高中数学函数解题思路多元化处理对策研究

李军焰

【摘  要】  函数是高中数学的重要考点，高中数学的函数知识呈现出发散性强、涉及面广的学科特点，高中学生利用函数知识解题的时候，往往感到多头齐下，常常有一种无所适从之感，给学生们日常答题时增添了许多困难.本文主要研究高中数学中函数答题的多元化处理对策，希望在教师教法、学生学法方面提供一些有益的建议，使教学两方面主体切实受益.

【关键词】  高中数学；函数；解题技巧

当前高中学生在处理高中函数试题时的解题技巧常常陷入思维固化状态，根据教学实践显示，多数高中学生仍然习惯于分析变量关系的解题思路，这种解题思路是初中时代考试考查的热点，学生习惯于萧规曹随且依赖性强，但这不适应高中函数教学的本意.严格来说，函数并不是某个具体的知识点或解题工具，而是一种数学思想，与高中数学解题效率息息相关.因此高中数学阶段要解决的不是工具性问题而是思想性问题，高中学生掌握了函数问题的多元化处理技巧，是掌握一种数学思想的发端，教师要以这个目标为教学出发点，使学生们在充分掌握和理解函数知识的基础上，综合利用函数思想对各种考查点不同的函数问题进行特征判断，选择最优化的答题思路和切入点，提高解题效率.

1  高中数学函数解题思路多元化的作用及意义

1.1  检验高中学生数学知识能力

数学学科对逻辑能力、推理能力和解析能力的培养具有很大贡献，尤其是高中数学中的函数知识，整个高中数学学科内容也是围绕函数构建的，因此在函数知识体系中善于多元化解题思路，是检验一个高中学生对其所学过的数学知识的重要标准，也是学生将所学知识学以致用的一项检验考查目标，多元化解题能力能够使学生在解题过程中游刃有余，不受迷惑，提高解题效率[1].

1.2  提升高中学生数学学科素养

高中学生的心理发展需要数学思维来提升，数学中蕴含的理性思维能够进一步促进学生掌握更加成熟的思维方式，为自己的主观能动性提供有逻辑、有理性的参考资料，使高中学生在学習数学知识的同时提升综合素养，从而达到新课改提出的塑造核心素养的目的.可以看出，学生在解决数学问题时熟练掌握基础知识、灵活运用多元化的解题方法本身就是一种强化数学学科素养的进步性习惯，对学生的日后个人发展起到良好的推动作用.

1.3  突破学生思维固化现象

高中数学函数解题思路多元化有助于学生突破思维的固化现象，严格来说，函数题型是未来社会中艰难事务的一个缩影，其中的数字、公式和符号维持了一种多角度的相互关联关系，而解决问题的方法也是不一而足的，不存在传统的、只用一种方法便能解决根本问题的社会现象，因此解题思路多元化也有助于帮助高中学生突破固化的学习习惯和思维[2].每一位高中数学教师都应该积极向学生讲授函数题型多元化的解题技巧与方法，并使学生领悟与探索不同方法殊途同归的原因、程序，让学生增强对函数知识的体验感，突破固化思维的局限性.

2  高中数学函数解题思路多元化面临的困境

2.1  学生基础知识理解不深

高中学生自初中习得的函数知识基础并不全面，或者说初中函数知识只是为学生高中函数学习打开一扇门，而学生在面对高中时更加复杂的函数题型时，往往感觉思想上丰富了，解题手段的选择面广泛了，却比初中时期单一思路直来直去的效率更加降低，甚至对函数知识产生了一种迷惑感，这是由于在学习高中函数的过程中没有循序渐进地进行深刻理解，对函数概念停留在一些初中阶段死记硬背的固定公式层面，对于高中数学函数覆盖范围扩大到指数、对数、幂函数等领域时出现瓶颈现象，导致对各种函数的概念、性质发生互相混淆现象.

2.2  学生解题思想与手段僵化

高中函数作为一种解题思想覆盖多个子领域，不同领域的解题方法在函数这个基础知识上产生了交叉点并互相转化，因此使得解题方向、解题角度丰富起来，许多学生只依赖习惯的解题方法，导致模式固定、思维僵化，遏制了想象力与创造性的发展，沿用概念化的固定思维模式难以应变当前高中数学复杂多变的函数题型，导致陌生考点出现时解题无从下手.

例如  以下常见题：“对于函数，上有意义？”许多学生在审题的时候将这道题的考查点当作了定义域下的验证题，实际上，本题中的定义域尚未恒成立，这也是在考点考查中经常模糊概念的“定义域”与函数“有意义”的考点，解体思想僵化的学生往往将“能成立”与“恒成立”混为一谈，以致审题时出现思维障碍，直接将“有意义”，默认为“定义域”为“恒成立”，而不假思索地直接应用韦达定理进行解题研究其定义域的子集，这是教师应该时刻提醒学生注意的一个误区，避免视觉误差导致的思维僵化现象影响了学生们对对函数定义域成立的概念性理解.

2.3  教师讲授依赖公式或例题成法

在教科书上列举的函数题型目的是为了方便学生明晰其中的函数定理，覆盖和强化学生的基础知识，不是为了学生一套模式多方套用，但许多教师在讲授习题的时候无意识地打造成了标杆、堡垒，导致一些学生潜意识中默认这种解题方法迎合教材、适合自己，没有意识到范例性的解题方法只适用于该题型， 导致考试题型发生变化的时候束手无策，思维的局限性妨碍了学生信息处理的有效性，因而教师讲授时过度依赖课本例题也一定程度上导致学生思维产生了封闭性，错误地认为每道函数习题都是追求“一把钥匙开一把锁，找到最佳解决方案”，导致函数知识分散化、孤立化.一个值得注意的现象是，各个不同版本的“新课标”对教材例题和教学方向都有着微妙的影响.

例如  苏教版旧版必修一学习完集合这一章后就立即开始学习函数，而苏教版新教材则突出了知识之间的内在联系，先学习集合、常用逻辑用语、不等式、指数与对数之后再学习函数，而且特地添加了部分例题与习题，尤其是增加了问题与探究，可见新教材更注重知识衔接，有优化学生组织逻辑思维的倾向，这应该在教师的教学案中清晰地展示出来.

3  运用多元化解题思路的注意事项

3.1  注重培养一题多解思想

多元化解题思路提倡发散性的解题方法，强调奔着函数基础知识一题多解的实用性处理方案，虽然函数思想可以“条条大路通罗马”，但离开阅读题干的分析思路是不可取的，题干中复杂的函数式的显性隐性条件使得一些解题法更加迂回，而一些解题方法则简单快捷许多[3].

例如  高中函数值域题型，学生在选择解题方法时就有配方法、换元法、分离常数法、单调性法、图象法等多种方法，但要注意带有绝对值的函数问题在式中出现，隐含的数学语言就是“范围”，拆分时要格外重视遗漏现象所导致的计算结果出现空缺，在遇到这种题型的时候，某些解题方法中没有查验空缺的补救手段，因此一题多解能使学生即时拓展思维，采用其他解决方向对答案形成综合性认识，防止以偏概全的现象出现，有效提高解题的准确性.

3.2  重视函数式的指数问题

许多考题设置条件、考查考点的目的就是考验学生的鉴别能力，是否能将有迷惑性的条件进行转化、拆分成相对简单的函数路径，准确、直观地解题.例如带有指数的函数问题一般采用待定系数法，但指数性质对解析式的设计影响很大，学生要利用解析式数量解决问题需要深入探索题干中的关系，因此有必要先解读数学文本，准确无误地陈列出题设条件，作为转变思路的依据，如果待定系数法不能全方位地反映出该题目的考查问题，则需要多角度地审视考查题目中变量之间的相互关系.因此，教师讲授例题时不可再依赖过去的成法，要深刻理解新教材设置例题的意图，不厌其烦地给学生剖析例题设置条件、考查设置考点的出发点和应用价值，发现考题中函数与变化规律之间的联系.

3.3  注重基础知识的培养

将复杂函数转化、拆分为简单函数的基础是对函数知识的全面掌握，作为一种函数思想，学生掌握的基础知识要覆盖面大、一通百通，才能够灵活运用.如果学生仍然受困于各种函数知识的孤立现象，光是计算函数值一项就会浪费许多解题时间，函数解题的一大问题就是效率问题，学生固然能通过大量计算得出正确答案，但机械计算在考试中经常得不偿失.因此教师教学时注重培养高中学生们的函数基础知识，打好传授函数思想的基础，学生们从一出发，自然对多元化思考有所帮助，对解题思路的来龙去脉掌握得更为灵活，能够本着题干分析的结论更快地选择最合理最有效率的解题方式.

例如  “已知函数y=，求出函数在［-，-］上的最大、最小值，并指出取得最大、最小值时的值.”这一题型是化简三角函数的常见的题型，目的就是考查学生将复杂函数化解为简单函数的求解问题，因此学生应第一时间考虑到相应函数公式进行化简，通常简单转化就能起到化生为熟的效果，而且方便利用三角函数特性来解决问题.

4  处理函数解题多元化的具体方式

4.1  挖掘性解读题干

考试中的函数题型都比较有代表性，例如偏向于精简的题目，不直接明示信息而是一句话带过，审题时往往不容易第一时间察觉这些隐藏的已知信息，那么处理起来也增添了困难[4].因此要擅长从简短题目中挖掘出更多的信息作为已知条件，以降低问题难度，丰富解题手段.

例如  一道结构精干的函数题“函数是一次函数，如果，求”，乍一看之下这道题的已知条件很简短而且没有解析式系数，因此许多学生刚审题就陷入思维混乱模式，造成失分.通过挖掘性解读题干的方式可以首选待定系数法，系数补足之后解析式便成立，缺失的已知条件也被“点亮”，是一种处理短试题的重要办法，具体如下：设，则++，5，+=-3，所以，=-或者，=，所以-或+.

4.2  拓展思维模式

高中函数题型多变，另一个使学生感觉解题难的方面出现在一种知识点在不同的题目中存在方式与作用完全不同的现象，这也导致了学生认为解法失效而产生思维障碍，因此既要谨慎审题又要擅长拓展思维边界，用不通的角度来观察题干，寻找适合的思维模式，决定应用经济而准确的解题方法，缩短答题时间.

例如  一题“已知不等式2对满足的所有实数取值都成立，求实数的取值范围”.从题干上可以发现这个不等式整体运算的计算量较大，如果拆分成一前一后两个部分分别单独计算则相对简单而且实际，因此可以首先将不等式转化为＜0，建立函数关系=，由于-2，因此采取分类讨论法，研究0、＜0、=0分别计算，或者将其看作关于的一次函数利用整体思想将函数式转变为不等式，更加方便快捷，最终计算出，）.可以看出，该题的思维方式从函数思想过渡到分类讨论思想、转化思想、方程思想，解法虽然简洁，但数学思想在其中应用得十分通透，体现了思维模式的灵活性.

4.3  找准切入角度

通常情况下高中数学函数试题很少有且仅有一种解法，当前行新高考形势下高中数学函数命题往往在题干的隐藏已知条件中就蕴含了两种以上的解法，学 生们可以选择一种解法进行切入，但不能同时思考两种解题思路并进行杂糅，这往往是考试解题的一个失分误区，齐头并进地思考不但起不到触类旁通的效果，反而导致解题中出现矛盾之处，无法进行，平时练习中也起不到提高数学思维能力的作用.

例如  简单的值域问题“y=”，有两种解法，一种是判别式法，一种是单调性法，判别式法相对要严谨一些，首先由入手将函数定义域定义为R，将原式变为解析式，接着判断y=2和y2时解析式的实根情况，由解出，条理相对清晰，逻辑链短，但需要注意判斷其系数是否为0，若单调性法则更为直观，也会在判断函数大小值时自动审视函数式系数的问题.

4.4  选择相对简洁的解题方法

新高考模式下，命题人基于全体学生的平均水平进行考题设置，首先假设所有学生对于基础知识掌握牢固的情况下，用例题范式的常规解题法作为参考，即一名考生按部就班地使用数学思维工具答题，能够在规定时间内全部完成答题任务.这种情况下，在解题时使用便捷、直观的解题法，考生能够提前完成任务，能够获得充裕的答卷时间.当前新高考模式下题型减少了填空题，以选择题为主，因此在解题时尽量选择深入浅出的解法，与选项进行对照可使考生最大程度获益.

例如  求解“函数的图象大致为哪一个”的单项选择题，如果利用函数或导数法研究函数的单调性就会非常复杂，但如果分别研究出函数的定义域为，函数为奇函数，当时，，在四个选项中进行对照，利用排除法，则可快速筛选出正确答案.因此单项选择题的求解策略值得研究，因为是小题，无需过程，力求小题不大做，又因为答案在选项中，可对比选项、寻求差异、特值检验、果断排除，通过选择题训练提升学生思维能力.

5  结语

函数思想对于高中生而言显得相对抽象性，当前高中学生遇到许多题型都倾向于简单的计算，导致耗时长、效率低，因此高中数学教师有必要帮助学生巩固函数基础知识，不着急一开始就通过练习题的方式教授方法，往往是题目简单的题型考查解题技巧而且失分率高，因此在提高学生函数知识基础之后再讲授一题多解的具体方法，有助于学生建立整体性的函数思想，而不是孤立的，还要针对题目进行数学语言解读进而选择更合适的处理方法.

参考文献：

[1]周子宣.探究高中数学应用题的解题思路与方法[J].科教导刊（电子版），2017（16）：96.

[2]李佳琦.高中数学解题思路中联想方法的应用探究[J].祖国，2017（22）：215.

[3]徐沛丰.关于高中数学函数解题思路多元化的方法举例探讨[J].文化创新比较研究，2018（31）：179+181.

[4]武成豫.关于高中数学函数解题思路多元化的方法举例探讨[J].未来英才，2018（02）：160-161.