空沟对弹性波散射的时域分析：平面SV 波入射

周凤玺，梁玉旺，朱顺望

（1.兰州理工大学土木工程学院，甘肃 兰州 730050；2.西部土木工程防灾减灾教育部工程研究中心，甘肃 兰州 730050）

引言

地基振动控制已经成为岩土工程领域亟待解决的课题之一。在地面设置屏障（空沟和填充沟［1-3］、排桩［4-8］、波阻板［9-12］）能够减弱振动波向被保护区传播，且地面屏障具有造价低、施工方便、不影响建筑物和波源等优点。空沟被认为是隔振效率最高的屏障，被广泛应用于隔振工程中。国内外学者对空沟的隔振效果也进行了大量的试验研究和理论分析。在试验方面：Woods［3］关于近场和远场中空沟隔振问题进行了一系列现场原位试验，提出用振幅衰减比来评价屏障的隔振效果。Ahmad 等［13］和Klein等［14］通过现场试验对空沟尺寸和位置对隔振性能的影响进行了研究，为隔振设计提出了一些指导原则。之后，Ulgen 等［2］，Celebi 等［15］，Murillo 等［16］研究了激振荷载作用下荷载频率、土层参数、屏障尺寸等参数对空沟和填充沟隔振规律的影响。在数值模拟方面：Saikia 等［17］利用有限元程序PLAXIS 对简谐波载荷作用下的空沟隔振问题进行了数值分析。Shrivastava 等［18］通过三维有限元模型研究了空沟和填充沟几何尺寸对Rayleigh 波的隔离效果的影响。基于边界元法，Emad 等［19］分析了任意形状二维浅沟的隔振效果，发现只有在中频范围内浅沟可以减少25%的地基扰动，且空沟形状对隔振效果的影响较小。巴振宁等［20-21］采用2.5 维间接边界元方法（IBEM）研究了空沟对层状饱和地基中列车移动荷载的隔振性能。Andersen 等［22］和Adam 等［23］则借助边界元-有限元耦合法分析了列车荷载作用下空沟尺寸和位置对隔振效果的影响。结合薄层法和边界元法，文献［24-25］分析了二维和三维黏弹性层状地基中空沟的隔振效果，结果表明地基分层参数对空沟隔振效果的影响显著。Hamidi 等［26］通过对连续打桩过程中的地面振动进行有限元建模，分析了空沟深度和宽度等关键参数对隔振效果的影响。Zhou 等［27］通过完美匹配层来模拟无穷远幅射边界条件，利用二维频域有限元方法研究了空沟-波阻板的隔振性能。在理论分析方面：徐平等［28］和周凤玺等［29］基于复变函数理论和保角映射方法，通过波函数展开法分别给出了单空沟和多空沟对平面SH 波隔离的理论解答。

综上，针对空沟隔振的研究主要集中在对不同载荷以及不同地层等条件下的相关分析，但是关于空沟对弹性波隔离的时域分析鲜有研究。比例边界有限元法是在无限域弹性动力学问题模拟研究的过程中逐步发展起来的数值模拟方法［30-31］，它只需离散边界而径向严格解析，不需要基本解且能自动满足无穷远处辐射边界条件。该方法目前在研究半无限空间中弹性波散射问题方面已有很多应用［32-34］。本文基于比例边界有限元方法（Scaled Boundary Finite Element Method，SBFEM），通过土-结构相互作用原理将含有空沟的场地问题分解为近场系统和无限远场系统；将无穷远处斜入射的平面SV 波转化为作用在近场系统边界上的等效节点力，利用四叉树对近场计算区域进行网格精细化离散，建立了时域-空间域中弹性波传播问题的数值模型。分析了空沟对不同入射角平面SV 波的隔离效果。

1 比例边界有限元法基本公式

采用SBFEM 建立空沟对弹性波隔振问题的计算模型如图1 所示。将问题域（图1（a））分解为有界近场系统和无限远场系统（图1（b））。通过近/远场交界面处的相互作用力将两个部分联系起来。

图1 弹性波入射半空间计算模型Fig.1 Calculation model of elastic wave incident half space

近场系统的SBFEM 动态刚度矩阵方程为［31-32］：

式中ω为圆频率；S(ω)为动态刚度；E0，E1，E2和M0为有限元组装元素的系数矩阵，详细表达式如下：

式中B，D和J分别为应变位移转换矩阵、材料本构矩阵和雅可比矩阵；N(η)为SBFEM 单元边界形函数；ρ(η)为质量密度；η为SBFEM 的环向坐标。

远场系统的SBFEM 动态刚度矩阵方程可类似地表达为［31-32］：

式中M，K和C分别为近场系统的质量矩阵、静力刚度矩阵和阻尼矩阵，其中，下标“s”表示近场域内部的节点，下标“b”表示近/远场交界面上的节点；分别为节点的总位移、总速度和总加速度，其中ut(t)由散射位移场us(t)和自由位移场uf(t)组成；Ft(t)为总的力场。可采用Newmark-β法对方程（4）进行求解：

式中Fs(t)和Ff(t)分别为由散射位移场us(t)和自由位移场uf(t)引起的力场。

式中t和τ分别为持续时间和离散时间。

现阶段混合动力汽车主要有4种类型，如表1所示。压缩天然气、液化石油气和天然气是燃气汽车的主要燃料，与传统的普通汽车相比，其二氧化碳排放量得到了大大的降低，并且能够造成空气污染的有害气体也明显减少，有利于资源节约和环境保护。

将式（7）代入式（6）进一步得：

近/远场交界面上的相互作用力可表示为：

式（7）～（9）中关于时间的卷积积分详细计算见文献［31，35］。

2 平面SV 波的输入

考虑平面SV 波以入射角θ1入射半平面，当入射角θ1小于临界角θc时，入射波遇到自由表面会产生反射SV 波和反射P 波；当入射角θ1大于临界角θc时，入射波遇到自由表面仅产生反射SV 波［36］，如图2（a）所示。

图2 平面SV 波入射半空间示意图Fig.2 Schematic diagram of plane SV wave incident half space

由图2（b），观测点P 处的自由场运动可表达为：

式中ν为半空间土体介质的泊松比。

假定入射平面SV 波波前到达C(x0，y0)点的时刻为t=0，则入射SV 波、反射SV 波和反射P 波在交界面上任意观测点P(x，y)处的分量可分别表达为关于时程响应g(t)的激励函数［32-33，37］：

式中H为近场区域的高度。

由弹性力学中胡克定律几何方程，可得到应力-位移的关系：

式中σ(x，y)为应力张量；D为半空间土体介质的本构矩阵；ε(x，y)=L(u)为应变张量，其中，L 为微分算子，u为位移张量。

自由场运动在近/远场交界面上产生的等效节点力可由交界面上的单元形函数和表面牵引力确定［32-33］：

式中N为近/远场交界面上单元的形函数；为单元表面牵引力；ds为单元表面；n为单元节点的外法向量。将式（10）代入式（14）可得自由场应力张量σf。

3 算例分析

通过比例边界有限元法，实现了SV 波在半无限空间中的输入问题。本节将给出两个数值算例，第一个算例研究了入射平面SV 波在自由场（不含空沟）中的运动位移情况，便于与文献［36］的解析解进行对比，以验证本文方法及编程计算的正确性；第二个算例研究了空沟（沟宽为w，沟深为h）对弹性波的散射，用以分析平面SV 波入射下空沟对弹性波的隔振效果。

3.1 自由场

将近场区域截取为矩形，其宽度为100 m，高度为50 m，自由场的近场区域通过四叉树网格离散，网格大小为0.625 m＜λf/10（λf为主剪切波波长），如图3（a）所示。该区域能够保证观察到平面SV 波入射下弹性波入射和反射的运动过程。假定半空间为均匀的、各向同性的弹性介质，其物理属性如表1所示。

表1 弹性半空间的物理属性Tab.1 Physical properties of the elastic half-space

图3 近场区域四叉树网格离散Fig.3 Near-field region quadtree grid discretization

选用Ricker 子波作为时程响应函数：

式中Amax，f和t0分别为时程最大幅值、傅里叶谱主频率和位移达到峰值的时间，并分别取值为Amax=0.001 m，f=10 Hz 和t0=0.5 s，则主剪切波波长为λf=9.2 m。函数g(t) 的位移时程和频率如图4所示。

图4 脉冲激励的时程响应和频率响应Fig.4 Time history response and frequency response of impulse excitation

取入射角θ1=20°，由图5 给出了平面SV 波入射自由场时水平位移随时间变化的情况。从图5 中可以明显看出，输入平面SV 波的入射角经测量为20°，当入射波遇到地表边界时产生了反射SV 波和反射P 波，并且反射SV 波的反射角测量值为20°，反射P 波的反射角测量值为26.5°，与式（11）的计算结果一致。说明本方法可以有效地模拟弹性波在半无限空间中的传播。

图5 平面SV 波入射自由场时的位移云图Fig.5 Displacement cloud diagram of plane SV wave incident in free field

为进一步验证本文计算精度的可靠性，取平面SV 波入射角为20°，以图3（a）中的点A，B 和C 作为观测点，绘制水平位移时程响应图如图6 所示，并与文献［36］进行对比。从图6 中可以明显看出，两者计算结果非常吻合，说明本文方法精度满足计算要求。

图6 半空间中观测点A，B 和C 处的位移响应Fig.6 Displacement response at observation points A，B and C in half space

3.2 空沟对弹性波的散射

同样假定半无限空间为均匀的、各向同性的弹性介质，介质的物理属性如表1 所示。将近场区域截取为宽度为100 m、高度为50 m 的矩形，以保证能够观察到空沟对弹性波的隔离情况。近场区域的网格离散如图3（b）所示，其中网格大小为0.625 m＜λf/10。为了说明空沟对弹性波的隔振情况，取空沟宽度w=1 m，深度h=8 m，入射角θ1=20°，不同时刻的水平位移响应云图如图7 所示。从图7 中可以看出，当弹性波遇到空沟边界时，空沟前侧的位移被放大（t=1.15 s）；随着弹性波的进一步传播，空沟前侧有左行波产生（t=1.3 s），这是由于空沟对弹性波的散射、反射等作用所致，这种作用会减弱弹性波的传播，从而达到对弹性波的隔振作用。

图7 不同时刻的水平位移响应云图Fig.7 Cloud diagram of horizontal displacement response at different time

为了进一步分析不同入射角和空沟深度对隔振性能影响，将其他参数归一化到空沟宽度，并引入位移衰减比AR来评价空沟的隔振效果：

其中，AR值小于1 时说明有隔振效果，且AR值越小隔振效果越好。

3.2.1 入射角的影响

不同h/w取值下，入射角对隔振性能的影响规律如图8 所示。从图8 中可以看出，当入射角θ1=0°时，即入射波垂直于地表面入射，由于空沟对弹性波的散射作用，靠近空沟周边位置处的位移被放大，空沟没有隔振效果；空沟对入射角较大的弹性波更容易起到反射和散射等作用，因此，随着入射角的增大，靠近空间前侧位置处的位移放大现象越来越明显，同时空沟后侧位移响应明显减小了。说明空沟对入射角较大的弹性波有更好的隔振效果。

图8 入射角对空沟隔振性能的影响Fig.8 Effect of incidence angle on the vibration isolation performance of the open trench

3.2.2 空沟深度的影响

不同θ1取值下，空沟深度对隔振性能的影响规律如图9 所示。从图9 中可以看出，当入射角θ1=0°时，靠近空沟周边位置处的位移放大现象随着深度的增大而增大，这是因为深度越大，空沟对弹性波的散射效率越高；靠近空沟前侧周边位置处振幅衰减比AR随着深度的增大而明显增大，空沟后侧的振幅衰减比AR随着深度的增大而明显减小，即隔振效果更好，这是因为深度越大，弹性波越容易被空沟所阻隔。

图9 深度对空沟隔振性能的影响Fig.9 Effect of depth on the vibration isolation performance of the open trench

4 结论

本文基于SBFEM 理论，将问题域划分为近场系统和无限远场系统，利用四叉树对近场计算区域进行网格精细化离散；利用位移单位-脉冲响应矩阵表示近场和远场交界面上的相互作用力；将无穷远处斜入射的平面SV 波转化为作用在近场系统边界上的等效节点力，建立了半无限空间中空沟对弹性波隔离问题的数值模型。通过数值计算，得出了以下结论：

（1）入射角对隔振效果的影响非常明显，随着入射角增大，空沟隔振效果越来越好。

（2）当入射角较小时，可以通过增大空沟深度来提高空沟的隔振效果。

（3）随着深度的增大，越靠近空沟周边位置处位移放大现象越明显，实际工程中应根据隔振需求开挖合理的深度，以减少护壁耗资。