课程教学团队的教学实践,挖掘课程思政元素并探索建立数值分析课程思政教学案例。通过教学案例为青年教师提供力所能及的教学指导和帮助。

1 课程简介

随着现代科学技术的飞速发展,计算数学作为数学的一个二级学科,其理论研究与实践应用已从工程技术应用、气象预报等传统领域拓展到了经济预测、金融管理、医药卫生、生态环境、生物技术、心理学和语言学等众多新领域。著名科学家冯康先生说：科学与工程计算已经成为一种基本的科学方法,它与牛顿、伽利略以来发展起来的两种传统的科学方法——科学理论分析和科学实验——形成了并驾齐驱的科学研究方法,被誉为“第三种科学方法”[6]。

数值分析作为计算数学的一个基础学科,是大学理工科专业开设的一门基础课程,其内容主要包括求解科学研究和工程技术领域中常用的数值计算方法,如插值法、函数逼近与曲线拟合、数值积分与数值微分、求解线性方程与非线性方程的数值方法、矩阵特征值问题的数值算法以及常微分方程初值问题的数值算法等。

数值分析课程中含有丰富的思政元素。如辩证唯物主义思想,文化自信,家国情怀,科学创新,以及数学专业思想教育等。但是这些课程思政元素有待于授课教师进行充分挖掘和提炼。下面我们结合多年来数值分析课程的教学实践,给出数值分析课程思政元素案例仅供读者参考。

2 课程思政案例教学设计

本文以《数值分析》(清华大学出版社第五版)“求解非线性方程组的Newton法”为教学内容进行课程思政案例教学设计。

(1)教学理念

在课堂教学中遵循“学生中心、产出导向、持续改进”的教育教学理念。

(2)教学内容

求解非线性方程组的Newton法。

(3)学情分析

数值分析是理工科大学各专业普遍开设的一门非常重要的基础课程。一般情况下,由于该课程需要微积分、线性代数、常微分方程以及计算机语言等学科知识作为基础支撑,因此大部分高校在第三学期开设。处在这一学段的学生,知识的学习更加系统化和专业化。 与中学相比,学习方法与手段更加多样化。他们自我学习、自我管理的能力日益增强。 但是,处于此阶段大学生的价值观仍需要我们进行引导和塑造。对于应用型本科高校的教师来讲,我们不仅要授好业,指导他们学好专业知识,而且要传好道,承担起弘扬社会主义核心价值观的育人职能,同时对学生遇到的各种各类问题要解好惑。

(4)教学目标

知识目标：让学生掌握求解非线性方程组的Newton法。

能力目标：使学生具备应用Newton法解决实际问题的能力。

价值观目标：在课堂教学中,通过介绍求解非线性方程组的数值算法产生的背景(卫星定位及其导航系统),让同学们了解：中国的北斗导航系统的设计原理来源于非线性方程组数值算法。同时,让同学们知道求解非线性方程组的算法原理在数学、计算机科学与技术、航天航空工程技术等理工科领域具有广泛应用。因此,在价值观目标上,我们要在以下2个方面达成：一是通过介绍中国北斗导航系统,弘扬科技兴国的爱国情怀。二是通过求解非线性方程的Newton算法导出求解非线性方程组的Newton算法(数学中的类比思想)。从而培养学生创新性思维能力。

(5)教学重难点

求解非线性方程组的Newton法的理论基础及其实践价值。

(6)教学方法与手段

教学方法：综合运用问题导向法、兴趣激发法、翻转课堂等多种课堂教学方法。

教学手段：板书以及PPT、超星学习通、雨课堂等智慧教学手段。

(7)教学过程设计

将教学过程分为问题导入、温故知新、实践训练、课堂小结、作业布置与课外知识拓展等五个教学环节开展课堂教学。

问题导入(5分钟)：

首先抛出问题：现代互联网技术的广泛应用于生产生活实际。例如我们可以通过智能手机打开某个地图APP进行卫星导航,从而选择最佳行程路线的高效节能交通出行方式。但是同学们并不太清楚这一高科技的应用技术原理以及实现路径是什么?(通过日常生活中的高科技应用技术提出关联问题激发学生学习兴趣)

然后简要介绍卫星导航技术的数学建模原理并建立下述非线性方程组。

(3.1)

其中,(x1,y1,z1)表示卫星s1在t1时刻所处的空间位置坐标,(x2,y2,z2)表示卫星s2在t2时刻所处的空间位置坐标,(x3,y3,z3)表示卫星s3在t3时刻所处的空间位置坐标,(x4,y4,z4)表示卫星s4在t4时刻所处的空间位置坐标,(x,y,z)表示移动物体M在t时刻所处的空间位置坐标,常数c表示光速值。

温故知新(25分钟)：

由于同学们目前还未掌握求解非线性方程组(3.1)的方法和手段。因此,请同学们思考如何解决这类问题。(通过设问进一步激发学生探索兴趣)

然后简要回顾复习本章节前述问题“求解非线性方程的Newton算法”的理论基础,即对欲求数值解的非线性方程f(x)=0在根x*的存在区间I上任取一点x0在x0处做二阶Taylor展开(假设f(x)在区间I上存在二阶导函数f″(x))。

令其线性部分为零即

f(x0)+f′(x0)(x-x0)=0

解得

这就是求解非线性方程的Newton算法。

请同学们思考能否借鉴上述算法思想解决新问题?(创新性思维培养)

然后教师带领学生一起探讨求解非线性方程组(3.1)的数值方法。

为方便起见,将非线性方程组(3.1)改写成等价形式(化繁为简便于解决问题)

(3.2)

其中

f1(x,y,z,t)=(x-x1)2+(y-y1)2+(z-z1)2-c2(t-t1)2

f2(x,y,z,t)=(x-x2)2+(y-y2)2+(z-z2)2-c2(t-t2)2

f3(x,y,z,t)=(x-x3)2+(y-y3)2+(z-z3)2-c2(t-t3)2

f4(x,y,z,t)=(x-x4)2+(y-y4)2+(z-z4)2-c2(t-t4)2。

类似于求解非线性方程的Newton算法(数学中的类比思想),对欲求数值解的非线性方程组(3.2)在根(x*,y*,z*,t*)的存在区域U≜I1×I2×I3×I4上任取一点M0≜(x0,y0,z0,t0),分别对4个四元函数f1(x,y,z,t)f2(x,y,z,t)f3(x,y,z,t)f4(x,y,z,t),在点M0处做二阶Taylor展开(假设fi(x,y,z,t),在区域U上存在二阶偏导函数i=1,2,3,4)。

分别令其线性部分为零即得

(3.3)

显然,方程组(3.3)是一个四元线性方程组。若方程组(3.3)的系数矩阵J0是一个非奇异矩阵,即行列式Det(J0)≠0,则利用求解线性方程组的直接解法便得到方程组(3.3)的解(x1,y1,z1,t1)。

实践训练(15分钟)：

利用Newton法求解方程组{初值点取X0={1.6,1.2}。(突出学生中心,贯彻OBE教学理念)

课堂小结(3分钟)：

让学生简要总结本节课堂教学内容的重难点(突出学生中心贯彻OBE教学理念)。

作业布置与课外知识拓展(2分钟)：

作业题：P239 17

计算实习题：P240 3

为提升学生的综合素养,布置课外知识拓展任务：

1.查阅资料,了解在国际上目前有哪些国家在全球建立了卫星定位系统?

2.从理论上讲,4颗卫星就能完成空间移动物体的卫星定位。但是为什么要发射20颗以上的导航卫星?

(8)课堂教学效果评价与反馈

通过课堂氛围情况、问题对答情况、实践训练情况等多种方式反馈教学效果,并由此进行教学反思,提出改进建议并及时进行反馈,以达到持续改进的教育教学目的,提升人才培养质量。

3 课程思政案例

案例1绪论中的课程思政

在课程绪论中,通过介绍中国科学家冯康在计算数学领域取得的辉煌成就,如,独立于西方创立了有限元方法,坚定中国文化自信,弘扬爱国主义精神。

案例2Lagrange插值与Newton插值中的课程思政

在授课内容中,介绍中国7世纪隋朝数学家刘焯。由其创造的等间距内插公式以及8世纪唐朝僧人一行创造的二次不等间距内插公式在天文学中的应用,其中的构造思想和原理与Lagrange型插值和Newton型插值几乎完全一致,却早于欧洲10个世纪,所以我们一定要树立中国文化自信。

案例3Hermite插值与分段低次插值中的课程思政

在授课内容中,介绍分段低次插值方法来源于德国数学家Runge对高次插值函数进行误差分析时出现的振荡现象的思考。由此对低次插值问题作进一步探索,进而得到了一种既能满足插值条件,又避免出现振荡现象的新的数值逼近方法。 以此弘扬勤于思考、善于创新的科学家精神。

案例4三次样条插值中的课程思政

在授课内容中,通过分析分段低次Lagrange型插值方法的优缺点,并针对其方法缺陷,探讨是否可以构造出既能保留分段低次Lagrange型插值方法的优势,又能克服其缺点的一种新的插值法?这样,通过问题导向法,引导学生发现问题并解决问题,从而达到既能弘扬科学家的创新精神又能提升学生创新能力之目的。

案例5最佳一致逼近与最佳平方逼近中的课程思政

在课堂教学中,通过引入空间范数将两类不同(范数)形式上的函数逼近,纳入到统一理论框架内体现马克思主义辩证统一原理。

案例6曲线拟合的最小二乘法与求解矛盾方程组的课程思政

在课堂教学中,向学生们介绍矛盾方程组的求解问题,实际上就是将原问题化为等价问题,即将矛盾方程组(超定方程组)的求解问题转化为恰定方程组的求解问题,以此来突出数学的转化思想。从而达到加强创新思想教育,弘扬科技兴国精神的教育目的。

案例7数值积分与数值微分中的课程思政

在课堂教学中,通过讲授一元函数的微分与定积分两种互逆运算。数值积分与数值微分数值算法的核心思想是,利用插值法构造满足条件的插值函数代替被积函数。由此阐明马克主义对立统一原理,以及事物是普遍联系原理在数学中的具体表现。

案例8求解线性方程组的直接算法中的课程思政

在课堂教学中,介绍中国古代数学专著《九章算术》(成书于东汉)中求解线性方程组的消元法。该虽然与西方高斯消去法相同,但却比西方早了几个世纪。另外,简要介绍Gauss的生平以及在数学方面取得的巨大成就。以此达到两个教育目的：一是坚定中国文化自信弘扬爱国主义精神。二是弘扬伟大的数学家高斯具有的脚踏实地、不求名利、低调行事、勇于创新的科学家精神。

案例9求解线性方程组的迭代算法中的课程思政

在课堂教学中,通过介绍迭代算法的基本思想将分布在不同数学分支学科中相同思想(压缩映像原理)关联在一起。如利用Picard逐步逼近法证明常微分方程初值问题解的存在唯一性定理等,凸显马克思主义基本原理：一般性与特殊性之间的辩证关系。

案例10求解线性方程组的共轭梯度法的课程思政

在课堂教学中,通过介绍系数矩阵为对称正定矩阵时,可以考虑将求解线性方程组的原问题转化为等价的变分问题。通过求解变分问题解决原问题,以此凸显数学独具特色的解决问题思想——转化思想,实现加强创新思想教育。

案例11求解非线性方程Aitken算法的课程思政

在课堂教学中通过介绍 Aitken算法,让同学们了解该算法是一个改良算法。在运算量没有明显增加的基础上,其收敛速度大大快于原有算法。该数值方法的思想具有创新性,能够达到加强创新思想教育,弘扬科技兴国精神的课程思政目的。

案例12求解非线性方程组的Newton法的课程思政

在课堂教学中,通过介绍非线性方程组的数值算法产生的背景(卫星定位及其导航系统),让同学们了解,中国的北斗卫星导航系统是非线性方程组数值算法在航空航天技术领域的具体应用。 以此达到宣传贯彻落实习近平总书记在党的二十大报告中关于教育、科技、人才是全面建设社会主义现代化国家的基础性、战略性支撑的重要讲话精神之目的。

案例13矩阵特征值问题的数值算法的课程思政

在课堂教学中,向同学们讲述互联网技术在生产生活中的应用。例如,百度、谷歌等搜索引擎被网民普遍使用,而其理论算法却来源于数学中的矩阵特征值问题。由此,让同学们了解数学学科的重要性,努力学好数学,达到加强专业思想教育,弘扬爱国主义精神之目的。

案例14常微分方程初值问题的数值算法的课程思政

在课堂教学中,通过介绍常微分方程初值问题的数值算法的产生背景,让同学们了解连续与离散之间的辩证关系,从中体现马克思主义辩证统一原理在数学中的应用。

4 总结与反思

在日常教学中,教师由于各种原因未能充分挖掘所授课程中的思政元素,尤其是对于数学类课程,授课教师往往感觉到数学学科与体音美等艺术类学科相比,其思政元素很少,不容易挖掘。实际上,数学类课程中含有丰富的思政元素,如： 数的四则运算中的加法和减法、乘法和除法;函数类型中的对数函数与指数函数;三角函数与反三角函数;微积分运算中的微分与积分等无不体现出马克思辩证法思想;一阶线性微分方程的求解和可分离变量的微分方程的求解;求解线性方程组的LU分解法和三对角方程组的追赶法等则体现了普遍性与特殊性这一哲学原理。中国古代知名数学家刘徽首创割圆术,秦九韶提出计算多项式函数的秦九韶算法,使我们树立中国传统文化自信。 现代知名数学家陈省身、华罗庚、冯康、陈景润、吴文俊等的家国情怀和科学创新等都是很好的课程思政素材。

所以,大学数学教师要深度挖掘课程思政元素,并将它们体现在教学设计中。只有这样,我们才能真正贯彻落实立德树人根本任务,在“三全育人”体系中发挥教师的育人功能。