一类带次线性中立项和阻尼项的三阶泛函微分方程的Philos型振动结果

2024-01-20 10:21林文贤
韩山师范学院学报 2023年6期
关键词:三阶阻尼线性

林文贤

(韩山师范学院 数学与统计学院,广东 潮州 521041)

在日常生产生活中,振动现象司空见惯,如汽车振动、声带振动、电磁振动、热运动、火箭发射、原子运动等.由于振动的复杂性,人们往往通过简化假设来建立相应的数学模型,用相对简单的数学方法来描述复杂的振动问题,这就是动力学方程的振动理论.动力学方程振动理论是微分方程定性理论的一个重要分支,在控制工程、机械振动、生物制药、力学等领域具有重要的应用价值.

1836 年,Sturm 在热传导研究中首次研究了二阶动力学方程的振动性.20 世纪70 年代和80 年代,随着研究的深入,微分方程振动理论逐渐成为国内外学者研究的重点,研究对象已从线性微分方程扩展到次线性方程、半线性方程、超线性方程等情况.方程的阶数从二阶扩展到三阶,再扩展到偶数阶,从连续动力学方程扩展到离散动力学方程和时间尺度动力学方程,所研究的方程也从一般情况推广到时滞方程、中立型方程、阻尼型方程等.

急动度是描述机械运动的一个重要基本概念.文献[1]介绍了位移对时间的三阶导数——抖动程度的历史背景,以及其在星轮、凸轮等间歇运动机构设计中的应用.作为加速度随时间变化的速率,抖动是变加速度动力学的一个基本概念,它与三阶微分方程密切相关.近年来,泛函微分方程解的振动性和渐近性引起了人们的广泛关注.本文考虑一类三阶非线性中立型阻尼型泛函微分方程.

由于三阶微分方程的实际应用背景,近年来,三阶泛函微分方程的振动性和渐近性研究开始受到广泛关注,成果可以参看文献[1-16].文献[4]考虑了三阶时滞微分方程

的振动性.文献[5]考虑了三阶半线性中立型微分方程

的振动性,显然,上面文献[4,5,8,10]所讨论的微分方程为方程(1)的特例.

在本文中记I=[t0,+∞),R+=(0,+∞),且假设下列条件成立

(Z1)α,κ都是两个正奇整数之比,且0<κ≤1;

(Z2)a(t)∈C(I,R+),m(t),b(t)∈C(I,[0,+∞)),a′(t)≥0,0 ≤m(t)≤M<1,且

本文的目的是利用广义Riccati 变换、不等性技术和J-函数技巧,建立保证该类方程的所有解Philos型振动或收敛于零的新的充分条件,推广和改进文献[4,5,8,10]的相应结果.

1 引理

引理1[18]设u(t)>0,u′(t)>0,u″(t)≤0,t≥t0,则对任一θ∈(0,1)存在Tα≥t0,使得

引理2[19]设u(t)>0,u′(t)>0,u″(t)>,u‴(t)≤0,t≥Tα则存在β∈(0,1)和Tβ≥Tα,使得

引理3[20]设0<λ≤1,则

①Xλ+Yλ≤21-λ(X+Y)λ,X,Y为非负实数,

②(1 +X)λ≤1 +λX,其中1 +X>0.

引理4[20]设A,B是非负常数,则Aγ+(γ- 1)Bγ≥γABγ-1,(γ>1),当且仅当A=B时等号成立.

引理5 设x(t)是方程(1)的最终正解,令

则y(t)只有下列两种可能,即存在T≥t0,使得当t≥T时有

(A)y(t)>0,y′(t)>0,y″(t)>0;(B)y(t)>0,y′(t)<0,y″(t)>0;

证明:设x(t)是方程(1)的最终正解及条件(Z3),存在t1≥t0,当t≥t1时,有x(t)>0,x(σ(t))>0,x(g(t))>0,易知,y(t)>x(t)>0且

上式中令t→∞,利用(Z2),有y′(t)→-∞,因此,y′(t)最终为负.但是,由y′(t)和y″(t)最终为负,可知y(t)最终为负,此与y(t)>0 的假设矛盾,故有y″(t)>0.因此,y(t)只能有(A)和(B)两种类型,引理5证毕.

2 主要结果

引进如下一类函数X.令D0={(t,s)|t≥s≥t0},D={(t,s)|t>s≥t0}.称函数J(t,s)∈C1(D,R)为属于X类,记作J∈X,如果满足以下条件

(ⅰ)J(t,t)= 0,t≥t0;J(t,s)>0,(t,s)∈D0;

(ⅱ)J在D0上第二个变量有连续非正的偏导数.

定理1 设存在函数J∈X和h∈C(D0,R),ρ∈C1(I,R+),使得

θ,β由引理1和引理2所定义,则方程(1)的每一解x(t)振动,或者当t→∞时x(t)→0.

证明 设方程(1)存在非振动解x(t),不失一般性,设x(t)>0,t≥t1≥t0(对于x(t)<0 的情况可用同样的方法证明),根据引理5,由(2)所定义的y(t)具有性质(A)或(B).

(ⅰ)若y(t)具有性质(A),则y′(t)>0,且由引理3有

在不等式(13)中应用引理4,得到

注1设若取J(t,s)=(t-s)n,则定理1成为方程(1)的Kamenev型振动准则.

注2定理1推广和改进了文献[4,5,8,10]的相应结果.

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