一类带次线性中立项和阻尼项的三阶泛函微分方程的Philos型振动结果

林文贤

（韩山师范学院 数学与统计学院，广东 潮州 521041）

在日常生产生活中，振动现象司空见惯，如汽车振动、声带振动、电磁振动、热运动、火箭发射、原子运动等.由于振动的复杂性，人们往往通过简化假设来建立相应的数学模型，用相对简单的数学方法来描述复杂的振动问题，这就是动力学方程的振动理论.动力学方程振动理论是微分方程定性理论的一个重要分支，在控制工程、机械振动、生物制药、力学等领域具有重要的应用价值.

1836 年，Sturm 在热传导研究中首次研究了二阶动力学方程的振动性.20 世纪70 年代和80 年代，随着研究的深入，微分方程振动理论逐渐成为国内外学者研究的重点，研究对象已从线性微分方程扩展到次线性方程、半线性方程、超线性方程等情况.方程的阶数从二阶扩展到三阶，再扩展到偶数阶，从连续动力学方程扩展到离散动力学方程和时间尺度动力学方程，所研究的方程也从一般情况推广到时滞方程、中立型方程、阻尼型方程等.

急动度是描述机械运动的一个重要基本概念.文献［1］介绍了位移对时间的三阶导数——抖动程度的历史背景，以及其在星轮、凸轮等间歇运动机构设计中的应用.作为加速度随时间变化的速率，抖动是变加速度动力学的一个基本概念，它与三阶微分方程密切相关.近年来，泛函微分方程解的振动性和渐近性引起了人们的广泛关注.本文考虑一类三阶非线性中立型阻尼型泛函微分方程.

由于三阶微分方程的实际应用背景，近年来，三阶泛函微分方程的振动性和渐近性研究开始受到广泛关注，成果可以参看文献［1-16］.文献［4］考虑了三阶时滞微分方程

的振动性.文献［5］考虑了三阶半线性中立型微分方程

的振动性，显然，上面文献［4，5，8，10］所讨论的微分方程为方程（1）的特例.

在本文中记I=[t0,+∞),R+=(0,+∞)，且假设下列条件成立

（Z1）α,κ都是两个正奇整数之比，且0<κ≤1；

（Z2）a(t)∈C(I,R+),m(t),b(t)∈C(I,[0,+∞)),a′(t)≥0，0 ≤m(t)≤M<1,且

本文的目的是利用广义Riccati 变换、不等性技术和J－函数技巧，建立保证该类方程的所有解Philos型振动或收敛于零的新的充分条件，推广和改进文献［4，5，8，10］的相应结果.

1 引理

引理1[18]设u(t)>0,u′(t)>0,u″(t)≤0,t≥t0，则对任一θ∈(0,1)存在Tα≥t0，使得

引理2[19]设u(t)>0,u′(t)>0,u″(t)>,u‴(t)≤0,t≥Tα则存在β∈(0,1)和Tβ≥Tα，使得

引理3[20]设0<λ≤1，则

①Xλ+Yλ≤21-λ(X+Y)λ，X,Y为非负实数，

②(1 +X)λ≤1 +λX,其中1 +X>0.

引理4[20]设A,B是非负常数，则Aγ+(γ- 1)Bγ≥γABγ-1，(γ>1)，当且仅当A=B时等号成立.

引理5 设x(t)是方程（1）的最终正解，令

则y(t)只有下列两种可能，即存在T≥t0，使得当t≥T时有

(A)y(t)>0,y′(t)>0,y″(t)>0;(B)y(t)>0,y′(t)<0,y″(t)>0;

证明：设x(t)是方程（1）的最终正解及条件（Z3），存在t1≥t0，当t≥t1时，有x(t)>0,x(σ(t))>0，x(g(t))>0，易知，y(t)>x(t)>0且

上式中令t→∞，利用（Z2），有y′(t)→-∞，因此，y′(t)最终为负.但是，由y′(t)和y″(t)最终为负，可知y(t)最终为负，此与y(t)>0 的假设矛盾，故有y″(t)>0.因此，y(t)只能有（A）和（B）两种类型，引理5证毕.

2 主要结果

引进如下一类函数X.令D0={(t,s)|t≥s≥t0}，D={(t,s)|t>s≥t0}.称函数J(t,s)∈C1(D,R)为属于X类，记作J∈X，如果满足以下条件

（ⅰ）J(t,t)= 0,t≥t0;J(t,s)>0,(t,s)∈D0;

（ⅱ）J在D0上第二个变量有连续非正的偏导数.

定理1 设存在函数J∈X和h∈C(D0,R),ρ∈C1(I,R+)，使得

θ,β由引理1和引理2所定义，则方程（1）的每一解x(t)振动，或者当t→∞时x(t)→0.

证明 设方程（1）存在非振动解x(t)，不失一般性，设x(t)>0，t≥t1≥t0（对于x(t)<0 的情况可用同样的方法证明），根据引理5，由（2）所定义的y(t)具有性质(A)或(B).

（ⅰ）若y(t)具有性质(A)，则y′(t)>0，且由引理3有

在不等式（13）中应用引理4，得到

注1设若取J(t,s)=(t-s)n，则定理1成为方程（1）的Kamenev型振动准则.

注2定理1推广和改进了文献［4，5，8，10］的相应结果.