挖掘例题变式，寻找解题通法

文／徐艳

例题呈现 （苏科版数学教材九年级下册第25 页例题）不画图像，判断二次函数y=-x2+5x-8 的图像与x轴是否有公共点。（解答过程略）

研究函数时，我们研究的是函数关系的表述、函数的图像和性质以及函数的应用，函数与方程、数形结合等数学思想方法是解决函数问题的绝佳工具。本题可以有以下变式。

变式1 条件结论互换

（苏科版数学教材九年级下册第36页第10题）（1）已知二次函数y=x2-mx+m的图像与x轴有且只有一个公共点，求m的值；

（2）已知二次函数y=ax2-2x-3 的图像与x轴有两个公共点，求a的取值范围。

【解析】（1）因为二次函数y=x2-mx+m的图像与x轴有且只有一个公共点，所以一元二次方程x2-mx+m=0的根的判别式b2-4ac=m2-4m=0。所以m=4或0。

（2）因为二次函数y=ax2-2x-3 的图像与x轴有两个公共点，所以一元二次方程ax2-2x-3=0（a≠0）的根的判别式b2-4ac=4+12a＞0。所以a＞-，且a≠0。

变式2 变换表达式，增加参数

已知二次函数y=2（x-1）（x-m-3）（m为常数）。

（1）求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴总有公共点；

（2）当m取什么值时，该函数的图像与y轴的交点在x轴的上方？

【解析】（1）令y=0。因为一元二次方程2（x-1）（x-m-3）=0 的两根为x1=1，x2=m+3，所以方程一定有实数根。因此，二次函数y=2（x-1）（x-m-3）的图像与x轴总有公共点。

（2）令x=0，则y=2m+6。要使得该函数的图像与y轴的交点在x轴的上方，则2m+6＞0，所以m＞-3。

变式3 变“等”为“不等”

已知二次函数y=ax2-2ax+3（a为常数，a≠0）。

（1）若a＜0，求证：该函数的图像与x轴有两个公共点。

（2）若a=-1，求证：当-1＜x＜0 时，y＞0。

（3）若该函数的图像与x轴有两个公共点（x1，0）、（x2，0），且-1＜x1＜x2＜3，则a的取值范围是________。

【解析】（1）令y=0，得方程ax2-2ax+3=0，则Δ=4a2-12a=4a（a-3）。由a＜0，得a-3＜0。所以4a（a-3）＞0。所以方程ax2-2ax+3=0 有两个不相等的实数根，故函数y=ax2-2ax+3 的图像与x轴有两个公共点。

（2）当a=-1 时，函数表达式为y=-x2+2x+3，因式分解得y=-（x+1）（x-3）。当-1＜x＜0 时，x+1＞0，x-3＜0，所以-（x+1）（x-3）＞0，即y＞0。

（3）因为-1＜x1＜x2＜3，由函数图像的对称轴为直线x=1 可知，-1＜x1＜1＜x2＜3。

方法1 当a＞0 时，符合题意的函数图像大致如图1 所示。由题意，只需图像与x轴有两个交点，即可符合要求。

图1

故令y=0，得方程ax2-2ax+3=0，使得Δ=4a2-12a=4a（a-3）＞0 即可。由a＞0，所以a-3＞0，解得a＞3。

当a＜0 时，符合题意的函数图像大致如图2 所示。由题意，只需当x=-1 或3时，y＜0 即可，即a+2a+3＜0 或9a-6a+3＜0，解得a＜-1。

图2

综上可知，a＞3或a＜-1。

方法2 考虑临界情况。当a＞0时，只需图像与x轴有两个不同的交点，即可符合要求。先考虑特殊情况，图像与x轴恰好有一个公共点（即抛物线顶点在x轴上）时，易求得a=3。为使图像与x轴有两个不同的交点，则需图像的开口变小，即a＞3。

当a＜0 时，还是先考虑特殊情况，即当x1=-1 时，函数图像恰好经过点（-1，0），代入表达式求得a=-1。为使图像与x轴两个交点的横坐标满足-1＜x1＜x2＜3，则需图像的开口变小，即a＜-1。

综合可知，a＞3或a＜-1。