考虑地震波幅值衰减的斜入射二维自由场

何卫平， 何蕴龙

(武汉大学 水资源与水电工程科学国家重点实验室，武汉　430072)



考虑地震波幅值衰减的斜入射二维自由场

何卫平， 何蕴龙

(武汉大学 水资源与水电工程科学国家重点实验室，武汉430072)

摘要：将传统基于地震波垂直入射的自由场构建方案推广到地震波斜入射情况。在假设平面半空间自由场由以特定角度组合入射的平面P波、SV波及其反射波构成的前提下，通过引入介质品质因子、临界幅值比和子波影响距离等参数完成了均匀线弹性介质中基于地表地震记录、考虑地震波衰减影响的自由场构建。通过地基特征点处入射P波、SV波的时、频域特性，特征点位移时程研究了临界幅值比和地震波幅值衰减因素对自由场的影响。结果显示，对于水工结构等低频激励起主要影响的结构来说，构建自由场时临界幅值比的选择具有较大自由性；在岩体较完整、涉及范围较小时，地震波幅值衰减因素对自由场的影响较小，可忽略不计；但在一些极端情况下，地震波幅值衰减因素对自由场的影响可能达到20%左右。

关键词：自由场；斜入射；幅值衰减；品质因子；临界幅值比；子波影响距离

地震动输入对工程结构的动力响应计算有重要影响。受到地震波传播过程中地质因素、场址附近地形条件等的影响，工程结构附近地震动的频谱、幅值等特征均与震源处有较大差异。为了准确评估结构在地震荷载作用下的响应，获得具有场址特征的地震动输入成为结构地震响应计算的重要前提。一般情况下，场址附近的实测地震记录能够较好地体现场址地震动特征，因此可认为构造基于场址地震动记录的自由场是获得地震动输入的合理方案。目前工程应用中与地震动输入相关的自由场构建方案多基于垂直入射假定，即默认地表竖直向地震动由压缩波贡献，水平向地震动由剪切波贡献[1-2]。该方案概念清晰、实现简便，在工程抗震计算中获得广泛应用。但实际上，假设结构附近地震波全部垂直向上传播在逻辑上并不合理，比较合理的假设是压缩波与剪切波均为斜入射，即压缩波和剪切波即同时对水平向地震动有贡献，亦同时对竖直向地震动有贡献。以该思路为方向，作者曾提出了一种基于地表地震动的斜入射自由场构建方案[3]。

实际地震波传播过程中，除了入射角度的差异，还存在幅值的衰减。为了研究地震波幅值衰减对构建自由场影响，本文通过引入介质品质因子、临界幅值比和子波影响距离等参数将自由场构建方案进行了拓展，获得了基于地表地震记录、考虑幅值衰减的自由场。计算结果显示，模型中临界幅值比通过影响高频部分的临界频率对半空间特征点的自由场运动产生影响，在低频成分起主要影响的大型结构地震数值分析中，临界幅值比的选择具有较大的自由性。在岩体节理、裂隙发育较少，水工结构常用的计算模型尺度范围内，地震波幅值衰减对自由场运动的影响程度较小。而在比较极端的情况下，如岩体节理裂隙发育较密集，或计算模型跨度较大时，地震波衰减对自由场的影响可能达到不可忽视的程度。

1平面半空间自由面波的反射

图1　平面半空间自由面波的反射Fig.1 Reflection of waves in half plane

g(t,x,z)=g(t-Δt0)

(1.1)

g1(t,x,z)=A1g(t-Δt1)

(1.2)

g2(t,x,z)=A2g(t-Δt2)

(1.3)

(2.1)

(2.2)

(2.3)

式中:g、f分别代表P波、SV波的位移函数，下标1和2分别与反射P波和反射SV波相对应；vp、vs分别代表P波、SV波波速，由介质的弹性模量E、泊松比μ和密度ρ确定。时滞及波速表达式如下。

Δt0=(xsinθ0-zcosθ0)/vp

(3.1)

Δt1=(xsinθ1+zcosθ1)/vp

(3.2)

Δt2=(xsinθ2+zcosθ2)/vs

(3.3)

(4.1)

(4.2)

(4.3)

(5.1)

(5.2)

根据半空间自由面正应力和切应力为零的边界条件，可得到反射波的幅值系数如式(6)所示。

(6.1)

(6.2)

(6.3)

(6.4)

2忽略幅值衰减的自由场

2.1空间点的地震动表示

不考虑地震波传播过程中的衰减及频散，半空间自由场可以由图1所示的两种入射波及四种反射波叠加获得。自由场所引起的空间点水平和竖直运动分量可以分别表示为式(7)和式(8)。

水平分量：

sinθ0g(t,x,z)+sinθ1g1(t,x,z)

(7)

竖直分量：

-cosθ0g(t,x,z)+cosθ1g1(t,x,z)

(8)

将入射波与反射波之间的振幅系数关系代入可以获得表示如式(9)的水平和竖直分量。

ag(t,x,z)+bf(t,x,z)=uh(t,x,z)

(9.1)

cg(t,x,z)+df(t,x,z)=uv(t,x,z)

(9.2)

式中四个系数如式(10)所示：

a=sinθ0+A1sinθ1-A2cosθ2

(10.1)

(10.2)

c=-cosθ0+A1cosθ1+A2sinθ2

(10.3)

(10.4)

2.2控制点的入射P波、SV波

选取图1中位置O为控制点，在构建基于地表地震动的半空间自由场的过程中，需要保证控制点的地表地震动与自由场表示的地震动是一致的，据此获得式(11)。

ag(t)+bf(t)=uh(t)

(11.1)

cg(t)+df(t)=uv(t)

(11.2)

式中:g(t)和f(t)分别为入射P波和SV波在控制点的时间序列;uh(t)与uv(t)分别为已知的控制点水平向和竖直向地震记录;参数a,b,c,d代表了P波及其反射波、SV波及其反射波分别对控制点水平向和竖直向地震记录的贡献。将式(11)转换到频域可以获得式(12)。

aG(ω)+bF(ω)=Uh(ω)

(12.1)

cG(ω)+dF(ω)=Uv(ω)

(12.2)

式中：G(ω)、F(ω)分别是P波、SV波时间序列的傅里叶变换;Uh(ω)和Uv(ω)分别为水平向和竖直向设计地震动时程的傅里叶变换。根据式(12)，可求得控制点入射P波和SV波在所有频率下的谱值和相位信息，进而利用傅里叶逆变换可获得控制点入射P波和入射SV波的时间序列。在求得入射P波和入射SV波时间序列之后，根据式(7)和式(8)即可获得半空间内基于地表已知地震记录的任意空间点水平向和竖直向地震动。

3考虑幅值衰减的自由场

3.1弹性介质中地震波的衰减

由于材料的非弹性性质以及岩体中微裂纹、节理等的存在，地震波传播过程中会产生能量损失，Knopoff将能量损失与介质品质联系起来，采用式(13)定义了介质品质因子Q来反映地震波在介质传播过程中的能量损失特征[6-7]。

(13)

式中:ΔE表示周期荷载作用下一个周期内耗散的能量；E表示弹性能的峰值。高品质因子对应于低的幅值衰减，低品质因子对应高的幅值衰减。从式(13)的定义中，可以得到的推论是Q≥2π，Knopoff给出的实验结果中，岩石的品质因子大致介于10到1 000之间。然而，Barton在其专著[7]中提到，在节理发育、夹泥较多的岩体中实测到的Q值甚至可以小于5，从式(13)所代表的物理意义来理解，此时振幅在小于一个周期的时间内衰减到零。

Knopoff及其他学者[6,8]的研究成果证实干燥完整岩石中弹性波的衰减与频率无关。但实际地质条件下的岩体不仅存在裂隙、微裂纹、节理等非均匀因素，对于水工结构来说，其赋存环境中大部分岩体还处于固液两相状态。复杂的物理状态带来的不同衰减机制的共同作用，造成地震波衰减表现出频率依赖性[7,9-10]。本文侧重点在衰减因素对自由场的影响方面，因此采用一个统一的衰减因子表示各种引起衰减因素的综合效果，且忽略研究区域内介质品质因子的空间变化，采用式(14)表示地震波幅值衰减效果。

Z(x)=Z0e-α(f)x

(14)

式中:x为空间点与控制点之间的距离在波传播方向上的投影，以在波传播方向的下游侧为正；Z0为控制点的振幅；Z为空间点的振幅；α为衰减因子，通过式(15)确定。

(15)

式中:Q代表介质品质因子，对应P波和SV波分别有Qp和Qs；v为波速；f为对应的子波频率。

3.2子波影响距离

考虑地震波传播中衰减的影响时，幅值会在一定距离以外减小到可忽略不计的程度。将特定频率子波传播到其幅值可忽略不计位置经过的距离称为该频率子波的影响距离d，在子波影响距离之内是测点可能存在的位置。以地表地震动实测记录来构建自由场，需要关心的问题是测点在某频率子波影响范围内的位置。解决该问题需要对所有存在的子波的空间幅值分布进行研究，该目标耗费巨大且难以实现。本文对此问题进行简化处理，默认控制点位于子波影响距离的中间位置。即认为在控制点记录到的所有子波，其影响范围为控制点向波传播的上下游方向各延伸d/2。

将可以忽略的子波幅值称为临界幅值，称临界幅值与控制点幅值之比为临界幅值比。根据振幅衰减公式，可以求出子波影响距离与频率、临界幅值比的关系如式(16)所示。

(16)

式中:Zc和Z0分别代表了可忽略的幅值与测点幅值；Q为介质品质因子；v为介质内波速；f为对应子波的频率。在特定的介质中，确定临界幅值比后，可获得不同频率子波的影响距离，将距离d平均分配在控制点两侧，如图2所示将这一距离称为子波的影响距离。对于平面波来说，以影响距离为宽度、垂直于传播方向的带状区域，即图中阴影部分是该频率子波能够影响到的范围。波的影响范围内，振幅以指数形式衰减到临界幅值，如图3所示。频率较低的子波影响距离较大，影响范围甚至能包含整个计算模型；频率高的子波影响距离较小，此时可能只对部分模型区域产生影响。对于固定的空间位置，能够对其产生影响的子波会有一个频率上限，称这个上限频率为临界频率，临界频率是与临界幅值比相匹配的一个数据。

图2　子波影响范围Fig.2 Affected area of single wave

图3　影响范围内幅值分布Fig.3 Amplitude of wave in affected area

3.3P波与SV波的衰减

传播介质的复杂性和传播机制的差异造成岩体中P波、SV波衰减程度的不同。Winkler和Nur等[11]研究了干燥、非饱和、饱和三种状态时Qs/Qp的变化，实验数据显示Qs/Qp大致取值范围为：干燥状态0.2～0.8；非饱和状态1.4～2.0；饱和状态0～0.5。实验结果说明了Qs与Qp之间关系的复杂性。一方面，同样的介质对应的Qs与Qp是有差异的，即P波与SV波在相同的介质中衰减效应不同。另一方面，随着岩体所处物理状态的不同，Qs与Qp之间的相对关系也会变化。

为了反映P波和SV波的不同衰减效果，对P波和SV波分别采用不同的品质因子表示其衰减效果。考虑到精确模拟品质因子变化规律带来的复杂性，本文对Qs/Qp采用同一个比值来表示。根据水工结构所处的物理状态，选取Qs/Qp=1.6。对确定的频率，可依据式(14)和(15)确定空间点振幅与控制点的倍数关系，以此确定半空间内特征点的谱值，进而通过傅里叶逆变换确定特征点时程。

4地表地震记录选取

选取20 s记录的EL Centro波进行算例计算。选择震中与测点连线作为水平方向，将EL Centro地震波记录中的EW和NS两个分量在震中与测点连线上的投影叠加视为水平向地震动；竖直分量视作竖直向地震动。针对地震加速度记录，采用线性加速度法积分获得地震动位移时间序列。为了消除非地震因素对积分过程的影响，采用基线矫正方法对加速度记录进行处理[12]。同时，在考虑典型水工结构自振频率的基础上对加速度记录进行带通滤波处理，通过的频率范围选择为0.1～25.0 Hz。最终获得的水平向和竖直向位移记录如图4所示。

图4　EL Centro实测地震动位移Fig.4 Recorded motions of EL Centro earthquake

5临界幅值比的影响

假设半空间介质的弹性模量为5.0 GPa，泊松比0.22，密度2 400 kg/m3；P波、SV波斜入射角度分别为60°和25°。在介质品质因子取5的前提下，分别选取临界幅值比为0.01和0.05两种情况研究特征点PA，坐标为(-500,500)的频谱及位移时程。

图5为不考虑衰减时特征点的P波和SV波谱值。图6显示了不同临界幅值比特征点频谱的变化，可以看临界幅值比对特征点谱值的影响主要体现在临界频率的变化，特征点的低频谱值保持不变，但小的临界幅值比将能够考虑更多的高频因素，从而引起位移时程的差别。但考虑到本文的研究对象是引起大型水工结构响应的地震波谱值，高频部分谱值已经很小，对位移时程的影响也较小，反映到模型中即是临界幅值比的选择对自由场的构建影响较小。图7明确展示了两种临界幅值比情况下特征点的位移时程，可以看出不同临界幅值比之间的差别极小。但这并不意味着临界幅值比这个参数可以忽略，因为临界幅值比截断了临界频率以上频率对边界点时程的影响，这与实际地震波传播中高频成分衰减较快的、影响范围小的物理现象相符。

图5 不考虑衰减时特征点谱值Fig.5FourierspectrumofpointPAwithoutamplitudeattenuation图6 不同临界幅值比特征点谱值变化Fig.6ChangesofFourierspectrumofpointPAunderdifferentcriticalamplituderatio图7 临界幅值比对特征点PA时程的影响Fig.7MotionsofpointPAunderdifferentcriticalamplituderatio

6地震波幅值衰减对自由场影响

6.1介质品质因子的影响

P波、SV波入射角度，介质弹性模量、泊松比和密度与第5节保持相同，针对临界幅值比为0.01时选取不同介质品质因子研究特征点的频谱及时程的差异。基于3.1小节的探讨，选取Qp分别为20、10、5三种情况研究介质品质因子的影响。

图8为不同品质因子时边界点谱值与无衰减情况的差值。结果显示，介质品质因子除了对高频部分的影响主要体现在临界频率的不同，对低频部分的影响主要体现在幅值的变化。图9为对应的边界点位移时程；表1列出了边界点位移时程图9中A～F六个极值及其相对于不考虑衰减情况的变幅。当介质品质因子Qp≥10时，地震波衰减情况对边界点位移时程影响较小，与不考虑地震波衰减的情况相比差异在4%以内。而在品质因子低至5时，考虑地震波衰减的特征点时程与不考虑衰减情况差异在5%以上。可以认为，当岩体较完整且模型范围较小时，地震波幅值衰减因素对自由场构建不产生重要影响。

6.2极端情况下的自由场

将极端情况定义为工程实际中或数值模拟计算中较少遇到的情况。本文主要研究地基性质极差和计算模型极大两种情况，前者通过极小的介质品质因子体现，后者通过距离控制点较远的特征点体现。最终在选定将以下两种情况视为极端情况：介质品质因子Qp=2，特征点PA，坐标为(-500,500)；介质品质因子Qp=5，特征点PB，坐标为(-1 000,1 000)；对比工况均为不考虑地震波幅值衰减情况。

图8　不同品质因子PA点入射P波、SV波谱值变化Fig.8 Changes of Fourier spectrum of point PA under different quality factor

图9　不同品质因子PA点位移时程Fig.9 Motions of point PA under different quality factor

表2列出了极端情况下，地震波幅值衰减因素对自由场的影响程度。两种极端情况下，地震波幅值衰减因素对自由场特征点运动的影响程度最高分别达到19.40%和23.10%。

表1　不同品质因子PA点位移极值

表2　极端情况下特征点位移极值

7结论

本文在假设空间自由场由以特定角度组合斜入射的P波和SV波及其反射波构成的基础上，通过引入介质品质因子、临界幅值比和子波影响距离等参数完成了基于地表地震记录、考虑地震波幅值衰减的自由场构建。该自由场所确定的空间非一致地震动可以作为结构地震响应分析的地震动输入。通过选取的空间特征点的谱值和时程信息对比可以得出以下结论：

(1) 模型中临界幅值比通过影响高频部分的临界频率对半空间特征点的自由场运动产生影响，在低频地震波起主要影响的大型结构地震数值分析中，临界幅值比的选择具有较大的自由性。

(2) 在岩体节理、裂隙发育较少，水工结构常用的计算模型尺度范围内，地震波幅值衰减对自由场运动的影响在4%以下。考虑到现阶段工程实际中自由场模拟问题精度并不能达到很高，可以忽略地震波幅值衰减效应对自由场的影响。

(3) 在比较极端的情况下，如岩体节理裂隙发育较密集、岩体风化较严重，或计算模型跨度较大时，地震波衰减对自由场的影响可能达到20%左右，此时地震波幅值衰减对自由场的影响已不可忽略。

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收稿日期：2014-08-26修改稿收到日期：2015-01-07

通信作者何蕴龙 男，博士,教授，1964年生

中图分类号:TV312

文献标志码：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.01.015

Free field motions considering amplitude attenuation of oblique incident seismic waves

HE Wei-ping, HE Yun-long

(State Key Laboratory of Water Resources and Hydropower Engineering Science, Wuhan University, Wuhan 430072, China)

Abstract:The traditionally used scheme of free field motions based on vertical incident seismic waves was extended to the case of oblique incident seismic waves here. The assumption that free field motions in a plane half space is formed with oblique incident P and SV waves with arbitrary angles and their reflected waves was made firstly. Secondly, the parameters of seismic quality factor, critical amplitude ratio and the influence distance of single wave were introduced for the formation of the free field. Finally, the free field motions based on surface earthquake records and considering the amplitude attenuation of seismic wave were obtained. The influences of critical amplitude ratio and seismic quality factor on the frequencies and time histories of displacement at specified points in the plane half space were studied. The result showed that a wide range of critical amplitude ratio is acceptablein the formation of free field motions for low frequency structures such as dams; in case of high quality rock mass and small spatial range, the amplitude attenuation effect can be ignored; while in some extreme cases, the amplitude attenuation effect may reach about 20%.

Key words:free field motions; oblique incident wave; amplitude attenuation; seismic quality factor; critical amplitude ratio; influence distance of single wave

第一作者 何卫平 男，博士生，1987年生