磁性薄膜材料剩磁分布与弯曲形式的关系探究*

鲁太平,师明星

(西南交通大学 力学与航空航天学院,四川 成都 610031)

0 引 言

磁驱动的智能软材料因其良好的可编程性和易于变形的特性而在软体机器人、柔性电子、生物医疗等领域都有广泛的应用[1-3]。磁性软材料在强磁场中磁化以后,其内部磁偶极子形成特定构型的磁畴,产生剩余磁化强度(即剩磁)。硬磁性软材料在撤去磁化磁场以后,其内部能够保留较高的剩余磁化强度,使其在外部磁场作用下能够实现丰富的变形行为[4-6]。笔者将薄膜状的硬磁性软材料在厚度方向上进行弯曲后充磁,研究发现充磁后材料内部的剩磁分布与其充磁时弯曲形状相关,由此建立了两者之间的关系式。通过控制薄膜充磁时的弯曲曲线形式,可对薄膜内部剩磁分布进行控制。笔者以几种典型曲线弯曲的薄膜为例,用确立的关系式推导了其展开后内部的剩磁分布形式,并对这些薄膜在外加恒定磁场及重力场的作用下的变形进行了有限元模拟及实验验证。

1 薄膜内部剩磁分布与其充磁弯曲形式之间的关系

1.1 薄膜充磁形式

所取薄膜的尺寸为20 mm×5 mm×0.2 mm。图1展示了薄膜弯曲充磁及置入外加磁场中产生变形的过程。薄膜内部在任意一点处的剩磁均为有大小和方向的矢量。假想薄膜在厚度方向上(y方向)以一定形状弯曲后置入磁场中充磁,其在薄膜宽度方向上(z方向)磁场恒定。展开后其厚度方向上的剩磁应为存在一定曲率的弧线,但由于薄膜厚度较薄,认为其厚度方向上剩磁呈直线,即在厚度方向上剩磁方向无变化。充磁完成后,在与xy平面平行的面上,薄膜就会有和弯曲形式相关的磁场分布。因此,通过控制薄膜的弯曲形式,可以实现对薄膜内部剩磁分布的控制。用Brep表示用于充磁的磁场。

图1 薄膜充磁过程及在外加磁场Ba中的变形

1.2 薄膜弯曲曲线满足F(y)=f(x)时的剩磁分布

如图2所示为弯曲曲线满足F(y)=f(x)的薄膜。图2(a)展示了形状曲线满足曲线表达式F(y)=f(x)的薄膜充磁完成展开后其内部剩磁分布与弯曲形式的关系。如图2(b),记录曲线上的起点、终点及每一个导数为零或不可导的点弯曲时及展开后的横坐标值,函数在任意两相邻导数值为零(或不可导)的点C(Xi,xi),D(Xi+1,xi+1)之间即为函数的一个单增或单减区间,设其在该段满足函数关系式y=f(x),其在任意一点处的斜率k=tanθ=f′(x),所以θ=arctan(f′(x))。充磁完成展开后,剩磁在x,y方向上的分量为:

图2 弯曲曲线满足F(y)=f(x)的薄膜

(1)

式中:

(2)

要了解薄膜展开后横向坐标X上每一点的剩磁分布情况,则需要建立薄膜弯曲时横向坐标x和展开后横向坐标X之间的坐标变换,即可由式(1)得到展开后该点的剩磁情况。弯曲时曲线从零点到曲线上任意一点的弧长即为展开后该点在X方向上的坐标,即函数关系式为:

(3)

函数的弧长积分求解困难,可以利用数值计算的方法在曲线上取若干点做X与x的拟合曲线,从而得到X对于x的映射x=Z(X)。令满足该映射的曲线上的任意一点的坐标表示为P(X,x)。为了方便计算,文中认为在函数的每一段单增或单减区间内,X与x之间都为线性映射。假设函数共有n段单增或单减的区间,则在第i段区间内x和X满足的函数关系式为:

x=aiX+bi,i∈(0,n)

(4)

如图2(b),曲线弯曲时起点的横向坐标为x0,终点横向坐标为xn,在x=x1,x2,...,xi,xi+1,...xn-1处导数值为零(或不可导),函数在任意两相邻导数值为零(或不可导)的点C(Xi,xi),D(Xi+1,xi+1)之间即为函数的一个单增或单减区间。所以在C、D点之间x与X满足一次函数关系式:

(5)

综合式(1)、(5)即可得薄膜展开后在任意一点的剩磁分布情况。

1.3 几种典型弯曲曲线充磁后的剩磁分布

由1.2节中推出的关系式可知,在已知薄膜弯曲曲线的情况下可以较为容易地得出其内部剩磁分布。文中对长度为20 mm的薄膜充磁时弯曲形状为未变形、四等分折线(每段与水平线夹角为45°)、余弦函数曲线(y=4cos(0.58x))、圆形(半径为3.18 mm)、椭圆(长轴为4 mm,短轴为1.75 mm)、方形(边长为5 mm)等几种情况进行了讨论,并对这几种薄膜的弯曲形式及充磁展开后内部剩磁分布情况进行了研究,结果如图3所示。

图3 薄膜的弯曲形式及充磁展开后内部剩磁分布情况

对以上6种剩磁分布不同的薄膜在外加磁场下的变形行为进行有限元模拟及实验验证,将两者结果进行比对来验证1.2节中推导式的正确性。有限元计算的理论框架、模型、参数设置、实验操作的具体细节及最终结果等在下文给出。

2 薄膜变形行为的有限元计算

2.1 磁性微柱在磁场中受到的力矩

图4给出了一个含有磁性粒子的ecoflex硅橡胶微柱的受力图。假设每个磁性粒子都是尺寸相同的球形粒子。从磁柱中截取一个尺寸极小的单元,并认为在这一个单元内磁性粒子的分布是均匀的。

图4 磁柱中单个单元受力示意图

(6)

式中:μ0=4π×10-7N·A-2,为真空磁导率;l、t、h分别为单元的长、宽、高。

2.2 有限元计算本构模型

考虑磁场的影响,在传统的胡肯本构模型中加入磁力项力-磁耦合本构模型[5],写为张量形式,即:

(7)

式中:F为变形梯度张量;J=detF>0,为形变雅可比;G为材料剪切模量;K为体积模量;I1=tr(FTF)。

则第一piola-kirchoff应力张量为:

(8)

式中:运算符⊗表示张量积。

2.3 有限元模型及参数

如图5所示为有限元计算模型及网格划分结果。

图5 有限元计算模型及网格划分

3 实验验证及结果对比

3.1 实验部分

将NdfeB磁粉与ecoflex按质量分数1∶1的比例混合制备得到软聚合物的预聚物,预聚物抽真空后倒在光滑的硅片上以600 r/min旋涂并烘干,对烘干后的磁膜进行切割即可得到与仿真所用尺寸相同的磁膜。实验过程如图6所示。图6(a)为用于验证仿真结果的磁膜成品图,其置入磁场后,固定的一端需预留出用于夹持的部分。图中虚线以上区域为夹持区,虚线以下区域为变形区,变形区尺寸为20 mm×5 mm×0.2 mm根据磁膜需要弯曲的形状,利用3D打印技术打印出相应形状的夹具,将切割好的磁膜用夹具夹持可以得到相应的弯曲形状,如图6(b)所示。之后将用夹具夹持好的磁膜进行充磁,待磁膜充磁完成后,将其置入外部恒定磁场环境中,如图6(c)所示。将磁场从0 mT增大到10 mT后观察变形情况并与仿真结果进行对比。

图6 磁膜的制备、充磁及变形试验

3.2 仿真结果及实验结果对比

1.3节中给出的几种典型曲线充磁后的薄膜在外部磁场中变形行为的仿真及实验结果如图7所示。图7中的有限元变形结果为外加磁场在2.5、5、7.5、10 mT时薄膜的变形。实验变形图为外加磁场从0 mT增大到10 mT的过程中薄膜的几个变形阶段。从图中可以看出,对于这些充磁方式不同的薄膜,随着外加磁场的增大,有限元模拟结果和实验得到的结果变形趋势基本一致。这很好地说明了模拟结果的可靠性。证明文中所给的薄膜充磁弯曲形式和其内部磁场分布之间的关系式是合理的。

图7 薄膜经不同形式弯曲后的有限元(左)及实验结果对比(右)

4 结 语

文中通过对薄膜软材料弯曲形状的合理简化,建立了薄膜弯曲形式与其内部剩磁分布之间的关系式。实现了通过控制薄膜充磁时的弯曲形式,从而对薄膜内部剩磁分布进行控制。同时通过数值模拟和实验验证的方法证明了所给关系式的合理性。这对于实现磁性软材料内部剩磁分布及其变形行为的精确编程控制具有极大的研究价值。