构造二次函数，助力问题解决

文／缪娟

在中考试题中，有的题目的已知条件没有出现“函数”或“二次函数”字眼，但依然可以通过构造二次函数来解决。这类问题，表面上与一般的二次函数问题不同，但实质仍是考查二次函数的应用。

问题1 关于x的方程（x-1）（x+2）=p2（p为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（）。

A.两个正根

B.两个负根

C.一个正根，一个负根

D.无实数根

这是2020 年南京市的一道中考题。有的同学会将方程化为一元二次方程的一般式：x2+x-（2+p2）=0，再联想与一元二次方程的根有关的知识（根与系数的关系），得x1·x2=-（2+p2）＜0，据此判断方程的两个根为一正一负。除此之外，我们还能从其他角度思考吗？

我们还可以从二次方程联想到二次函数，并借助二次函数的图像解决问题。由方程（x-1）（x+2）=p2，建立二次函数y=（x-1）（x+2），其方程是函数值y=p2的情形。而p2≥0，当p2=0 时，二次函数的图像与x轴交于点（1，0）和点（-2，0），即方程（x-1）（x+2）=0 的两个根是1、-2；当p2＞0 时，二次函数的图像与过点（0，p2）且与x轴平行的直线相交，观察图1，可知两个交点分别在第一、第二象限，所以两个交点的横坐标是一正一负，即方程（x-1）（x+2）=p2的两个根为一正一负。

图1

问题2 解下列关于x的不等式：

（1）x2-9≥0；（2）在（1）的基础上思考如何解x3-x≤0。

我们学过解一元一次不等式，那如何解问题中的不等式呢？对于第（1）问，有的同学会想到利用因式分解得（x-3）·（x+3）≥0，再分情况讨论，进而转化为两个不等式组，从而得到x≥3或x≤-3。你还有其他想法吗？

我们还可以借助二次函数的图像来解决。先构建二次函数y=x2-9，画出它的图像（图2），求得二次函数图像与x轴交于点（3，0）、（-3，0），再观察在x轴上方的部分图像，对应x的范围为x≥3 或x≤-3。

图2

图3

我们还可以通过移项想到不等式x2≥9。如图3，先画出y=x2的图像和过点（0，9）且与x轴平行的直线，再观察直线上方部分图像对应x的范围即可。还有吗？基于对不等式x2-9≥0的变形，同学们还可以构造出其他不同的函数，但都是通过图像来求得不等式的解集。它们运用的知识背后所蕴含的数学方法、思想是一致的。

同样的方法可以解决第（2）问吗？由因式分解得到x（x-1）（x+1）≤0，再分情况讨论，求解过程较复杂。能构建二次函数求解吗？题中没有二次怎么办？需要同学们先对不等式进行变形（两边同时除以x），构造出x的二次式。当x＞0 时，不等式转化为x2-1≤0；当x＜0 时，不等式转化为x2-1≥0。类比第（1）问的解法，问题（2）迎刃而解。

如果有同学想到构造y=x3和y=x两个函数，再利用它们的图像来解决问题，简直更胜一筹。

问题1 表面看是一个方程问题，但解答的思路不同，问题解决所用的模型就不一样，思维层次较高的同学能想到运用函数。再看问题2，表面是两个不等式问题，仍然可以由多个模型解答，用函数的眼光来看：解一元二次不等式，可先建立一个（或两个）函数并画出图像，再观察图像确定对应的自变量范围。

通过这两个问题，同学们应当能更深刻地体会到，代数研究对象中的“函数”是所有代数元素的统一体，运用函数的思想、方法是解决不等式、方程的统领。因此，代数的学习可以用一句话概括：一切皆“函数”。